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Corona-Statistik 2020/2021

Eine kritische Bilanz

Das Jahr 2021 ist vorbei und die Corona-Zahlen liegen nun vor. Zu Beginn des Jahres 2021 konnte man erwarten, dass sich das schlimme Corona-Jahr 2020 nicht wiederholen würde, schließlich standen mehrere Impfstoffe zur Verfügung. Allenfalls konnte man es für eine Frage der Organisation halten, bis hinreichend viele Menschen geimpft und die Pandemie damit mehr oder weniger zu Ende sei.

Heute sind wir alle klüger: Die Zahlen für 2021 sind dramatischer als die für 2020 – trotz der Impfung. Fast dreimal so viele Infizierte und immerhin 59% mehr Tote. Mittlerweile wissen wir auch, dass zweimal Impfen nicht reicht. Absehbar ist auch nach der dritten Spritze keine wirkliche Immunität gegeben. Die Impfung schützt zwar oft vor schweren Krankheitsverläufen und Tod, aber wenig vor einer Infektion und vor dem Weitertragen des Virus. Auch Geimpfte sind also nach wie vor Teil der Infektionsdynamik. Zudem ist bekannt, dass der Schutz der Impfung bereits binnen 3 – 4 Monaten nachlässt und der Impfstoff nach 6 Monaten und mehr, je nach Alter, nur noch eine schwache Wirkung entfaltet. Die daraus folgende Problematik wird im Text diskutiert und anhand vieler Grafiken visualisiert.

Konkret werden im Artikel die Zahlen zu den Infektionen und den Todesfällen für 2020 und 2021 insgesamt und getrennt nach Altersgruppen nebeneinander gestellt und miteinander verglichen. Ferner werden die Infektionsrisiken, die Letalitätswerte (Sterblichkeit nach Corona-Infektion) und die Mortalität (Corona-Sterblichkeit in der Bevölkerung) altersgruppenspezifisch bestimmt und zueinander in Relation gesetzt.

Aus der tiefergehendenden Untersuchung zu den Zahlen für 2021 werden Schlüsse zum altersabhängigen Risiko gezogen: Letalität und Mortalität steigen exponentiell mit dem Lebensalter. Die Sterblichkeit nach einer Infektion (Letalität) verzehnfacht sich pro 18 Lebensjahren. Die Mortalität verzehnfacht sich pro 22 Lebensjahren. Um das richtig einzuordnen muss man erwähnen, dass das absolute Corona-Sterberisiko von 18-Jährigen bei etwa 0,0005% liegt, das von 84-Jährigen bei etwa 0,5%.

Auf Basis von Überlegungen zur Ableitung der unterschiedlichen Sterberisiken für Geimpfte und Ungeimpfte aus den verfügbaren Felddaten, erfolgt im letzten Teil eine Was-Wäre-Wenn-Analyse. Basierend auf den realen Daten aus 2021 werden dabei hypothetische Szenarien mit und ohne Impfung durchgerechnet und miteinander verglichen. Der Schluss gehört der Betrachtung von diversen Alternativszenarien mit unterschiedlichen altersgruppenspezifischen Impfquoten. Dafür werden die unter den getroffenen Annahmen wahrscheinlichen Fallzahlen bestimmt, auch im Hinblick auf Geimpfte und Ungeimpfte.

Infizierte und Todesfälle – Vergleich 2020/2021

Die nachfolgend präsentierten Corona-Grafiken und Analysen basieren sämtlich auf dem vom Robert-Koch-Institut (RKI) veröffentlichten Zahlenmaterial. Die entsprechenden Referenzen sind  im Quellenverzeichnis aufgeführt.

Die Corona-Impfquoten, die Inzidenzen bezüglich der Infizierten, der Hospitalisierten und der Corona-Todesfälle werden vom RKI in hoher zeitlicher Auflösung publiziert. Man muss die Erfassungssystematik nicht in jedem Detail für gelungen und zweckmäßig halten, in Summe ist das RKI dennoch die einzige einigermaßen verlässliche Corona-Datenquelle. Es gibt kleinere Unschärfen, z.B. bezüglich der Impfquoten, und es gibt eklatante Mängel, z.B. hinsichtlich des Erfassung des Impfstatus der Infizierten, der Hospitalisierten und der Todesfälle. Immerhin werden seit August 2021 für die symptomatischen Fälle die Infektionszahlen getrennt nach Geimpften und Ungeimpften erfasst. Weitere für die Analyse wichtige Einflussgrößen wie die verstrichene Zeitspanne seit der Impfung oder das effektive Ansteckungsrisiko aufgrund des Kontaktprofils werden nicht dokumentiert und können daher auch nicht ausgewertet werden.

Die Inzidenzen der Corona-Infektionen und der Fälle der „an oder mit“ Corona Verstorbenen nehmen wir einfach so, wie sie vom RKI veröffentlich wurden, auch wenn man bezüglich der Höhe der Zahlen berechtigte Zweifel ins Feld führen kann. Tatsächlich könnten die Infektionszahlen deutlich höher gelegen haben, weil viele Infektionen unerkannt geblieben sind. Die Zusammensetzung der Testkohorte spiegelt lediglich rechtliche Vorgaben wider. Nötig wäre aber eine Orientierung an wissenschaftlichen Grundsätzen. In letzter Konsequenz sind daher die veröffentlichten Inzidenzen nur grobe Schätzungen.

Umgekehrt könnten viele Todesfälle fälschlicherweise Corona zugerechnet worden sein, weil die Todeskausalität in vielen Fällen nicht näher untersucht worden ist. In letzter Konsequenz könnte die Infektiosität in Wahrheit höher und die Letalität (Sterblichkeit bei einer Corona-Infektion) tatsächlich kleiner sein, als sich dies aus den Zahlen des RKI ergibt. Das ist hier indessen nicht das Thema: Wir stützen uns auf die Daten des RKI, nichts sonst. Alles andere wäre Spekulation.

Corona-Infizierte und -Todesfälle 2020 und 2021 im direkten Vergleich.

Abbildung 1: Corona-Infizierte und -Todesfälle 2020 und 2021 im direkten Vergleich. Man erkennt, dass sich die Infektionszahlen in 2021 gegenüber 2020 in etwa verdreifacht haben. Die Anzahl der Todesfälle ist um ca. 59 % gestiegen. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

In Abb. 1 fällt zunächst die hohe Zahl der Infizierten in 2021 auf. Gegenüber 2020 (mit 10 Monaten Pandemiedauer) haben wir in 2021 ein volles Jahr. Das kann den Anstieg sicher nicht erklären. Offenbar liegt ein Grund eher in der höheren Infektiosität der Deltavariante des Virus. Die Anfang 2021 angelaufene Impfkampagne hatte auf die Anzahl der Infektionen offenbar keinen dämpfenden Einfluss. Mit Blick die Todesfallzahlen registriert man den vergleichsweise deutlich geringeren Anstieg. Ist das womöglich ein Erfolg der Impfung? – Teilweise sicher ja, der Effekt ist aber wohl geringer, als dies der erste Anschein vermuten lässt. Näheres dazu mit einer genauen Analyse weiter unten.

Infizierte und Todesfälle nach Altersgruppen – Vergleich 2020/2021

Corona-Infizierte 2020 und 2021 nach Altersgruppen im direkten Vergleich.

Abbildung 2: Corona-Infizierte 2020 und 2021 nach Altersgruppen im direkten Vergleich. Wie man sieht, sind in 2021 insbesondere die Infektionszahlen bei den jüngeren Altersgruppen erheblich gestiegen. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Corona-Todesfälle 2020 und 2021 nach Altersgruppen im direkten Vergleich.

Abbildung 3: Corona-Todesfälle 2020 und 2021 nach Altersgruppen im direkten Vergleich. Die absoluten Fallzahlen zeigen einen Anstieg insbesondere bei den Über-50-Jährigen. Das größere relative Wachstum verzeichnet man bei den Jüngeren. In der Gesamtschau sind aber dennoch die Älteren mit großem Abstand dominierend. Allein der Zuwachs in 2021 ist bei den Älteren (60+) viermal höher als die Gesamtanzahl der Toten bei den Jüngeren (0-59). Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Beim Vergleich der beiden Grafiken nach Abb. 2 und 3 fällt auf, dass die Infektionszahlen weit überwiegend von den Altersgruppen unter 60 getrieben werden, die Todesfälle passieren aber nach wie vor zum größten Teil in der Altersgruppe ab 60. Das werden wir weiter unten genauer beleuchten.

Am vorstehenden Befund hat sich auch durch die Verfügbarkeit von Impfstoffen und der seit Januar 2021 laufenden Impfkampagne offenbar nichts oder nur wenig geändert. Jedenfalls ist der Effekt hier nicht sichtbar. Dabei waren doch gerade die Über-80-Jährigen schon früh im Jahr mit hoher Priorität und in großer Zahl geimpft worden.

Die folgende Abbildung mit zusammengefassten Altersgruppen untermauert dieses vorläufige Resümee in aller Deutlichkeit.

Abbildung 4: Corona-Infizierte und -Todesfälle 2020 und 2021 in ausgewählten Altersgruppen im direkten Vergleich. Bei der Betrachtung der aggregierten Altersgruppen sieht man nochmals deutlicher den starken Anstieg der Infektionen bei den Jüngeren. Tatsächlich ist die Anzahl der Infektionen in der Altersgruppe 0-59 gegenüber 2020 um über 200 % gewachsen. In der Altersgruppe 60+ haben sie sich dagegen nur um gut 100% erhöht. Zugleich sind hier auch die Todesfallzahlen weit weniger gestiegen. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Wenn man den Zahlen etwas Positives abgewinnen will, dann kann man an dieser Stelle immerhin darauf hinweisen, dass die Todesfallzahlen (+53 %) in der Altersgruppe 60+ weniger gewachsen sind als die Infektionszahlen (+104 %). Das darf man zum Teil sicher auch der Impfung zurechnen. Wie groß der Effekt tatsächlich ist, werden wir weiter unten genauer untersuchen. In der Altersgruppe 20-59 (mit einer im Jahresmittel geringen Impfquote) sind die Todesfallzahlen (+202 %) hingegen fast genau so schnell gestiegen wie die Infektionszahlen (+237 %).

Infizierte und Todesfälle nach Altersgruppen – Analyse für 2021

Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach Altersgruppen.

Abbildung 5: Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach Altersgruppen. In der linken Säule sind die Infizierten nach ihrem jeweiligen Anteil farbcodiert eingetragen. Die rechte Säule weist entsprechend die altersgruppenspezifischen Anteile unter den Todesfallzahlen aus. Man erkennt, dass die Infektionen überwiegend bei den Jüngeren auftreten, die Todesfälle indes bei den Älteren. Die gelb-braunen Farbtöne in der linken Säule stehen für die Altersgruppe 0-39 mit einem Anteil an den Infektionen von über 55%. In der rechten Säule kann man diese Farbtöne kaum ausmachen. Der Anteil an den Todesfallzahlen liegt bei etwa 0,7%. Umgekehrt am oberen Ende der Säule: 8,4% der Infizierten werden der Altersgruppe 70+ zugerechnet. Zugleich stellt diese Gruppe 82% aller Corona-Toten. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Auch wenn man mit Blick auf Abb. 5 dem ersten Anschein nach denkt, es sei anders: Die Farbcodierung ist in beiden Säulen gleich. Die extrem asymmetrische Verteilung zwischen Infektionszahlen und Todesfällen über die Altersgruppen hinweg wird mittels der Grafik klar vor Augen geführt. Das wirft ein denkbar grelles Licht auf die Corona-Maßnahmen. Abgesehen von der prioritären Impfung der Ältesten setzen sie überwiegend an der linken Säule im gelb-braunen und im grünen Bereich an (Altersgruppen 0-39 und 50-69). Der Effekt soll sich aber in der rechten Säule zeigen, wo diese Gruppen gerade einmal 17% ausmachen.

Das ist in etwa so, als würde man nach der Brandmeldung im Seniorenstift die Feuerwehr zur Grundschule schicken.

Es zeigt sich hier überdeutlich, dass viele der getroffenen Maßnahmen schon deswegen nicht wirken können, weil sie am falschen Ende ansetzen. Vielleich noch etwas klarer kommt das mittels der nachfolgenden beiden Abbildungen zum Ausdruck.

In der ersten (Abb. 6) sind die Altersgruppen teilweise zusammengefasst, um die zentrale Botschaft noch stärker hervortreten zu lassen. In der zweiten (Abb. 7) wurde eine andere Darstellung gewählt.

Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach ausgewählten Altersgruppen.

Abbildung 6: Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach ausgewählten Altersgruppen. In der linken Säule sind die Infizierten nach ihrem jeweiligen Anteil farbcodiert eingetragen. Die rechte Säule weist entsprechend die altersgruppenspezifischen Anteile unter den Todesfallzahlen aus. Man erkennt, dass die Infektionen überwiegend bei den Jüngeren auftreten, die Todesfälle indes bei den Älteren. Die Altersgruppe 0-19 stellt 25% der Infizierten, aber nur 0,1% der Todesfälle. Dem fast 84%-igen Anteil der den Altersgruppen 0-19 und 20-59  zugerechneten Infektionen stehen 6,6% der Todesfälle entgegen. Dagegen treten 93,3% der Todesfälle in den Altersgruppen 60-79 und 80+ auf, die ihrerseits nur etwa 16% der Infektionsfälle zu verantworten haben. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach Altersgruppen.

Abbildung 7: Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach Altersgruppen. Die gelben Säulen zeigen die relativen Infektionshäufigkeiten, die grauen die Todesfälle. Kurz gefasst sieht man auch hier, dass die Infektionen und die Todesfälle in unterschiedlichen Altersgruppen auftreten. Wo nur noch ein Bruchteil der Infektionen verzeichnet wird, sind die Todesfallzahlen am höchsten. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Die Unwirksamkeit vieler politisch verfügter Corona-Maßnahmen kann nach dieser Betrachtung kaum noch verwundern: Sie gehen schlichtweg am Ziel vorbei.

Um den obigen Feuerwehrvergleich nochmals aufzunehmen: Natürlich ist die potentielle Brandgefahr bei der Grundschule endgültig gebannt, die Feuerwehr ist ja schon vor Ort. Das kann sich man als Erfolg schönreden. Aber: Der Unterricht ist gestört und die Schüler leiden. Zugleich steht das Seniorenstift lichterloh in Flammen.

Überblick zu den kritischen Größen Infektionsrisiko, Letalität und Mortalität

Grundsätzlich gilt zwischen den drei Faktoren Infektionsrisiko, Letalität und Mortalität der folgende Zusammenhang:

Mortalität Infektionsrisiko * Letalität

Die Begriffe selbst werden in [9] Das Coronavirus: Harmlos? Bedrohlich? Tödlich? – sumymus blog näher erläutert. Hier eine kurze Zusammenfassung:

Die Mortalität ist der relative Anteil der an einer bestimmten Krankheit Verstorbenen bezogen auf die Gesamtheit der Bevölkerung oder bezogen auf eine bestimmte Personengruppe (z.B. Menschen eines gegebenen Alters oder die Bevölkerung in einer Region).

Die Letalität ist der relative Anteil der Verstorbenen bezogen auf die Gesamtheit der Infizierten oder die Gesamtheit der Infizierten einer bestimmten Personengruppe.

Das Infektionsrisiko beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine (Coronavirus-)Infektion. Es ist abhängig von der Eigenschaften des Virus, von den Umweltbedingungen, von individuellen Faktoren sowie von Maßnahmen zur Kontrolle der Verbreitung des Virus.

Die Letalität ist ein Maß für die Gefährlichkeit des Virus bzw. der Infektion bei gegebener Leistungsfähigkeit des Gesundheitssystems und gegebenem Gesundheitszustand des betreffenden Personenkreises sowie ggf. auch der Impfung. Dagegen misst die Mortalität darüber hinaus das Infektions- bzw. Erkrankungsrisiko. In Bezug auf Corona steckt in der Maßzahl der Mortalität somit auch die Wirksamkeit von Schutzmaßnahmen.

Bei 100%-iger Wirksamkeit der Schutzmaßnahmen ist das Infektionsrisiko = 0 und somit die spezifische Mortalität ebenfalls 0. Ohne Schutzmaßnahmen oder mit wenig effektiven Schutzmaßnahmen liegt das Infektionsrisiko in Abhängigkeit von individuellen Faktoren (z.B. Kontakthäufigkeit, Kontaktdauer, Kontaktintensität) irgendwo zwischen 0 und 100%. Im Extremfall, wenn alle Personen der relevanten Bezugsgruppe infiziert sind, ist die Mortalität gleich der Letalität.

Letalität nach Altersgruppen – Vergleich 2020/2021

Covid-19-Letalität (Sterblichkeitsrate nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 nach Altersgruppen im Vergleich.

Abbildung 8: Covid-19-Letalität (Sterblichkeitsrate nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 nach Altersgruppen im Vergleich. Für 2021 ist jeweils der Letalitätswert explizit eingetragen. Man sieht, dass die 2021er-Säulen meist etwas kürzer sind als die 2020er. Stark gesunken ist die mittlere Sterblichkeit über alle Altersgruppen. Sie hat sich von 2,47% in 2020 auf 1,28% in 2021 etwa halbiert. Dieser positive Effekt ist indes nur zu einem geringen Teil auf die Impfung zurückzuführen. Trotz der sehr hohen Impfquote in der Altersgruppe 90+ ist die Letalität für die Ältesten sogar gestiegen. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Wie man Abb. 8 entnimmt, ist die Sterblichkeit nach einer Corona-Infektion in einigen Altersgruppen zurückgegangen, in anderen gestiegen, wenn auch beides nur geringfügig. Für die Altersgruppen ab 60 liegt die Letalität in 2021 aber immer noch höher als 1%, zum Teil drastisch höher. Die anderen Altersgruppen, also alle unter 60, weisen hingegen viel kleinere Sterblichkeitsraten p.a. auf. Unter-40-Jährige liegen bei max. 0,03%. Im Diagramm sind diese Säulen skalierungsbedingt daher nicht mehr sichtbar.

Der Rückgang der durchschnittlichen Sterblichkeit (nach einer Corona-Infektion) über alle Altersgruppen in 2021 ist i. W. auf die hohen Infektionszahlen bei den Jüngeren, wie sie oben dokumentiert wurden, zurückzuführen. Sie sind wenig von schweren Verläufen und Tod betroffen und tragen daher kaum zu den Todesfällen bei. Es ist also ein statistischer Effekt.

Um das an einem Beispiel plausibel zu machen: Wenn sich die Infektionszahlen in der Altersgruppe 0-39 verdoppeln, dann hat dies auf die Todesfallzahlen keinen nennenswerten Einfluss. Allenfalls werden die Beträge in Summe um einige 100 Fälle steigen. Prozentual würde das weniger als ein Prozent ausmachen. Zugleich würden aber die Infektionszahlen insgesamt um mehr als 50% steigen. Im Ergebnis würde daher die Sterblichkeitsrate p.a. nach Corona-Infektion auf etwa Zweidrittel (1/1,5) des aktuellen Wertes sinken (also -33%). Und dies völlig ohne irgendeine steuernde Maßnahme, wie z.B. eine Impfpflicht. Genau diesen Effekt kann man in 2021 im Vergleich zu 2020 beobachten, wie wir oben gesehen haben (s. Abb. 3 und 4).

Covid-19-Letalität (Sterblichkeit nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 in ausgewählten Altersgruppen im Vergleic

Abbildung 9: Covid-19-Letalität (Sterblichkeit nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 in ausgewählten Altersgruppen im Vergleich. In der Relation erkennt man in den höheren Altersgruppen den Rückgang der Sterblichkeit nach einer Infektion. Die mittlere Sterblichkeit über alle Altersgruppen hat sich von 2,47% in 2020 auf 1,28% in 2021 etwa halbiert. Die leichte Abnahme der Sterblichkeit bei den Altersgruppen 60-79 und 80+ ist mit großer Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis der prioritären Impfung seit Anfang 2021. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Die Abnahme der Letalitätswerte gegenüber 2020 ist erwähnenswert, vor allem in der Altersgruppe 60-79, sie bleibt aber letztlich doch schwach ausgeprägt. Genau wie in der Altersgruppe 80+ dürfte dieser Rückgang auf die Wirkung der Impfung zurückzuführen sein. Dazu mehr weiter unten bei der Untersuchung der Sterblichkeitsraten für Geimpfte und Ungeimpfte. Die Letalität in den Altersgruppen 60-79 und 80+ bleibt aber dennoch auf hohem Niveau. Auffällig sind die extremen Unterschiede in den Letalitätsraten beim Vergleich zwischen den Älteren und den Jüngeren. Diesbezüglich hat sich zwischen 2020 und 2021 nahezu nichts geändert. Die Säulen für die Altersgruppen 0-19 (0,004%, also ein Fall pro 25.000 Infizierten) und 20-59 (0,014%, also 1 Fall pro 710 Infizierten) sind im Diagramm nicht bzw. gerade noch ansatzweise sichtbar.

Kurvenverlauf der Covid-19-Letalität (Sterblichkeit nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 in Abhängigkeit vom Alter.

Abbildung 10: Kurvenverlauf der Covid-19-Letalität (Sterblichkeit nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 in Abhängigkeit vom Alter. Um die großen Unterschiede in den Sterblichkeitsraten zu veranschaulichen, wurde in der Darstellung eine logarithmische Skalierung gewählt. Im Lebensalter bis etwa 25 bewegen wir uns hier bei Letalitätswerten von 0,01% und darunter. Hingegen liegen die Sterblichkeitsraten für Lebensalter über 80 höher als 10%. In der Relation sind das in beiden Jahren etwa 1000-fach höhere Werte. Die Kurve für 2021 verläuft im oberen Bereich geringfügig flacher, was vermutlich auf die Wirkung der Impfkampagne zurückzuführen ist. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Der Vergleich der beiden Kurvenverläufe in Abb. 10 zeigt nochmals deutlich, dass sich in 2021 unter dem Gesichtspunkt der Sterblichkeit bei einer Corona-Infektion gegenüber 2020 kaum etwas geändert hat. Letztlich bleiben die Unterschiede jedenfalls gering. Die noch am meisten ins Auge fallenden Abweichungen bei den Unter-30-Jährigen sind in der Gesamtschau belanglos, weil wir hier von sehr niedrigen absoluten Risikoraten um 0,02% und darunter sprechen.

Tatsächlich größer (max. 1%) sind die Differenzen bei höherem Alter etwa zwischen 60 und 90. Der ab einem Alter von 60 gegenüber der 2020er Kurve partiell flachere Verlauf der Kurve für 2021 steht für einen geringeren Anstieg der Sterblichkeit in diesem Altersbereich. Allerdings zeigen sich auch die Grenzen: Bei den 90-Jährigen konnte auch der grundsätzlich positive Effekt der Impfung den Anstieg der Sterblichkeit nicht stoppen. Dabei liegt es auf der Hand: Die Impfung kann vor allem dort einen merklichen Effekt nach sich ziehen, wo das Risiko höher ist. Bei den Jüngeren mit den sehr niedrigen absoluten Risiken bleibt der Einfluss in der Gesamtschau vernachlässigbar.

Mortalität nach Altersgruppen – Vergleich 2020/2021

Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 nach Altersgruppen im Vergleich.

Abbildung 11: Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 nach Altersgruppen im Vergleich. Man sieht, dass die 2021er-Säulen stets etwas höher sind als die 2020er. Die Sterblichkeit aufgrund von Corona ist daher in 2021 gegenüber 2020 angestiegen. Die Größe des Effekts erkennt man anhand der mittleren Sterblichkeit über alle Altersgruppen: Sie hat sich von 0,053% in 2020 auf 0,084% in 2021 in der Relation um 59% erhöht. Diese ungünstige Entwicklung ist auf die stark angewachsenen Infektionszahlen zurückzuführen und spiegelt die Zunahme bei den Todesfallzahlen wider. Durch die im Jahresverlauf ohnehin noch nicht voll wirksame Impfung konnte der Anstieg nicht kompensiert werden (s. Text). Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Wie man Abb. 11 entnimmt, ist die Corona-Sterblichkeit insbesondere in den Altersgruppen ab 50 gewachsen, teilweise durchaus signifikant. Für die Altersgruppen 80-89 liegt die Mortalität in 2021 bei 0,57%, in der Altersgruppe 90+ gar bei 1,54%. Damit hat sich die Sterblichkeit in der Spitze um 0,15% bis 0,3% gegenüber dem Wert für 2020 erhöht. In absoluten Zahlen macht das allein bezüglich der Altersgruppen 80-89 und 90+ fast 12.000 Sterbefälle mehr aus. In den Altersgruppen 40-49 bis hinunter zu 0-9 verbleibt die Mortalität hingegen im Wertebereich zwischen 0,009% und 0,0004% (also 1 Fall pro 11.000 in der Altersgruppe 40-49 bzw. 1 Fall pro 250.000 in der Altersgruppe 0-19). Im Diagramm sind diese Säulen skalierungsbedingt nicht mehr sichtbar.

Die Erhöhung der durchschnittlichen Sterblichkeit über alle Altersgruppen in 2021 ist also i. W. auf die nochmals gestiegenen Todesfallzahlen bei den Älteren zurückzuführen. Die Altersgruppen ab 60 und insbesondere ab 80 tragen zum weit überwiegenden Teil zu den Todesfällen bei. Auch die prioritäre Impfung der Älteren und die erzielte hohe Impfquote in dieser Altersgruppe konnte den beobachteten Anstieg der Mortalität nicht verhindern. Durch die Impfung wurde der Zuwachs zwar abgemildert, dies aber nicht so durchgreifend, wie man das zu Beginn des Jahres wohl erhofft hatte. Ein Grund dafür dürfte die relativ schnell nachlassende Schutzwirkung der Impfung sein. Dies spricht nicht grundsätzlich gegen die Impfung, es relativiert aber den zu erwartenden Effekt.

Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 in ausgewählten Altersgruppen im Vergleich.

Abbildung 12: Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 in ausgewählten Altersgruppen im Vergleich. Die 2021er-Säulen sind stets etwas höher sind als die 2020er. Die Corona-Sterblichkeit ist daher in 2021 gegenüber 2020 angestiegen. Die größten relativen Zuwächse sind bei den Jüngeren zu verzeichnen. Im Hinblick auf die Sterblichkeit dominieren indessen die Altersgruppen 60-79 und 80+ mit riesigem Abstand. Das spiegelt die Erhöhung der absoluten Fallzahlen der Toten in 2021 wider (s. a. Abb. 4). Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Der direkte Vergleich der Säulenhöhen in Abb. 12 zeigt in allen Altersgruppen einen Anstieg der Corona-Sterblichkeit p.a.. Die relative Zunahme der Sterblichkeit ist dabei hinsichtlich der Altersgruppen unter 80 am stärksten ausgeprägt, wobei die Gruppen 0-19 und 20-59 aufgrund des absolut gesehen sehr niedrigen Risikos in Summe nicht ins Gewicht fallen. Anders sieht es aus in der Altersgruppe 60-79. Hier liegt der relative Zuwachs bei über 95%, was in absoluter Höhe immerhin eine Zunahme um 0,062% bedeutet. Bezüglich der Todesfallzahlen gehen über 11.000 Tote allein auf dieses Konto. Man kann vermuten, dass durch ein schnelleres Voranschreiten Impfung in der Altersgruppe 60-79 ein gewisser Anteil dieser Fälle hätte vermieden werden können (s. dazu die Diskussion zur weiter unten).

Kurvenverlauf der Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 in Abhängigkeit vom Alter.

Abbildung 13: Kurvenverlauf der Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 in Abhängigkeit vom Alter. Um die großen Unterschiede in den Sterblichkeitsraten zu veranschaulichen, wurde in der Darstellung eine logarithmische Skalierung gewählt. Im Lebensalter bis etwa 25 bewegen wir uns hier bei Mortalitätswerten von 0,001% und darunter. Hingegen liegen die Sterblichkeitsraten für Lebensalter oberhalb 90 bei 1% und darüber. In der Relation sind das in beiden Jahren etwa 1000-fach höhere Werte. Im Vergleich zu 2020 verläuft die Kurve für 2021 insgesamt etwas flacher, was z. T. vermutlich auf die Wirkung der Impfkampagne zurückzuführen ist. Daneben haben aber vor allem die hohen Infektionszahlen bei den Jüngeren einen markanten Einfluss auf den flacheren Kurvenverlauf. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Der Vergleich der beiden Kurvenverläufe in Abb. 13 zeigt nochmals in aller Klarheit, dass in 2021 unter dem Gesichtspunkt der Gesamtsterblichkeit gegenüber 2020 kein wirklicher Fortschritt erzielt wurde. Im Gegenteil: Die Mortalität hat sich durchweg erhöht. Als Verbesserung kann man allenfalls den geringeren relativen Anstieg bei den Älteren konstatieren. Zumindest zum Teil dürfte dieses Resultat auf den risikosenkenden Effekt der Impfung zurückzuführen sein. Ohne die Impfung würde die Mortalität in den Altersgruppe 60+ und damit auch insgesamt sicher höher liegen. Im Rahmen der Diskussion zur Letalität von Geimpften und Ungeimpften wird dieses Szenario näher beleuchtet.

Detailanalyse zur Letalität nach Alter

Die obigen Kurvendarstellungen für die Letalität und die Mortalität über das Alter erlauben aufgrund der über weite Altersbereiche nahezu linearen Verläufe einfache Näherungsdarstellungen oder andere polynomiale Approximationen. In Abb. 14 ist der Kurvenverlauf der Letalität zusammen mit zwei Näherungskurven in Abhängigkeit vom Alter dargestellt. Erfreulicherweise kann man die effektive Letalität für einen weiten Bereich der interessierenden Lebensalter mittels einer (in logarithmischer Darstellung linear erscheinenden) Exponentialfunktion darstellen.

Die lineare Näherung bringt die entscheidende Aussage in aller Deutlichkeit zum Ausdruck:

Die Letalität steigt exponentiell mit dem Lebensalter.

Das Wesen der Corona-Pandemie liegt bei Lichte betrachtet nicht darin, dass das Virus sich exponentiell ausbreiten kann. Für die effektive Bekämpfung viel wichtiger ist die Erkenntnis des mit dem Alter exponentiell steigenden Risikos. Übersetzt heißt dies: Maßnahmen zur Eindämmung der Todesfallzahlen müssen dort ansetzen, wo die Fallzahlen auftreten. Also bei den Alten, nicht bei den Jungen oder gar bei Kindern. Der Hebel bei den Ersteren hat eine bis zu 1000-fache Übersetzung (s.u.). Umgekehrt ist bei Letzteren das Kosten-Nutzen-Verhältnis um denselben Faktor kleiner.

Kurvenverlauf der Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 in Abhängigkeit vom Alter.

Abbildung 14: Kurvenverlauf der Covid-19-Letalität (Sterblichkeit nach Infektion p.a.) für 2021 in Abhängigkeit vom Alter. Man beachte die logarithmische Darstellung. Zusätzlich eingezeichnet sind zwei Näherungskurven: Eine exponentiell-lineare Näherung (gestrichelte Linie in braun) und eine exponentiell-kubische Näherung (strichpunktierte Linie in grün). Rohdaten zur Letalitätskurve: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Ausgedrückt in Prozentwerten lautet die Formel für die Letalität:

Letalität 0,01% * 10^(Alter-25)/18

Nach vorstehender Approximationsformel verzehnfacht sich der Letalitätswert pro 18 Lebensjahren. Verglichen mit einem 24-Jährigen hat demzufolge ein 42-Jähriger ein 10-fach, ein 60-Jähriger ein 100-fach und ein 78-Jähriger ein 1000-fach höheres Corona-Sterberisiko p.a. bei vorliegender Corona-Infektion. Für die richtige Einordnung sollte man die Höhe des absoluten Risikos nicht unerwähnt lassen. Es liegt bei 0,008% p.a. für 24-Jährige und folglich bei etwa 8% p.a. für 78-Jährige.

Dargestellt als Zweierpotenz besagt die lineare Näherung Letalität ~ 2^(Alter/5,41). Daher kann man auch festhalten, dass sich die Corona-Sterblichkeit p.a. bei vorliegender Infektion pro etwa 5,5 Lebensjahren verdoppelt.

Weiteres s. Anhang.

Detailanalyse zur Mortalität nach Alter

Der Kurvenverlauf der Mortalität ist in Abb. 15 zusammen mit einer linearen Näherung in Abhängigkeit vom Alter dargestellt. Den tatsächlichen Verlauf kann man auch in diesem Falle durch eine Exponentialfunktion gut approximieren. Die lineare Näherung bringt das Grundsätzliche im Mortalitätsverlauf in aller Klarheit zum Ausdruck:

Die Mortalität wächst exponentiell mit dem Lebensalter.

Damit wird die obige Aussage zum Wesen der Corona-Pandemie auch im Hinblick auf die Mortalität unterstrichen. Die effektive Bekämpfung und Überwindung der Pandemie erfordert daher zielgenaue Maßnahmen, weil ansonsten die um mehrere Größenordnungen unterschiedlichen Risiken bei Älteren und Jungen in einen Topf geworfen und gleichartig behandelt werden. So erzielt man nur einen Bruchteil der möglichen Wirkung bei gleichzeitig maximalem Kosteneinsatz.

Kurvenverlauf der Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2021 in Abhängigkeit vom Alter.

Abbildung 15: Kurvenverlauf der Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2021 in Abhängigkeit vom Alter. Man beachte die logarithmische Darstellung. Zusätzlich eingezeichnet ist eine exponentiell-lineare Näherung (gestrichelte Linie in braun). Rohdaten zur Letalitätskurve: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Ausgedrückt in Prozentwerten lautet die Formel für die Mortalität p.a.:

Mortalität 0,001% * 10^(Alter-24)/22

Nach dieser Approximationsformel verzehnfacht sich der Mortalitätswert p.a. pro 22 Lebensjahren. Verglichen mit einem 18-Jährigen hat demzufolge ein 40-Jähriger ein 10-fach, ein 62-Jähriger ein 100-fach und ein 84-Jähriger ein 1000-fach höheres Corona-Sterberisiko p.a.. Um das richtig einzuordnen muss man erwähnen, dass das absolute Risiko von 18-Jährigen bei etwa 0,0005% liegt, das von 84%-Jährigen bei 0,5%.

Dargestellt als Zweierpotenz besagt die lineare Näherung Mortalität ~ 2^(Alter/6,62). Daher kann man konstatieren, dass sich das Corona-Sterberisiko p.a. bei vorliegender Infektion pro etwa 6,5 Lebensjahren verdoppelt.

Weiteres s. Anhang.

Detailanalyse zum Infektionsrisiko nach Alter

Der Kurvenverlauf des Infektionsrisiko ist in Abb. 16 zusammen mit zwei Näherungskurve in Abhängigkeit vom Alter dargestellt. Der Verlauf kann durch eine lineare Näherung nicht gut approximiert werden. Es geht hier eher darum, das grundsätzliche Verhalten im Verlauf des Infektionsrisikos in eine einfache Formel zu fassen. Für weite Altersbereiche ist die Abweichung von tatsächlichen Verlauf nicht allzu groß. Die kubische Approximation ist insbesondere für die interessierenden Lebensalter ab 45 sehr viel präziser, aber natürlich auch unhandlicher. Das Wesentliche kommt bereits durch die lineare Näherung zum Ausdruck.

Kurvenverlauf des Covid-19-Infektionsrisikos (Infektionswahrscheinlichkeit p.a.) für 2021 in Abhängigkeit vom Alter.

Abbildung 16: Kurvenverlauf des Covid-19-Infektionsrisikos (Infektionswahrscheinlichkeit p.a.) für 2021 in Abhängigkeit vom Alter. Man beachte die logarithmische Darstellung. Zusätzlich eingezeichnet sind zwei Näherungskurven: Eine exponentiell-lineare Näherung (gestrichelte Linie in braun) und eine exponentiell-kubische Näherung (strichpunktierte Linie in grün). Rohdaten zur Letalitätskurve: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Ausgedrückt in Prozentwerten lautet die Formel für das Infektionsrisiko p.a.:

Infektionsrisiko 10% * 1/10^(Alter-25)/100

Im Unterschied sowohl zur Letalität wie auch zur Mortalität, die beide mit zunehmendem Alter exponentiell wachsen, sehen wir bezüglich des Infektionsrisikos ein gegenteiliges Verhalten: Je höher das Alter, desto geringer die Infektionswahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit ist zwar nicht so stark und eindeutig ausgeprägt, sie führt aber dennoch dazu, dass das Infektionsrisiko mit dem Alter signifikant zurückgeht. Vermutlich deswegen, weil die Anzahl der Kontakte gleichfalls sinkt.

Ganz grob kann man sagen, dass sich die Infektionswahrscheinlichkeit p.a. pro 30 Lebensjahren in etwa halbiert. Ein Blick auf die Zweierpotenz-Näherungsformel macht das unmittelbar klar.

Infektionsrisiko 12,5% * 1/2^(Alter-15)/30

Weiteres s. Anhang.

Berechnung der Letalität für Geimpfte und Ungeimpfte nach Altersgruppen

Die Letalitätswerte pro Altersgruppe haben wir oben aus den Daten des RKI abgeleitet und diskutiert. Eine Unterscheidung in Geimpfte und Ungeimpfte kann daraus nicht unmittelbar abgeleitet werden, da die Impfstatus der Infizierten und der Verstorbenen in 2021 nicht konsequent erfasst wurden (jedenfalls wurden diese Zahlen vom RKI nicht veröffentlicht). Über einen kleinen Umweg ist es indessen möglich, die Zahl der infizierten und verstorbenen Geimpften, \( g_{Inf} \) und \( g_{Tod} \), indirekt zu berechnen. Gleiches geht natürlich auch für die Ungeimpften (\( u_{Inf} \) und \(u_{Tod} \)).

Das Rechenverfahren mit der Herleitung der nötigen Formeln wird im Anhang näher dargestellt. Die Datengrundlage für die angenommenen altersgruppenspezifischen Impfquoten und Wirksamkeiten ist in Tab. 1 aufgelistet.

Annahmen zu den altersgruppenspezifischen Impfquoten und den Schutzwirkungen der Impfung im Hinblick auf eine Covid-19-Infektion und Tod (an oder mit Corona).

Tabelle 1: Annahmen zu den altersgruppenspezifischen Impfquoten und den Schutzwirkungen der Impfung im Hinblick auf eine Covid-19-Infektion und Tod (an oder mit Corona). Die durchschnittlichen Impfquoten ergeben sich aus dem Verlauf der Impfkampagne im Jahresverlauf aus den Daten des RKI. Die Annahmen zur Schutzwirkung basieren auf den Infektionszahlen Geimpfter und Ungeimpfter (wurden in der zweiten Jahreshälfte für symptomatisch Erkrankte erfasst). Hinsichtlich des Schutzes vor Tod wurden die Todesfallzahlen des RKI in den Kalenderwochen 40-49/2021 zugrunde gelegt. Ferner wurden Studienaussagen über das Nachlassen der Schutzwirkung in den Monaten nach der zweiten Impfdosis berücksichtigt (s. [8]).

Abbildung 17 zeigt die Ergebnisse der Berechnung auf Basis der angenommenen Jahresmittelwerte für die Impfquoten und die Wirksamkeiten (s. Tab. 1).

Folgende Formeln wurden angewendet (s. Anhang):

Berechnung der Letalität \( L_{g} \) für Geimpfte:

\begin{equation} L_{g} = \frac{1-W_{Tod} } {1-qW_{Tod} } \cdot \frac{1-qW_{Inf} } { 1-W_{Inf} } \cdot L \end{equation}

Berechnung der Letalität \( L_{u} \) für Ungeimpfte:

\begin{equation} L_{u} = \frac{ 1-qW_{Inf} } { 1-qW_{Tod} }\cdot L \end{equation}

Berechnete Covid-19-Letalität (Sterblichkeitsrate nach einer Corona-Infektion) in 2021 für Geimpfte und Ungeimpfte nach Altersgruppen.

Abbildung 17: Berechnete Covid-19-Letalität (Sterblichkeitsrate nach einer Corona-Infektion) in 2021 für Geimpfte und Ungeimpfte nach Altersgruppen. Die grauen Säulen zeigen die mittlere Sterblichkeit pro Altersgruppe. Man erkennt, dass die Sterblichkeitsraten von Geimpften in den interessierenden und am meisten gefährdeten Altersgruppen 60-69, 70-79 80-89 und 90+ gegenüber den jeweiligen Referenzwerten (graue Säulen) gesunken sind. Die Letalität der Ungeimpften liegt dagegen überall höher. Der Unterschied zwischen Geimpften und Ungeimpften macht in der Relation z.T. mehr als 100 % aus. Die mittlere Sterblichkeit über alle Altersgruppen liegt natürlich nach wie vor bei 1,28 %. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Die mittlere Letalität der Geimpften liegt nach den berechneten Daten bei etwa 3,68%, die der Ungeimpften bei 0,89%. Unter den Geimpften ist demnach die Sterblichkeit im Mittel 4-mal höher. Das erscheint auf den ersten Blick paradox und absolut unplausibel. Indessen lässt sich dieser Effekt sehr leicht erklären. Wie man Tab. 1 entnimmt und wie es ja auch der Realität entspricht, war die Impfquote bei den Älteren ab 60 im Jahresmittel deutlich höher als die Impfquote bei den Jüngeren (Altersgruppen, 0-9, 10-19, 20,29, 30-39, sogar 40.49). Die Ungeimpften rekrutieren sich daher zu einem großen Teil aus diesen zwar nicht geimpften, aber absolut ungefährdeten Altersgruppen, die zu den Todesfallzahlen in Summe weniger als 1% beitragen. Umgekehrt sind gerade die vulnerablen Gruppen geimpft –  und sie haben natürlich trotz der Impfung immer noch ein vielfach höheres Corona-Sterberisiko als die jungen Ungeimpften.

Wir haben oben gesehen, dass sich die Letalität (also die Sterblichkeit bei einer vorliegenden Infektion) pro 18-Lebenjahren verzehnfacht. Wenn nun andererseits die Impfung im Idealfall eine Wirksamkeit von 90% entfaltet, dann wird dieser positive Schutzeffekt im Ergebnis pro 18-Lebensjahren Unterschied aufgezehrt. Demnach hat also z.B. ein 24-Jähriger Ungeimpfter immer noch ein 100-fach geringeres Risiko an Corona zu versterben als ein 78-Jähriger Geimpfter. Tatsächlich ist die Schutzwirkung der Impfung in der Realität gerade für die Ältesten deutlich geringer als 90%, teilweise geht sie eher in Richtung 50%. Deswegen kann es nicht verwundern, dass die Sterblichkeitsrate der Geimpften im Schnitt höher liegt als die der Ungeimpften.

Im Wesentlichen geht es hier um einen statistischen Effekt aufgrund der ungleichen Risikomischung in den beiden Gruppen. Der entscheidende Punkt ist die gewichtete Mittelwertbildung mit den jeweiligen Anteilen unter den Geimpften bzw. Ungeimpften in der Bevölkerung. Vorausgesetzt, die Impfquote in allen Altersgruppen wäre gleich (also gleiche Risikomischung), dann würde die Letalität der Geimpften auch in der Mittelwertbildung über alle Altersgruppen kleiner ausfallen als die der Ungeimpften.

Hypothetische Todesfallzahlen auf Basis der berechneten Letalitätswerte für Geimpfte und Ungeimpfte

Auf Basis der berechneten Letalitätswerte für Geimpfte und Ungeimpfte kann man grob bestimmen, wie hoch die Todesfallzahlen in 2021 gewesen wären, wenn niemand oder alle geimpft gewesen wären. Natürlich ist dieser Ansatz in gewisser Weise spekulativ, weil man nicht sicher vorhersagen kann, welchen Einfluss eine geänderte Impfquote auf die Infektionsfallzahlen gehabt haben würde. Nach allem was wir heute wissen, kann man in erster Näherung davon ausgehen, dass dieser Einfluss eher gering ist. Nach den Daten des RKI zu den symptomatischen Covid-19-Fällen tragen Geimpfte und Ungeimpfte in ähnlichem Grade zum Infektionsgeschehen bei. Geimpfte sind daher, schon wegen ihrer zahlenmäßigen Dominanz, nicht wegzudenkende Treiber der Infektionsdynamik. Unterstellen wir daher in einer ersten Betrachtung, es gebe durch die Impfung keine unmittelbare Rückwirkung auf die Inzidenzen. Wie hoch wären unter dieser Annahme die Todesfallzahlen für 2021 in den beiden Extremszenarien ausgefallen?

In Abb. 18 sind die entsprechenden, auf Basis der berechneten Letalitätswerte und der geschilderten Annahme bestimmten hypothetischen Todesfallzahlen im Vergleich zu den tatsächlichen Fallzahlen nach Altersgruppen getrennt hintereinander dargestellt.

Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen.

Abbildung 18: Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen. Die Reihenfolge der Legende entspricht der Höhe der Säulen von vorne nach hinten. Die grünen Säulen im Vordergrund zeigen die Todesfallzahlen unter der Annahme, alle seien schon zu Beginn des Jahres geimpft (Impfquote 100%) gewesen und würden die Sterblichkeitsrate in Höhe der berechneten Letalität aufgewiesen haben. Im Hintergrund orange dargestellt sind die Säulen für das Alternativszenario ganz ohne Impfung (Impfquote 0%). Die tatsächlichen Fallzahlen werden durch die grauen Säulen aufgezeigt. Zusätzlich dargestellt sind die hypothetischen Fallzahlen unter der gleichfalls nicht abwegigen Annahme, die Letalitätswerte aus 2020 würden auch in 2021 zutreffend gewesen sein (blauen Säulen). Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

In der Gesamtschau macht Abb. 18 klar, dass die Impfung die Fallzahlen in allen Altersgruppen ab 60 merklich verringert. Umgekehrt würde der völlige Verzicht auf die Impfung in genau diesen Altersgruppen für eine signifikante Erhöhung der Fallzahlen gesorgt haben. Keinen nennenswerten Effekt sieht man bei den Altersgruppen unter 50, einen geringen in der Altersgruppe 50-59.

Die Summenwerte der Todesfallzahlen für die vier Szenarien sind in Abb. 19 dargestellt.

Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 in unterschiedlichen Szenarien.

Abbildung 19: Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 in unterschiedlichen Szenarien. Die Grafik zeigt die Summenwerte der Todesfallzahlen für die vier betrachteten Szenarien. Grün: alle schon zu Beginn des Jahres geimpft (Impfquote 100%), Sterblichkeitsrate in Höhe der berechneten Letalität. Orange: Alternativszenario ganz ohne Impfung (Impfquote 0%). Grau: Tatsächliche Fallzahlen in 2021. Blau: Hypothetische Fallzahlen unter der Annahme, die Letalitätswerte aus 2020 würden auch in 2021 gegolten haben. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Das blaue (Sterblichkeit 2020 auch in 2021) und das orange Szenario (berechnete Sterblichkeit für  Ungeimpfte aus den 2021-er Daten) belegen, dass die partielle Impfung in 2021 wohl eine Wirkung entfaltet hat. Jedenfalls würden die Fallzahlen ohne die Impfung mit einiger Wahrscheinlichkeit um einen hohen vierstelligen bis niedrigen 5-stelligen Zahlenwert höher ausgefallen sein. Auch wenn die Szenarien die Realität nicht 1:1 widerspiegeln mögen, so geben sie doch einen validen Hinweis. Das gilt natürlich auch für die Grenzen im Hinblick auf die Höhe des zu erwartenden Resultats.

Die beiden Szenarien „blau“ und „orange“ sind im Ergebnis nicht deckungsgleich. Das war aufgrund der höheren Gefährdung durch die in 2021 verbreitete Delta-Variante auch nicht zu erwarten. Sie weisen aber in dieselbe Richtung. Das stützt die Sinnhaftigkeit des beschriebenen Ansatzes (s. Anhang) zur separaten Ableitung der Letalitätswerte für Geimpfte und Ungeimpfte. Der Vergleich der tatsächlichen Fallzahlen mit dem grünen Szenario zeigt überdies den möglichen Effekt einer hohen Impfquote. Die Fallzahlen gehen sicher nicht auf Null, das ist angesichts der begrenzten und im Zeitverlauf rasch nachlassenden Wirksamkeit der verfügbaren Impfstoffe auch nicht zu erwarten. Dennoch ist die mögliche Reduzierung der Anzahl der Todesfälle durchaus signifikant, wenn auch nicht durchschlagend.

Hypothetische Todesfallzahlen bei Änderung der Impfquote

Im vorstehenden Abschnitt haben wir den Aspekt der Infektionszahlen außer acht gelassen. Deswegen müssen die Ergebnisse zunächst als Fingerzeige gelten. Es ist indessen möglich, die Auswirkungen einer geänderten Impfquote und oder einer anderen Wirksamkeit des Impfstoffen mit einer etwas höheren Präzision aus den Felddaten abzuleiten. Dabei gehen wir von folgenden Überlegungen aus:

Eine Veränderung der Impfquote hat Einfluss auf die Anzahl der Geimpften und Ungeimpften und damit auch auf die Infektionszahlen. Die Sterblichkeit sowohl unter den Geimpften wie auch den Ungeimpften berührt das aber in erster Näherung nicht. Daher erscheint die Annahme konstanter Letalitätswerte pro Altersgruppe plausibel. Anders verhält es sich bezüglich der (Gesamt-)Letalität über alle Infizierten. Wenn die Impfquote modifiziert wird oder sich der Infektionsschutz verändert, dann verschieben sich auch die relativen Anteile der Geimpften und Ungeimpften unter den Infizierten und in der Folge auch das Verhältnis zwischen den Todesfallzahlen. Daher wird die (Gesamt-)Letalität bei der beschriebenen Änderung in der Regel nicht gleich bleiben.

Ausgangspunkt für die Ableitung der Formelbeziehungen ist das Invarianz-Postulat:

  • Die altersgruppenspezifischen Letalitätswerte der Geimpften und der Ungeimpften sind invariant hinsichtlich einer Modifikation der Impfquote und / oder einer Veränderung der Wirksamkeit des Impfstoffs im Hinblick auf den Schutz vor Infektion (vorausgesetzt, der Todesfallschutz bleibt gleich).

Die mathematischen Überlegungen finden sich im Anhang.

Folgende Formeln kommen für die Bestimmung der Todesfallzahlen bei modifizierter Impfquote \(q^{*}\) und/oder Wirksamkeit \( W^{*} \) zur Anwendung.

Anzahl der Fälle unter Ungeimpften pro Altersgruppe:

\begin{align} u_{Tod}^{*} = L \cdot \frac{1-q^{*} }{1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf} \end{align}

Anzahl der Fälle unter Geimpften pro Altersgruppe:

\begin{align} g_{Tod}^{*} = L \cdot q^{*} \cdot \frac{1- W^{*} }{1-W } \cdot \frac{1- W_{Tod} }{1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf} \end{align}

Neue (Gesamt-)Letalität pro Altersgruppe:

\begin{align} L^{*} = L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{1- q^{*} W^{*} } + L_{g} \cdot q^{*} \frac{1-W^{*} }{1- q^{*} W^{*} }  \end{align}

Gesamtanzahl der Fälle pro Altersgruppe:

\begin{align} a_{Tod}^{*} = L^{*} \cdot \frac{1- q^{*} W^{*} }{1-q W} \cdot a_{Inf}
\end{align}

Sofern die Wirksamkeit unverändert bleibt:

\begin{align} a_{Tod}^{*} = L \cdot \frac{1 – q^{*} W_{Tod} } { 1-qW_{Tod}} \cdot a_{Inf}
\end{align}

Die erzielten Ergebnisse für insgesamt 7 unterschiedliche Szenarien mit altersgruppenspezifisch variierten Impfquoten finden sich in den Abbildungen 20 und 21.

Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen zur Höhe der Impfquote.

Abbildung 20: Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen zur Höhe der Impfquote. Die Grafik zeigt die Summenwerte der Todesfallzahlen für sieben unterschiedliche Szenarien betreffend der Impfquoten über die Altersgruppen. Zum Vergleich sind die tatsächlichen Fallzahlen aus 2021 (Rubrik ganz links) aufgeführt. Die Säulen sind von links nach rechts nach der Höhe der Gesamtimpfquote geordnet. Ganz oben sind die jeweiligen Differenzen der Fallzahlen zum Vergleichswert aus 2021 notiert. Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.

Man sieht, dass die Höhe der Impfquote allein nur eine begrenzte Aussagekraft im Hinblick auf die erzielbare Reduzierung der Fallzahlen besitzt. Die zweite Rubrik von rechts steht für eine Impfquote von 85%, dennoch liegen die Todesfallzahlen gleich hoch wie in 2021. Warum? Es sind die Falschen geimpft. Nicht die Alten, sondern die Jungen. Umgekehrt kann man mit einer Impfquote von nur 52% (hellgrüne Säule, vierte Rubrik von links) eine Verringerung der Anzahl der Todesfälle auf einem ähnlichen Niveau erzielen, wie das im Szenario mit 73% Impfquote (dunkelbaue Säule, fünfte Rubrik von links) oder im Szenario mit 90% Impfquote (grüne Säule, Rubrik ganz rechts) möglich ist. Entscheidend ist die Durchimpfung von den höheren zu den niedrigeren Altersgruppen.

In der letzten Grafik wird für die Fallzahlen in den betrachteten Szenarien zusätzlich die Unterscheidung in Geimpfte und Ungeimpfte vorgenommen. Dies wirft noch einmal ein Schlaglicht auf die Grenzen des durch eine hohe Impfquote Erreichbaren im Hinblick auf die am Ende verbleibenden Todesfallzahlen unter Ersteren. Anderes als manche das meinen, gehen die Fallzahlen  ja nicht auf null, wenn es keine Ungeimpften mehr gibt. Die Todesfallinzidenzen reduzieren sich auch nicht auf 10 %, weil die angegebene Impfstoffwirksamkeit von 90 % eher ein theoretischer Wert ist, der z.B. aufgrund der nachlassenden Schutzwirkung in der Praxis nicht erreicht wird.

Ohne Zweifel hat eine hohe Impfquote einen bedeutsamen Effekt auf die Verringerung der Fallzahlen. Es bleibt aber immer noch eine beträchtliche und mit den verfügbaren Impfstoffen offenbar nicht weiter reduzierbare Anzahl von Sterbefällen, weil mit der Impfquote natürlich auch die Todesfallzahlen unter den Geimpften ansteigen. In Abb. 21 sieht man das ganz deutlich. Das spricht nicht gegen die Impfung, denn die Gesamtanzahl der Corona-Todesfälle geht auf jeden Fall zurück. Es relativiert aber den erwartbaren Erfolg.

Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen (Geimpfte und Ungeimpfte) für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen zur Höhe der Impfquote.

Abbildung 21: Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen (Geimpfte und Ungeimpfte) für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen zur Höhe der Impfquote. Die Grafik zeigt die Summenwerte der Todesfallzahlen für sieben unterschiedliche Szenarien betreffend der Impfquoten über die Altersgruppen. Die Säulen sind von links nach rechts nach der Höhe der Gesamtimpfquote geordnet. Grün: Anzahl der Todesfälle bei Geimpften. Orange: Todesfälle bei Ungeimpften. Orange-weiß: Verringerung der Gesamtfallzahlen im Vergleich zu den tatsächlichen Werten aus 2021 (Rubrik ganz links). Rohdaten: RKI, Datenstand 22.01.2022.


Mathematischer Anhang

Die altersabhängige Corona-Sterblichkeit bei Infektion (Letalität)

Die Letalität \(L\) pro 100.000 Infizierten kann durch die folgende exponentiell-lineare Näherungsformel ausgedrückt werden:

\begin{align} L \approx 10^{\frac{Alter-7}{18}} \end{align}

Ausgedrückt in Prozentwerten lautet die Formel für die Letalität:

\begin{align} L \approx 0.01\% \cdot 10^{\frac{Alter-25}{18}} \end{align}

Für den Altersbereich 5-80 bleibt der absolute Fehler unter 0,25%. Der relative Fehler liegt für die Altersgruppe 20-80 meist unter 5%. Es gibt zwei Ausreißer mit einer Überschätzung des Risikos für die Altersgruppen 40-49 (30%) und 50-59 (22%).

Nach obiger Approximationsformel verzehnfacht sich der Letalitätswert pro 18 Lebensjahren. Verglichen mit einem 24-Jährigen hat demzufolge ein 42-Jähriger ein 10-fach, ein 60-Jähriger ein 100-fach und ein 78-Jähriger ein 1000-fach höheres Corona-Sterberisiko p.a. bei vorliegender Corona-Infektion. Für die richtige Einordnung sollte man die Höhe des absoluten Risikos nicht unerwähnt lassen. Es liegt bei 0,008% p.a. für 24-Jährige und folglich bei etwa 8% p.a. für 78-Jährige.

Dargestellt als Zweierpotenz ergibt sich \(L \sim 2^{\frac{Alter}{5,41}}\). Daher kann man festhalten, dass sich das Corona-Sterberisiko p.a. bei vorliegender Infektion pro etwa 5,5 Lebensjahren verdoppelt.

Eine bessere Approximation an den Letalitätsverlauf bietet die nachstehende exponentiell-kubische Näherungsformel:

\begin{align} L \approx & \, e^{ax^3+bx^2+cx+d} \\ \notag
&x=\text{Alter} \\ \notag
&a=-2,23315\cdot 10^{-5} \\ \notag
&b= 0,003765 \\ \notag
&c=-0,0602852 \\ \notag
&d=-9,559193 \\ \notag
\end{align}

Für den Altersbereich 5-95 bleibt der absolute Fehler bis auf zwei Ausnahmen für die Altersgruppe 70-79 (0,65%) und 90+ (2,6%) unter 0,02%. Der relative Fehler ist für die Altersgruppen 20-29, 40-49, 60-69 und 80-89 kleiner als 0,0001%. Für die Altersgruppen 10-19, 30-39, 50-59, 70-79 und 90+ liegt er bei 33%, 19%, 5%, 10% bzw. 11%.

Die altersabhängige Corona-Sterblichkeit (Mortalität)

Eine exponentiell-lineare Näherungsformel für die Mortalität \(M\) pro 100.000 Einwohnern ist durch die folgende Beziehung gegeben:

\begin{align} M \approx 10^{\frac{Alter-24}{22}} \end{align}

Ausgedrückt in Prozentwerten lautet die Formel für die Mortalität p.a.:

\begin{align} M \approx 0.001\% \cdot 10^{\frac{Alter-24}{22}} \end{align}

Für den Altersbereich 5-80 bleibt der absolute Fehler unter 0,005%, für 80-89 und 90+ liegt er bei 0,012% bzw. 0,1%. Der relative Fehler liegt für die Altersgruppe 30-90+ unter 8%. Für die Altersgruppe 20-29 wird das Risiko um 23% überschätzt, für die Altersgruppen 10-19 und 0-9 um 17% bzw. 65% unterschätzt. Das allerdings auf einem sehr niedrigen absoluten Risikoniveau unter 0,0005%.

Nach vorstehender Approximationsformel verzehnfacht sich der Mortalitätswert p.a. pro 22 Lebensjahren. Verglichen mit einem 18-Jährigen hat demzufolge ein 40-Jähriger ein 10-fach, ein 62-Jähriger ein 100-fach und ein 84-Jähriger ein 1000-fach höheres Corona-Sterberisiko p.a.. Um das richtig einzuordnen muss man erwähnen, dass das absolute Risiko von 18-Jährigen bei etwa 0,0005% liegt, das von 84%-Jährigen bei 0,5%.

Wegen \(M \sim 2^{\frac{Alter}{6,62}}\) kann man ebenfalls konstatieren, dass sich das Corona-Sterberisiko p.a. pro etwa 6,5 Lebensjahren verdoppelt.

Das altersabhängige Corona-Infektionsrisiko

Eine passable exponentiell-lineare Näherungsformel für das Infektionsrisiko \( r_{Inf} \) in Prozent kann folgendermaßen formuliert werden:

\begin{align} r_{Inf} \approx 10\% \cdot 10^{-\frac{Alter-25}{100}} \end{align}

Für die Altersgruppen 30-39, 60-69 und 70-79 bleibt der absolute Fehler unter 0,25%, für 50-59 liegt er bei 0,7%, für 10-29 und 80-89 bei max. 2,2%. Etwas größer ist die Abweichung für die Altersgruppen 0-9 (8,5%) und 90+ (4,3%). Der relative Fehler bleibt für die Altersgruppe 10-90 unter 30%.

Die etwas größeren Abweichungen der linearen Näherunsgformel bei den Älteren werden auf Basis der untenstehenden exponentiell-kubischen Approximation vermieden:

\begin{align} r_{Inf} \approx & \, e^{ax^3+bx^2+cx+d} \\ \notag
&x=\text{Alter} \\ \notag
&a=2,33149\cdot 10^{-5} \\ \notag
&b=-0,003795 \\ \notag
&c=0,164816\\ \notag
&d=-4,453015 \\ \notag
\end{align}

Für den Altersbereich 40-90+ bleibt der absolute Fehler der kubischen Näherung unter 0,6%. Die Approximation liegt für die Altersgruppen 0-39 um max. 3,3% daneben. Dabei bleibt der relative Fehler zwischen 20% (10-19) und 45% (0-9). Deutlich kleiner ist der relative Fehler für die Altersgruppen 40-59 (max. 2,4%) sowie 60-69 und 80-89 (<1%). Für die Altersgruppen 70-79 und 90+ liegt er bei max. 12,5%.

Im Unterschied sowohl zur Letalität wie auch zur Mortalität, die beide mit zunehmendem Alter exponentiell wachsen, sehen wir bezüglich des Infektionsrisikos ein gegenteiliges Verhalten: Je höher das Alter, desto geringer die Infektionswahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit ist zwar nicht so stark und eindeutig ausgeprägt, sie führt aber dennoch dazu, dass das Infektionsrisiko mit dem Alter signifikant zurückgeht. Vermutlich deswegen, weil Ältere im Allgemeinen weniger Kontakte haben oder sich bei ihren Kontakten besser schützten.

Ganz grob kann man sagen, dass sich die Infektionswahrscheinlichkeit p.a. pro 30 Lebensjahren in etwa halbiert. Ein Blick auf die Zweierpotenz-Näherungsformel macht das unmittelbar klar.

\begin{align} r_{Inf} \approx 12,5\% \cdot 2^{-\frac{Alter-15}{30}} \end{align}

Für die Lebensalter 20 – 80 ist die Approximation relativ nahe an der Realität.

Bestimmung der Letalitäten für Geimpfte und Ungeimpfte bei unzureichender Erfassung des Impfstatus

Die Letalität \(L\) für alle Infizierten sowie die Letalitäten für die infizierten Geimpften \( L_{g} \) und Ungeimpften \( L_{u} \) sind folgendermaßen definiert:

\begin{align} L &= \frac{ a_{Tod}} { a_{Inf} } \\
L_{g} &= \frac{ g_{Tod}} { g_{Inf} } \\
L_{u} &= \frac{ u_{Tod}} { u_{Inf} } \end{align}

Der Wert für \(L\) ergibt sich direkt aus den Statistiken des RKI. Da indessen die Impfstatus der Infizierten und der Verstorbenen in 2021 nicht konsequent erfasst wurden (jedenfalls wurden diese Zahlen vom RKI nicht veröffentlicht), können die Letalitätswerte der Geimpften und der Ungeimpften nicht unmittelbar aus dem Datenmaterial des RKI bestimmt werden. Über einen kleinen Umweg ist es indes möglich, die Zahl der infizierten und verstorbenen Geimpften, \( g_{Inf} \) und \( g_{Tod} \), zu berechnen. Gleiches geht natürlich auch für die Ungeimpften (\( u_{Inf} \) und \(u_{Tod} \)).

Bei bekannter Impfquote \(q\) und Wirksamkeit des Impfstoffs greifen wir dazu auf Formel (5) in [11] (Der Effekt der Corona-Impfung auf die Fallzahlen – sumymus blog) zurück und erhalten

\begin{align} g_{Inf} &= \left(1-\frac{1-q} { 1-qW_{Inf} } \right) a_{Inf} \\ \notag
&= q \cdot \frac{1- W_{Inf} } { 1-qW_{Inf} } \cdot a_{Inf} \\
g_{Tod} &= \left(1-\frac{1-q} { 1-qW_{Tod} } \right) a_{Tod} \\ \notag
&= q \cdot \frac{1- W_{Tod} } { 1-qW_{Tod} } \cdot a_{Tod}
\end{align}

Dabei sind \( W_{Inf} \) und \( W_{Tod} \) die entsprechenden Impfstoff-Wirksamkeiten für den Schutz vor Infektion und den Schutz vor Tod.

Für die Anzahl der Ungeimpften ergibt sich analog

\begin{equation} u_{Inf} = \frac{1-q} { 1-qW_{Inf} } \cdot a_{Inf} \end{equation}

\begin{equation} u_{Tod} = \frac{1-q} { 1-qW_{Tod} } \cdot a_{Tod} \end{equation}

Die unbekannten Letalitäten der Geimpften und der Ungeimpften können nun leicht aus den vorstehenden Formeln bestimmt werden:

\begin{align} L_{g} &= \frac{ g_{Tod}} { g_{Inf} } \\ \notag
&= \frac{1-\frac{1-q} { 1-qW_{Tod} } } {1-\frac{1-q} { 1-qW_{Inf} } } \cdot \frac{a_{Tod}} { a_{Inf} } \end{align}

Und somit

\begin{equation} L_{g} = \frac{1-W_{Tod} } {1-qW_{Tod} } \cdot \frac{1-qW_{Inf} } { 1-W_{Inf} } \cdot L
\end{equation}

sowie

\begin{align} L_{u} &= \frac{ u_{Tod}} { u_{Inf} } \\ \notag
&= \frac{\frac{1-q} { 1-qW_{Tod} } } {\frac{1-q} { 1-qW_{Inf} }} \cdot \frac{a_{Tod}} { a_{Inf} } \end{align}

\begin{equation} L_{u} = \frac{ 1-qW_{Inf} } { 1-qW_{Tod} }\cdot L \end{equation}

Das Verhältnis der beiden Letalitäten ergibt sich zu

\begin{equation} \frac{ L_{u} } { L_{g} } = \frac{ 1-W_{Inf} } { 1-W_{Tod} }
\end{equation}

Datengrundlage für die Berechnung der Letalitäten

Die altersgruppenspezifischen Impfquoten und Wirksamkeiten sind grundsätzlich bekannt. Die Impfkampagne begann Anfang 2021, so dass im Hinblick auf die Anwendung der obigen Formel zur Bestimmung der Letalitätswerte für das Gesamtjahr mittlere Impfquoten abgeschätzt werden müssen. Dasselbe gilt für die Wirksamkeiten bezüglich es Infektionsschutzes und des Schutzes vor Tod. Die betreffenden Annahmen sind in Tab. 1 (s.o.) aufgelistet.

Bestimmung der Todesfallzahlen für Geimpfte und Ungeimpfte

Nach obigen Formeln erhalten wir für die Anzahl der verstorbenen Geimpften und Ungeimpften zusammenfassend die folgenden Beziehungen:

\begin{align} g_{Tod} &= L_{g} \cdot g_{Inf} \\ \notag
&= L_{g} \left(1-\frac{1-q} { 1-qW_{Inf} } \right) a_{Inf} \\ \notag
&= L \cdot q \frac{1-W_{Tod} } {1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf} \\ \notag \\
u_{Tod} &= L_{u} \cdot u_{Inf} \\ \notag
&= L_{u} \frac{1-q} { 1-qW_{Inf} } \cdot a_{Inf} \\ \notag
&= L \frac{1-q } {1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf}
\end{align}

Die simple Mathematik zum Effekt von Massenimpfungen

Der Quotient \( \frac{g_{Tod}} { u_{Tod}} \) bringt die Wirkung der Massenimpfung in kompakter Form zum Ausdruck:

\begin{align} \frac{g_{Tod}} {u_{Tod}} = q \cdot \frac{ 1-W_{Tod}} {1-q} \end{align}

Für \(q=0\) und für \( W_{Tod} =1\) gibt es keine verstorbenen Geimpften, für \(q=1\) gibt es keine Ungeimpften.

Das relative Sterberisiko von Geimpften im Vergleich zu Ungeimpften ist \(1 : \frac{1}{1- W_{Tod}}\). Daher sind die Todesfallzahlen bei Geimpften und Ungeimpften gleich hoch, wenn das Zahlenverhältnis zwischen Geimpften und Ungeimpften reziprok proportional zum Verhältnis der Todesfallrisiken ist, wenn also

\begin{align} \frac{q } {1-q} = \frac{1 } {1- W_{Tod} } \end{align}

Die Anzahl der Todesfälle von Ungeimpften überwiegt, sofern die linke Seite kleiner ist. Das ist sicher dann der Fall, wenn die Impfquote die Wirksamkeit nicht übersteigt. Umgekehrt gibt es mehr Todesfälle bei Geimpften, wenn das Zahlenverhältnis zwischen Impfquote und „Nicht-Impfquote“ über den Wert für das Risikoverhältnis auf der rechten Seite hinauswächst.

Der Zusammenhang gilt natürlich auch ganz allgemein für Infizierte oder Hospitalisierte.

\begin{align} \frac{g} { u} = q\cdot \frac{1-W } {1-q} \end{align}

Herleitung der zu erwartenden Infektions- und Todesfallzahlen bei einer geänderten Impfquote und Wirksamkeit des Impfstoffs

Es stellt sich die Frage, wie sich denn die Todesfallzahlen in 2021 entwickelt haben würden, wenn die Imfpquote höher oder niedriger gewesen oder die Wirksamkeit des Impfstoffs eine andere gewesen wäre. Natürlich ist diese Frage spekulativ. Dennoch kann man sich der Antwort nähern und begründete Aussagen zum Effekt solcher Änderungen auf die Todesfallzahlen ableiten. Ausgangspunkt ist das oben formulierte Invarianz-Postulat.

Im Folgenden bestimmen wir die zu erwartenden Infektions- und Todesfallzahlen bei modifizierter Impfquote und Impfstoffwirksamkeit. Das versetzt uns in die Lage, Was-Wäre-Wenn-Analysen durchzuführen.

Grundformeln für Ableitung der hypothetischen Infektions- und Todesfallzahlen

Die modifizierte Impfquote bezeichnen wir mit \(q^{*}\), die geänderte Wirksamkeit für den Schutz vor Infektion nennen wir \(W_{Inf}^{*}\). Der Einfachheit halber verzichten wir dabei auf das Subskript, wenn es aus dem Zusammenhang heraus keine Verwechslungen geben kann; \(W^{*}\) meint also \(W_{Inf}^{*}\).

Wir fragen nach dem formelmäßigen Zusammenhang zwischen den neuen Infektions- und Todesfallzahlen bei der Impfquote \(q^{*}\) und der Infektionsschutz-Wirksamkeit \( W^{*} =W_{Inf}^{*}\) und den Bezugswerten bei der Impfquote \(q^{}\) und der Wirksamkeit \(W =W_{Inf}\). Dabei setzen wir eine unveränderte Wirksamkeit \(W_{Tod}\) bezüglich des Schutzes vor Tod voraus. Die neuen Infektions- und Todesfallzahlen bezeichnen wir mit \( g_{Inf}^{*} = g_{Inf}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\), \( u_{Inf}^{*} = u_{Inf}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\), \( a_{Inf}^{*} = a_{Inf}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\), die Bezugswerte mit \( g_{Inf} = g_{Inf}^{\left(q,W\right)}\), \( u_{Inf} = u_{Inf}^{\left(q,W\right)}\), \( a_{Inf} = a_{Inf}^{\left(q,W\right)}\).

Wir erhalten die folgenden Beziehungen:

\begin{align} \frac{ u_{Inf}^{*}} { u_{Inf}} &= \frac{1-q^{*}}{ 1-q } \\
\frac{ g_{Inf}^{*}} { g_{Inf}} &= \frac{ q^{*}}{q} \frac{ 1-W^{*} }{ 1-W } \\ \frac{ a_{Inf}^{*}} { a_{Inf}} &= \frac{1-q^{*} W^{*} }{1- q W } \end{align}

Erläuterung und Plausibilisierung der Beziehungen

Zur Motivation der Formeln betrachten wir eine Kohorte von 1000 Personen, 400 Geimpften und 600 Ungeimpften. Die Impfquote ist daher 40%. Der Infektionsschutz möge bei 60% liegen. Nehmen wir an, 30 Ungeimpfte seien infiziert. Demnach gibt es nun also \( \small (1-0,6)\cdot \frac{0,4}{1-0,4}\cdot 30 =8\) infizierte Geimpfte. Wenn wir nun die Impfquote auf 70% erhöhen, dann haben wir 700 Geimpfte und nur noch 300 Ungeimpfte. Entsprechend geht die Zahl der infizierten Ungeimpften auf \( \small \frac{300}{600}\cdot 30 = 15 \) zurück. Zugleich steigt die Anzahl der infizierten Geimpften auf \( \small \frac{700}{400}\cdot 8 = 14 \).

Die Anzahl der infizierten Ungeimpften verändert sich demnach proportional zur Quote der Nicht-Geimpften, wie man das intuitiv erwartet. Im Beispiel ist das der Faktor \( \small \frac{1-0,7}{1-0,4} = \frac{0,3}{0,6}\). Auf der anderen Seite wird die Anzahl der infizierten Geimpften entsprechend im Verhältnis der Impfquoten \( \small \frac{0,7}{0,4}\) erhöht.

Wenn sich die Wirksamkeit verändert, hat das offensichtlich keinen Einfluss auf die Anzahl der infizierten Ungeimpften. Doch wie verhält es sich bei den Geimpften? Gehen wir noch einmal zum obigen Beispiel und lassen nun die Impfquote konstant bei 40%, verändern aber die hypothetische Wirksamkeit von 60% auf 80%. Im Ergebnis sinkt die Anzahl der infizierten Geimpften auf \(\small(1-0,8)\cdot \frac{0,4}{1-0,4}\cdot 30 =4\). Ihre Anzahl verändert sich daher proportional zum Verhältnis der Restrisiken. Im Beispiel \( \small \frac{1-0,8}{1- 0,6} \cdot 8 = \frac{0,2}{0,4} \cdot 8 = 4 \). Zugleich sinkt die Gesamtzahl der Infizierten von \( \small 30+8 = 38\) auf \( \small 30+4 = 34\).

Wenn sowohl die Impfquote als auch die Wirksamkeit modifiziert werden, so ändert sich gegenüber den beiden Beispielen nichts bei den Ungeimpften, ihre Zahl geht auf \( \small \frac{1-0,7}{1-0,4}\cdot 30 = 15 \) zurück. Die Zahl der infizierten Geimpften verändert sich dagegen proportional zum Verhältnis \( \small \frac{0,7}{0,4}\cdot \frac{1-0,8}{1-0,6}= \frac{0,7}{0,4} \cdot \frac{0,.2}{0,4} = \frac{7}{8} \) auf \( \small \frac{7}{8} \cdot 8 = 7 \).

Werfen wir noch einen kurzen Blick auf die Gesamtzahl der Infizierten. Im ersten Beispiel sinkt sie von \( \small 30+8 = 38\) auf \( \small 15+14 = 29\). Das ist das Verhältnis \( \small \frac{1 – 0,7\cdot 0,6}{1- 0,4 \cdot 0,6} = \frac{1 – 0,42}{1-0,24} = \frac{58}{76} = \frac{29}{38}\). Analog im zweiten Beispiel: Die Gesamtzahl der Infizierten verringert sich von \( \small 30+8 = 38\) auf \( \small 30+4 = 34\) und geht damit proportional zum Verhältnis \( \small \frac{1 – 0,4\cdot 0,8}{1- 0,4 \cdot 0,6} = \frac{1 – 0,32}{1-0,24} = \frac{68}{76} = \frac{34}{38}\) zurück. Schließlich stellt sich im dritten Fall bei der gleichzeitigen Veränderung von Impfquote und Wirksamkeit die neue Anzahl der Infizierten, also \( \small 15+7 = 22\), entsprechend dem Verhältnis \( \small \frac{1 – 0,7\cdot 0,8}{1- 0,4 \cdot 0,6} = \frac{1 – 0.56}{1-0.24} = \frac{44}{76} = \frac{22}{38}\) ein.

Formeln für die Bestimmung der Infektionszahlen Geimpfter und Ungeimpfter

Kommen wir zurück zur Berechnung der Anzahl der infizierten Geimpften und Ungeimpften. Für die Fallzahlen bei Änderung der Impfquote und der Wirksamkeit erhalten wir

\begin{align} u_{Inf}^{*} &= \frac{1- q^{*} }{1-q W } \cdot a_{Inf} \\ g_{Inf}^{*} &= q^{*} \frac{1-W^{*} }{1-q W } \cdot a_{Inf} \end{align}

Formeln für die Bestimmung der Todesfallzahlen Geimpfter und Ungeimpfter

Im Weiteren können wir auf Basis obiger Formeln auch die Höhe der zu erwartenden Todesfallzahlen der infizierten Geimpften und Ungeimpften nach einer Modifikation von Impfquote und Wirksamkeit direkt aus aus den Werten für die Gesamtzahl der Infizierten vor der Veränderung errechnen. Wie oben bezeichnen wir die neuen Todesfallzahlen mit \( g_{Tod}^{*} = g_{Tod}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\), \( u_{Tod}^{*} = u_{Tod}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\), \( a_{Tod}^{*} = a_{Tod}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\) und die Bezugswerte mit \( g_{Tod} = g_{Tod}^{\left(q,W\right)}\), \( u_{Tod} = u_{Tod}^{\left(q,W\right)}\), \( a_{Tod} = a_{Tod}^{\left(q,W\right)}\).

\begin{align} u_{Tod}^{*} &= L_{u} \cdot u_{Inf}^{*} \\ \notag
&= L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{ 1-q} \cdot u_{Inf} \\ \notag
&= L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{1-q W} \cdot a_{Inf} \\ \notag
&= L \cdot \frac{1-q^{*} }{1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf}
\end{align}

\begin{align} g_{Tod}^{*} &= L_{g} \cdot g_{Inf}^{*} \\ \notag
&= L_{g} \cdot \frac{ q^{*}}{q} \cdot \frac{ 1-W^{*} }{ 1-W } \cdot g_{Inf} \\ \notag
&= L_{g} \cdot q^{*} \cdot \frac{1-W^{*} }{1-q W} \cdot a_{Inf} \\ \notag
&= L \cdot q^{*} \cdot \frac{1- W^{*} }{1-W } \cdot \frac{1- W_{Tod} }{1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf}
\end{align}

Diese Beziehungen können wir nur deswegen so formulieren, weil sich die Letalitäten für die Geimpften und Ungeimpften im betrachteten Szenario nicht verändern, weil also \(L_{g}^{*} = L_{g} \) und \(L_{u}^{*} = L_{u} \). Das Invarianzpostulat wurde oben erläutert. Für die Gesamtletalität gilt dagegen \(L^{*} \ne L \).

Die Bestimmung der Gesamtletalität bei geänderter Impfquote und Wirksamkeit

Zur Bestimmung von \( L^{*} \) gehen wir aus von

\begin{align} a_{Tod}^{*} &= L^{*} \cdot a_{Inf}^{*} \\ \notag
&= L^{*} \cdot \frac{1- q^{*} W^{*} }{1-q W} \cdot a_{Inf} \\ \notag
\end{align}

Wegen

\begin{align} a_{Tod}^{*} &= u_{Tod}^{*} + g_{Tod}^{*} \\ \notag
&= L_{u} \cdot u_{Inf}^{*} + L_{g} \cdot g_{Inf}^{*} \\ \notag
&= L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{1- q^{*} W^{*} } \cdot a_{Inf}^{*} + \\ \notag
&\quad L_{g} \cdot q^{*} \frac{1-W^{*} }{1- q^{*} W^{*} } \cdot a_{Inf}^{*} \\ \notag
&= \left( L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{1- q^{*} W^{*} } + L_{g} \cdot q^{*} \frac{1-W^{*} }{1- q^{*} W^{*} } \right) \cdot a_{Inf}^{*} \\ \notag
\end{align}

bekommen wir für \(L^{*} \) den Ausdruck

\begin{align} L^{*} &= L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{1- q^{*} W^{*} } + L_{g} \cdot q^{*} \frac{1-W^{*} }{1- q^{*} W^{*} } \\ \notag
&= L \cdot \frac{1-qW}{1- q^{*} W^{*}} \cdot \\ \notag
& \quad \frac{(1-W) – q^{*} W_{Tod} ( 1-W^{*} )+ q^{*} (W- W^{*} ) } { (1-qW_{Tod}) (1-W)}
\end{align}

Die Gesamtletalität bei geänderter Impfquote und gleicher Wirksamkeit

Für \(W^{*} = W\) vereinfacht sich die \( L^{*} \)-Formel auf

\begin{align} L^{*} = L \cdot \frac{1-qW}{1- q^{*} W} \cdot \frac{1 – q^{*} W_{Tod} } { 1-qW_{Tod}}
\end{align}

womit sich der Zusammenhang zwischen den nach der Modifikation zu erwartenden Todesfallzahlen \( a_{Tod}^{*} \) und den ursprünglichen Infektionszahlen \( a_{Inf} \) für diesen Spezialfall deutlich kürzer fassen lässt:

\begin{align} a_{Tod}^{*} &= L \cdot \frac{1 – q^{*} W_{Tod} } { 1-qW_{Tod}} \cdot a_{Inf}
\end{align}


Quellen

[1] Robert Koch-Institut, COVID-19_Todesfälle nach Sterbedatum https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Projekte_RKI/COVID-19_Todesfaelle.html

[2] Robert Koch-Institut, COVID-19_Fälle nach Altersgruppe und Meldedatum
RKI – Coronavirus SARS-CoV-2 – COVID-19-Fälle nach Altersgruppe und Meldewoche (Tabelle wird jeden Donnerstag aktualisiert)

[3] Robert Koch-Institut, Coronavirus Situationsberichte, Wochenbericht https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenberichte_Tab.html

[4] Robert Koch-Institut, Coronavirus Inzidenzen und Impfstatus https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Daten/Inzidenz_Impfstatus.html

[5] Robert Koch-Institut, Coronavirus Fallzahlen https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Daten/Fallzahlen_Kum_Tab.html

[6] Robert Koch-Institut, Coronavirus Impfquotenmonitoring https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Daten/Impfquotenmonitoring.html

[7] Robert Koch-Institut, Inzidenzen der symptomatischen und hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Impfstatus https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Daten/Inzidenz_Impfstatus.html

[8] Wie lange schützt der Impfstoff von Biontech, Moderna und Astrazeneca | Spektrum

[9] Das Coronavirus: Harmlos? Bedrohlich? Tödlich? – sumymus blog

[10] Gibt es eine Korrelation zwischen Impfquote und Inzidenz?

[11] Der Effekt der Corona-Impfung auf die Fallzahlen – sumymus blog

[12] Wer treibt die Infektionen? Ungeimpfte oder Geimpfte? – sumymus blog

Wer treibt die Infektionen? Ungeimpfte oder Geimpfte?

Es scheint klar: Infektionstreiber sind die Ungeimpften

In den letzten Wochen gab es vermehrt Diskussionen darüber, wer denn nun hauptverantwortlich für die hohen Inzidenzen sei, die Ungeimpften oder die Geimpften? Für die Medien und die Politik scheint der Fall ziemlich eindeutig: Es sind die Ungeimpften. Tenor: Die Ungeimpften verweigern die Solidarität und gefährden sich und andere. Untermauert wurde das Ganze durch entsprechende Presseberichte und die Veröffentlichung von separaten Inzidenzzahlen für Geimpfte und Ungeimpfte. Dabei kam fast immer heraus: Die Inzidenzen für Ungeimpfte liegen teilweise um den Faktor 10 und mehr höher als bei den Geimpften.

Schnellzugriff

Scheinbar dramatisch hohe Inzidenzen bei Ungeimpften in Bayern
Bayern ist kein Einzelfall: hohe Inzidenzen bei Ungeimpften auch anderswo
Analyse der exemplarischen bayerischen Zahlen
Die Einsicht kommt spät – und sie kommt nur halbherzig
Grundsätzliches zu den Inzidenzen für Ungeimpfte
Beispiel zur Inzidenzberechnung für Ungeimpfte und Geimpfte
Systematische Verzerrung der Inzidenzen
Ungeimpfte versus Geimpfte: Der Blick wird klarer
Was sagt die Wissenschaft zum Anteil der Ungeimpften am Infektionsgeschehen?
Wie entsteht ein mathematisches Modell?
Kurzanalyse zur zentralen Modellaussage
Was sagen die Felddaten?
Welche Folgerungen kann man daraus ziehen?
Ein plausibles Alternativmodell
Anhang

Scheinbar dramatisch hohe Inzidenzen bei Ungeimpften in Bayern

Betrachten wir exemplarisch die Zahlen in Bayern vom 24.11.2021. Laut dem Bayerischen Landesamt für Gesundheit und Lebensmittelsicherheit (LGL) wurden für diesen Tag die folgenden Zahlen ausgewiesen.

Infektionszahlen vom 24.11.2021 in Bayern

Tabelle 1: Infektionszahlen vom 24.11.2021 in Bayern. Quelle: Bayerischen Landesamt für Gesundheit und Lebensmittelsicherheit (LGL).

Inzidenz für Geimpfte 110, für Ungeimpfte aber 1469. – Das ist schon ein eklatanter Unterschied. Und die Differenz war auch an anderen Tagen erheblich. So berichtete die Augsburger Allgemeine am 11.11.2021 unter dem Titel „So viel häufiger stecken sich Ungeimpfte mit Corona an“ unter Berufung auf das LGL von einer noch größeren Divergenz: „Inzidenz der Ungeimpften in Bayern liegt bei 1616 – die der Geimpften bei 103“. Dabei hat man auch nicht vergessen, Impfskeptikern den Segen der Impfung nahezubringen, wo doch die Zahlen so offensichtlich seien. Gleichartig die Süddeutsche Zeitung am 19.11.2021.

Bayern ist kein Einzelfall: hohe Inzidenzen bei Ungeimpften auch anderswo

In anderen Bundesländern ein ähnliches Bild: Hamburg gibt am 24.11.2021 für die Geimpften eine Inzidenz von 223 an, für die Ungeimpften aber 715. Solche Zahlen empören Journalisten im öffentlich rechtlichen Rundfunk, die daraufhin die allgemeine Impfpflicht fordern. Offenbar, weil man ja anders den uneinsichtigen Ungeimpften nicht beikommen kann.

Dann wird das wohl so stimmen, mag der wohlmeinende Bürger dazu sagen. Eine staatliche Behörde wird doch keine Falschmeldungen verbreiten. Und wenn es eine Falschinformation wäre, würden doch nicht nahezu alle Medien solche Zahlen quasi ungeprüft wiederholen. Leider ist genau das eingetreten – zumindest war dies über viele Wochen der Fall. Erst Anfang Dezember ist aufgefallen, dass die Zahlen so nicht stimmen können. Und dies aus mehreren Gründen.

Analyse der exemplarischen bayerischen Zahlen

Kehren wir zurück zum o.g. Beispiel aus Bayern. Bei der Berechnung für den 24. November wurden gut 72 000 Personen als ungeimpft in die Rechnung mit einbezogen. Tatsächlich war aber für mehr als 57 000 davon der Impfstatus unbekannt. Man hat also kurzerhand den Impfstatus dieser Personengruppe auf „ungeimpft“ gesetzt. Natürlich kann dies das Ergebnis massiv verzerren: Die Sieben-Tage-Inzidenz der Geimpften könnte tatsächlich viel höher, die der Ungeimpften deutlich niedriger sein.

Wenn man im Beispiel nur die Personen mit bestätigtem Impfstatus nimmt, dann verbleiben lediglich 15.000 Ungeimpfte. Im Ergebnis reduziert sich die Inzidenz der Ungeimpften von 1469 auf 306 (auch dieser Wert ist noch systematisch überhöht, dazu weiter unten). Diese Zahl liegt jetzt sehr viel näher an dem für die Geimpften angegebenen Wert von 110. Wobei man berücksichtigen muss, dass Geimpfte seltener getestet werden als Ungeimpfte. Und selbstverständlich könnten unter den Personen mit unbekanntem Impfstatus auch viele Geimpfte sein, was die Inzidenz der Geimpften erhöhen würde.

Die Einsicht kommt spät – und sie kommt nur halbherzig

Wie oben schon erwähnt, ist dies leider kein bayerischer Sonderfall. In allen Bundesländern bestehen oder bestanden Ungereimtheiten betreffend der separaten Berechnung von Inzidenzen für Geimpfte und Ungeimpfte. Nachdem das offenbar geworden war, findet man z.T. absurde Ausflüchte. So kontert der bayerische Gesundheitsminister Holetschek die entsprechende Kritik der FDP an der Zurechnung der Personen mit unbekannten Impfstatus zu den Ungeimpften mit dem Satz: „Es handle sich um eine fachliche Frage, über die man aber streiten und diskutieren könne“. Da fehlen einem die Worte.

Das ist in etwa so, als würde sich der Steuerbetrüger damit rechtfertigen, er habe einfach nur eine fachlich andere Ansicht zur Steuerpflicht auf seine Einkünfte gehabt, deswegen handle es sich gar nicht um Steuerhinterziehung.

Ebenso kreativ ist der Erste Bürgermeister der Hansestadt Hamburg. Er nennt einen technischen Fehler, eine „IT-Panne“, als Grund für die scheinbar irrtümlicherweise Ungeimpften zugerechneten Infektionsfälle (s. Focus). „Scheinbar“, also „barer Schein“ und damit nur „dem Schein nach unabsichtlich“ ist an dieser Stelle vermutlich eine sehr treffende Vokabel.

Grundsätzliches zu den Inzidenzen für Ungeimpfte

Wie wir gesehen haben, wurden die offiziell ausgewiesenen Inzidenzzahlen für Ungeimpfte mehr oder weniger absichtsvoll künstlich in die Höhe getrieben. Damit allerdings nicht genug. Es gibt darüber hinaus noch einen weiteren Kritikpunkt, der selbst bei korrekter Zählung der Infektionszahlen nach Impfstatus ins Gewicht fällt und geeignet ist, die Inzidenzen der Ungeimpften gegenüber den Geimpften massiv zu verzerren. 

Es ist Usus, die Inzidenz für die Ungeimpften und die Geimpften jeweils auf 100.000 Ungeimpfte bzw. Geimpfte zu beziehen. Zunächst klingt das durchaus vernünftig. Tatsächlich ist es aber nicht sachgerecht, die Inzidenzen für Geimpfte und Ungeimpfte auf die jeweiligen Gruppengrößen zu beziehen, denn für das Infektionsgeschehen sind die absoluten Zahlen der Neuinfizierten relevant, nichts sonst. Die Infektionsdynamik wird bestimmt durch die Summe der aktuell Infektiösen und offensichtlich nicht durch die Anzahl die Infizierten in einer wie auch immer abgegrenzten Bevölkerungsgruppe. Dennoch wird diese doch eigentlich recht triviale Erkenntnis weitgehend ignoriert.

Gewollt oder ungewollt wird das teilweise noch weiter verschleiert, indem nicht immer scharf zwischen dem Inzidenzwert bezogen auf 100.000 Ungeimpfte und der Inzidenzangabe bezogen auf 100.000 Einwohner unterschieden wird.

Am Beispiel der nachstehenden Grafik von Statista kommt diese Unschärfe erst beim zweiten Blick zum Ausdruck. Dabei sind die Ausgangsdaten des RKI, auf die sich Statista hier bezieht, diesbezüglich unmissverständlich klar.

Statista Infografik – Inzidenzen Ungeimpft vs. Geimpft

Abbildung 1: Höhere Inzidenzen bei Ungeimpften. Symptomatische COVID-19-Fälle nach Impfstatus. Statista Infografik vom 13.12.2021. Anmerkung: Die in der Grafik vermittelte Information ist so nicht richtig. Zur Korrektur s. Abb. 3.

In der Überschrift zur Statista-Grafik ist angegeben: „Symptomatische COVID-19-Fälle pro 100.000 Einwohner:innen“ (Anmerkung: „Einwohner:innen“ ist der Statista-Code für „Einwohner“). Richtig ist aber „Symptomatische COVID-19-Fälle pro 100.000 Ungeimpften bzw. Geimpften der Altersgruppe“. Das macht einen erheblichen Unterschied, wie wir gleich sehen werden.

Beispiel zur Inzidenzberechnung für Ungeimpfte und Geimpfte

Um die Problematik an einem Beispiel plausibel zu machen, nehmen wir eine Stadt mit 100.000 Einwohnern, etwa Siegen, Hildesheim, Gütersloh, Kaiserlautern oder Cottbus. Aktuell seien im 7-Tage-Intervall 500 Menschen als neuinfiziert gemeldet. Offensichtlich sind genau diese 500 Personen kausal für die Ausbreitungsdynamik in der Stadt relevant. Und natürlich haben wir auch eine Inzidenz von 500. Was wird nun offiziell daraus gemacht?

Die Impfquote in der Stadt betrage 75 %. Nehmen wir ferner an, die eine Hälfte der 500 seien geimpft, die andere Hälfte ungeimpft. Für die Inzidenzen der Geimpften erhalten wird jetzt 250/0,75 = 333, und für die Ungeimpften 250/0,25 = 1000. Die Stadt wird also sagen, die Inzidenzen der Ungeimpften liegen dreimal höher als die der Geimpften. Dabei ist es unabweisbar Fakt, dass es in beiden Gruppen gleichviele Infizierte gibt und sie folglich auch gleich stark zur Infektionsdynamik beitragen.

Nehmen wir für ein weiteres kleines Gedankenspiel an, in Deutschland seien alle geimpft bis auf einen kleinen Rest von 100.000. Sofern nun bei diesen Ungeimpften 1000 Personen positiv getestet werden, haben wir also eine spezifische Ungeimpften-Inzidenz von 1000. Das hört sich bedrohlich an. Tatsächlich bedeutet dies, dass die allgemeine auf die Bevölkerung bezogene Inzidenz lediglich 1,2 beträgt. Und es ist nur die letztere Zahl, die für den allgemeinen Corona-Risikostatus von Bedeutung ist.

Systematische Verzerrung der Inzidenzen

Im Grundsatz wird damit das Kernproblem der verzerrten Inzidenzzahlen offenbar. Tatsächlich haben wir derzeit eine allgemeine Impfquote von 67 % – 70 %. Damit erscheinen die Inzidenzen der Ungeimpften ca. um den Faktor 3 vergrößert. Wenn man die Inzidenzen auf Altersgruppen bezieht – was zum Zwecke der Analyse durchaus sinnvoll ist – dann vergrößert sich die Schieflage u. U. noch weiter, da die altersgruppenspezifischen Impfquoten teilweise höher liegen.

Betrachten wir exemplarisch die Altersgruppe 60+. Die hohe Impfquote von 86 % führt hier zu einer Verfälschung der Ungeimpften-Inzidenzen um den Faktor 7 (= 1/(1-0,86)). Statt 50 wird dann z.B. eine Inzidenz von 350 ausgewiesen. Das ist eine ziemlich eindeutige Aussage zuungunsten der Ungeimpften, sozusagen eine Zusatzlast auf ihr Sündenkonto. Der Beitrag der Ungeimpften an der Infektionsdynamik wird so optisch massiv überhöht. Rational ist das nicht. Der Anteil der Ungeimpften liegt in diesem Falle bei einer Inzidenz von 50, und nichts sonst. Angesichts der Stimmungslage ist die Angabe der überhöhten Inzidenz keine objektive und wertfreie Information. M. E. muss man hier die Intention der Meinungsmanipulation unterstellen. Zumindest ist es eine Form von Zahlenmanipulation oder „kreativer Statistik“.

Die korrigierten Zahlen zum obigen Beispiel aus Bayern

Kehren wird zurück zum obigen Beispiel aus Bayern. Nach Abzug der Getesteten mit unbekanntem Impfstatus hatten wir die erwiesene spezifische Inzidenz der Ungeimpften schon auf 306 korrigiert. Wenn man sich nun noch auf 100.000 Personen der Bevölkerung bezieht, dann erhält man auf Basis der bayerischen Impfquote von Ende November (66,5 %) eine weiter reduzierte tatsächliche Ungeimpften-Inzidenz von 306*0,335 = 102,51. Das ist nicht wesentlich mehr als die gleichfalls korrigierte Inzidenz unter den Geimpften, die sich zu 110*0,665 = 73 bestimmt. Aus dem ursprünglich von der Behörde angegebenen Inzidenz-Zahlenverhältnis Ungeimpft : Geimpft von 1468:110 wird nun also 103:72.

Bayerische Inzidenzahlen für Ungeimpfte und Geimpfte vom 24.11.2021

Abbildung 2: Bayerische Inzidenzahlen für Ungeimpfte und Geimpfte vom 24.11.2021, vor (Rubrik links) und nach (mittige Rubrik) der Aufdeckung der Falschzuweisung von Personen mit unbekanntem Impfstatus zu den Ungeimpften. Die Rubrik ganz rechts zeigt die im Hinblick auf die Infektionsdynamik relevanten Inzidenzwerte bezogen auf 100.000 Einwohner. In den Ellipsen ist jeweils das resultierende Verhältnis der Inzidenzen von Ungeimpften und Geimpften eingetragen.

Es soll noch einmal ausdrücklich hervorgehoben werden: Die Wahrheit zum Infektionsgeschehen steckt ausschließlich in der rechten Rubrik des Diagramms von Abb. 2.

Ungeimpfte versus Geimpfte: Der Blick wird klarer

Die in vielen Medien veröffentlichten und von einigen Bundesländern erhobenen Inzidenzen zu Geimpften und Ungeimpften sind, wie man an diesem Beispiel und der obigen Diskussion sieht, offensichtlich nicht vertrauenswürdig. Eher verlässlich sind die vom RKI publizierten Zahlenwerte zu den symptomatischen Inzidenzen. Symptomatisch infiziert heißt, die Betroffenen weisen Symptome auf und sind positiv getestet. Bei diesem Personenkreis wird der Impfstatus erfasst. Jedenfalls trifft das für etwa 84 % der Fälle zu. Es gibt also immer noch eine Unsicherheit, aber sie erscheint tolerabel. Die symptomatischen Inzidenzen sind somit ein vernünftiger Ausgangspunkt für die Beurteilung der Infektionsdynamik im Hinblick auf Geimpfte und Ungeimpfte.

Oben hatten wir auf die nach Altersgruppen aufgesplitteten symptomatischen Inzidenzen für Ungeimpfte und Geimpfte in Kalenderwoche 47 (s. Abb. 1) abgehoben. Es war schon angemerkt worden, dass hier die spezifischen Inzidenzen dargestellt sind (also die Entsprechung zur mittleren Rubrik in Abb. 2). Das werden wir aber gleich korrigieren (s. Abb. 3).

Korrigierte Inzidenzen für Ungeimpfte und Geimpfte zur Statista Infografik

Abbildung 3: Korrigierte Inzidenzen für Ungeimpfte und Geimpfte hinsichtlich symptomatischer COVID-19-Fälle in KW 47 mit ausgewertetem Impfstatus. Korrektur zur eingebetteten Statista Infografik vom 13.12.2021 (s. Abb. 1). Man beachte die eklatanten Unterschiede bezüglich der Verhältnisse der Inzidenzen in den beiden Grafiken (s. Pfeile bei den Altersgruppen 18-59 und 60+).

Wie man Abb. 3 entnimmt, liegen die auf 100.000 Einwohner bezogenen Zahlenwerte deutlich niedriger als die auf die jeweiligen Gruppen bezogenen Inzidenzen (s. Abb. 1). Es zeigt sich eine gänzlich andere Botschaft als die von der Originalgrafik suggerierte. Besonders auffallend ist, dass nun die Inzidenzen der Geimpften höher liegen als die der Ungeimpften. Lediglich in der Altersgruppe 12-17 ist das nicht so, sie ist indes mit ca. 4,5 Mio. Individuen eine relativ kleine Gruppe und schlägt daher in der Gesamtschau (Rubrik rechts: alle) nicht durch. Insgesamt können wir daher festhalten, dass im Hinblick auf die symptomatischen Inzidenzen Ungeimpfte und Geimpfte die Infektionsdynamik in etwa gleicher Stärke bestimmen.

Was sagt die Wissenschaft zum Anteil der Ungeimpften am Infektionsgeschehen?

In einer relativ neuen Studie der Humboldt-Universität Berlin wird deutlich der hohe Anteil der Ungeimpften an der Infektionsdynamik hervorgehoben. Darüber wird z.B. so berichtet:

„Eine neue Studie zeigt, wie Geimpfte auf das Infektionsgeschehen einwirken: Nicht besonders stark“ (SZ).

Ungeimpfte am Großteil der Corona-Neuinfektionen beteiligt“ (SWR).

Oder: „Ungeimpfte an bis zu 90 Prozent aller Infektionen beteiligt“ (ntv).

Die letzte Aussage noch kürzer und prägnanter formuliert „Ungeimpfte (sind) an 8 bis 9 von 10 Neuinfektionen beteiligt“. – Das ist schon eine ziemlich klare Ansage zur Verantwortlichkeit am Infektionsgeschehen. Die Infektionstreiber sind also offenbar die Ungeimpften.

Doch ist das wirklich so eindeutig? Kann man das der Studie tatsächlich entnehmen? Oder werden hier Modellrechnungen überinterpretiert?

Wie entsteht ein mathematisches Modell?

Das grundsätzliche Vorgehen hinsichtlich des Modellaufbaus ist üblicherweise etwa folgendermaßen: Auf der Basis von Annahmen über die Infektionswege, Annahmen über die Kontakthäufigkeit von Ungeimpften und Geimpften, Annahmen über die Wahrscheinlichkeit einer Ansteckung unter Ungeimpften, unter Geimpften und zwischen den beiden Gruppen wird ein mathematisches Modell formuliert, das diese angenommenen Verhältnisse anhand von formelmäßigen Beziehungen adäquat widerspiegelt.

Mittels des Modells wird dann untersucht, ob die beobachteten Inzidenzen und ihre dynamische Entwicklung auf diese Weise nachgebildet werden können. Anschließend werden die Modellannahmen und ggf. die Zusammenhänge so lange verändert, bis sich eine gute Übereinstimmung zwischen den tatsächlichen Infektionszahlen und den vom Modell errechneten Zahlen ergibt.

Sofern dieses Ziel erreicht ist, darf man es in erster Näherung für plausibel halten, dass das aufgestellte mathematische Modell die realen Zusammenhänge angemessen abbildet. Ob es sich indes tatsächlich so verhält ist damit nicht bewiesen. Es ist i. A. sogar absolut unsicher, inwiefern ggf. andere Annahmen oder modifizierte Modellparameter zum selben Ergebnis führen könnten.

Modellrechnung versus Feldbeobachtung

Zunächst einmal muss man festhalten, dass die Aussage der Studie, an 9 von 10 Corona-Ansteckungen seien Ungeimpfte beteiligt, nicht das Ergebnis einer Feldbeobachtung ist. Es handelt sich vielmehr um das Resultat aus einer Modellierung. Ob die Modellaussage richtig oder falsch ist, hängt davon ab, inwiefern die Modellannahmen zutreffend sind.

Insofern im Modell die Annahme getroffen wird, Ungeimpfte seien erheblich ansteckender als Geimpfte, wird das Modell natürlich auch das Ergebnis ausweisen, dass Ungeimpfte deutlich häufiger als Geimpfte Verursacher von Infektionen sind. Im Allgemeinen wird durch die Wahl der Eingangsparameter das Modellverhalten und damit auch das Untersuchungsergebnis wesentlich vorherbestimmt – wäre es anders, brauchte man das Modell nicht.

Modelle haben beschreibenden Charakter, sie können (möglicherweise) mathematisch abbilden, was man beobachtet und können unter Umständen z. B. zur Vorhersage künftiger Entwicklungen eingesetzt werden. Prinzipbedingt kann ein Modell aber keinen Beweis liefern.

Es ist also keineswegs evident, dass „an 9 von 10 Corona-Ansteckungen Ungeimpfte beteiligt sind“, vielleicht ist es lediglich eine mögliche Erklärung für die beobachtete Entwicklung der Infektionszahlen – sofern sonst alles richtig gemacht wurde und – das ist ganz wichtig – die Annahmen in der Realität zutreffen.

Kurzanalyse zur zentralen Modellaussage

Was heißt eigentlich, Ungeimpfte seien „an 9 von 10 Corona-Ansteckungen beteiligt“? Das ist eine etwas spitzfindige Formulierung, denn es wird ja nicht gesagt, dass 9 mal mehr Ungeimpfte als Geimpfte infiziert seien. Es wird damit auch nicht behauptet, Geimpfte seien nur an einer von 10 Ansteckungen beteiligt, obwohl man sicher sein kann, dass nicht wenige genau diesen Schluss daraus ziehen werden.

Wie dem auch sei, die Aussage könnte man etwa folgendermaßen ausdeuten:

(1) Ein Ungeimpfter infiziert 9 Geimpfte, und einer der Geimpften infiziert einen weiteren Geimpften. Dann waren also die Ungeimpften an 9 von 10 Ansteckungen beteiligt. – Das ist die ausgesprochene Botschaft, wie sie sich in den Köpfen festsetzt. Nebenbei bemerkt, aber das geht unter: In diesem Falle sind die Geimpften bei 10 von 10 Übertragungen direkt involviert.

Es könnte aber auch so sein:

(2) Ein Ungeimpfter infiziert 5 andere Ungeimpfte und 4 Geimpfte. Einer der Geimpften infiziert einen weiteren Geimpften. Es gibt 10 Ansteckungen, an 9 davon 10 waren Ungeimpfte beteiligt. Zum Vergleich: Geimpfte waren nur in 5 Ansteckungen involviert.

Oder so:

(3) 5 Geimpfte infizieren 5 Ungeimpfte und einen Geimpften. Vier Ungeimpfte infizieren 4 andere Ungeimpfte. Wieder sind Ungeimpfte an 9 von 10 Ansteckungen beteilig, Geimpfte an 6 von 10.

Vielleicht auch so:

(4) 10 Geimpfte infizieren 9 Ungeimpfte und einen weiteren Geimpften. An 9 von 10 Ansteckungen waren wieder Ungeimpfte beteiligt, Geimpfte aber an 10.

Oder gar so:

(5) Ein Geimpfter infiziert einen anderen Geimpften und 9 Ungeimpfte. Dann waren also die Ungeimpften ebenso an 9 von 10 Ansteckungen beteiligt, Geimpfte waren immer dabei. – Diese Lesart drängt sich nicht auf, sie steht aber nicht im Widerspruch zur zentralen Aussage.

Was sagen die Felddaten?

Unabhängig von der vorstehenden – zugegebenermaßen sophistischen – Relativierung der Studienaussage, darf man ernsthafte Zweifel an eben diesem zentralen Resultat, Ungeimpfte seien „an 9 von 10 Corona-Ansteckungen beteiligt“, anmelden. Ein Befund, der insbesondere in dieser zugespitzten Form geeignet ist, die einseitige Schuldzuweisung an Ungeimpfte weiter zu verfestigen. So als sei diese Gruppe sozusagen alleinverantwortlich für die teilweise hohen Inzidenzen. Und dies ohne wirklich belastbare Belege.

Nach Meinung des Autors legen die Fakten eine andere Sicht nahe.

Laut Daten des RKI wurden z.B. für die Kalenderwoche 45 insgesamt 84.000 Fälle mit symptomatischer Erkrankung an Covid-19 gemeldet, davon 41.500 Ungeimpfte und 42.500 Geimpfte. Diverse Feldstudien belegen, dass sich bei etwa einem Drittel der Infizierten eine Symptomatik ausbildet. Demnach kann die Anzahl der infizierten Ungeimpften in KW 45 auf ca. 125.000 taxiert werden. Wenn man nun davon ausgeht, dass Geimpfte einen mindestens 50-prozentigen Schutz vor einer symptomatischen Erkrankung aufweisen, dann müssen ursprünglich sogar 255.000 (= 42.500*3*2) Geimpfte als Infizierte gezählt werden. Mithin entfallen auf einen infizierten Ungeimpften zwei infizierte Geimpfte.

Das ist ein ganz anders Bild als das aus dem Modell abgeleitete. Abbildung 4 zeigt den aus den genannten RKI-Daten resultierenden Inzidenzverlauf für Geimpfte und Ungeimpfte über mehrere Wochen hinweg. Man erkennt, dass die Inzidenzen für Geimpfte und Ungeimpfte bis zu KW 40 nicht wesentlich voneinander abweichen. Danach steigen die Inzidenzen der Geimpften stärker an und liegen aktuell knapp doppelt so hoch wie die der Ungeimpften.

Korrigierte Inzidenzen für Ungeimpfte und Geimpfte errechnet auf Basis der symptomatischen COVID-19-Fälle nach Daten des RKI

Abbildung 4: Korrigierte Inzidenzen für Ungeimpfte und Geimpfte errechnet auf Basis der  symptomatischen COVID-19-Fälle nach Daten des RKI von KW 28 bis KW 47. Die angegebenen Inzidenzwerte sind ggf. höher als die jeweils veröffentlichten Infektionszahlen. Das rührt daher, dass die vorliegenden Inzidenzen hochgerechnet sind und daher auch Anteile der Dunkelziffer an Infektionen enthalten können.

Welche Folgerungen kann man daraus ziehen?

Die aus den Daten des RKI bestimmte Relation zwischen der Anzahl der infizierten Ungeimpften und Geimpften entspricht bei der gegenwärtigen Impfquote in etwa dem Zahlenverhältnis zwischen Ungeimpften und Geimpften in der Bevölkerung (etwa 1:2).

Wenn also die absolute Zahl der infektiösen Geimpften doppelt so groß ist wie die Zahl der infektiösen Ungeimpften, dann darf man davon ausgehen, dass in der Realität, also abseits der oben exemplifizierten Kasuistik, Geimpfte im Vergleich zu den Ungeimpften auch einen entsprechend hohen Anteil am Infektionsgeschehen haben. Das ist jedenfalls plausibel. Es ist kaum vorstellbar, dass die Kausalität für diese hohe Infektionszahl bei den Geimpften zu fast 90 % auf Ungeimpfte zurückzuführen sein sollte. Sofern dies zuträfe, müsste sich dies auch in extrem hohen Inzidenzen der Ungeimpften zeigen.

Auch im internationalen Vergleich gibt es nach derzeitigem Stand keine greifbare Wechselbeziehung zwischen Inzidenzahlen und Impfquoten (s. [20]). Würde es eine Korrelation geben, dann müssten Länder mit hoher Impfquote, also zahlenmäßig wenigen Ungeimpften, i.A. niedrige Inzidenzen aufweisen. Das ist nicht der Fall.

Ein plausibles Alternativmodell

Eigene Modellüberlegungen (s. Anhang) basierend auf einem differenzierten Ansatz nach Altersgruppen und Impfstatus deuten auf eine in etwa ausgeglichene Kausalität der Ansteckungen zwischen Geimpften und Ungeimpften hin. Jedenfalls dann, wenn man von der Annahme ausgeht, infizierte Geimpfte seien um 50 % weniger ansteckend als Ungeimpfte und ihrerseits im Vergleich zu Ungeimpften um 50 % vor einer Ansteckung geschützt. Die Ergebnisse dazu finden sich in Abb. 5.

Aus Modellanalysen abgeleitete relative Häufigkeiten der Übertragungswege Ungeimpft-Ungeimpft (U-U), Ungeimpft-Geimpft (U-G), Geimpft-Ungeimpft (G-U) und Geimpft-Geimpft (G-G)

Abbildung 5: Aus Modellanalysen abgeleitete relative Häufigkeiten der Übertragungswege Ungeimpft-Ungeimpft (U-U), Ungeimpft-Geimpft (U-G), Geimpft-Ungeimpft (G-U) und Geimpft-Geimpft (G-G). Diese Verhältnisse stellen sich weitgehend unabhängig von der initialen Inzidenzverteilung ein. Annahmen: (1) infizierte Geimpfte sind um 50 % weniger ansteckend als Ungeimpfte; (2) Geimpfte sind gegenüber Ungeimpften um 50 % vor einer Ansteckung geschützt. (3) Betrachtungsdauer min. 3 Monate.

Natürlich ist auch das kein Beweis. Indes leuchtet das Resultat unmittelbar ein: Es gibt unter den Geimpften zwar doppelt so viele Infizierte (aufgrund der zweifachen Anzahl an Geimpften), da sie aber nur halb so infektiös sind, gleicht sich das in der Infektionsdynamik wieder aus. Analoges gilt auch für den umgekehrten Infektionsweg: halb so viele infektiöse Ungeimpfte, allerdings mit der doppelt so hohen Ansteckungsgefahr.

Das ist eine Momentaufnahme basierend auf der gegenwärtigen Impfquote. Mit steigender Impfquote wachsen erwartbar die Anteile der Geimpften und sinkt der Einfluss der Ungeimpften. Auf die absoluten Inzidenzzahlen hat das voraussichtlich keine durchschlagende Auswirkung (s. [20]).

Weitere Plausibilisierung

In Großbritannien hat man in einer großangelegten Studie über einige Monate hinweg PCR-Tests gleichermaßen für Ungeimpfte und Geimpfte durchgeführt. Dabei hat sich Folgendes ergeben: Die dort ebenfalls etwa doppelt so große Gruppe der Geimpften wies im Vergleich zur Gruppe der Ungeimpften eine doppelt so hohe Infektionszahl auf. D. h., die spezifischen Inzidenzen in den beiden Gruppen waren also gleich.

Dieses Ergebnis deckt sich mit der oben aus den vorliegenden Felddaten der symptomatischen Inzidenzen abgeleiteten Aussage für Deutschland. Es liegt daher nahe, dass die Ungeimpften und die Geimpften gleichermaßen und in etwa gemäß ihrem Anteil in der Bevölkerung die Infektionsdynamik bestimmen. Der wesentliche Unterschied besteht allerdings darin, dass die Ungeimpften, und darunter insbesondere die Älteren, die Intensivstationen überproportional belasten. Das aber ist ein ganz anderes Thema.

Es soll nicht unerwähnt bleiben, dass die Aussage zur in derselben Weise bestehenden Verantwortlichkeit sowohl der Ungeimpften wie auch der Geimpften nicht das bloße Ergebnis aus einer Modelluntersuchung ist, sondern vielmehr durch Feldbeobachtungen (Daten des RKI zu symptomatisch Infizierten, s. [18], Studie des UK Health Service, s. [19]) untermauert wird.


Anhang

Kurzbeschreibung des mathematischen Modells

\(N\) = Größe der Population.

\(N^{(j)}\) = Anzahl der Individuen in der Altersgruppe \(j\).

\begin{equation} \sum_{j=1}^{m}{ N^{(j)} } = N\end{equation}

\(u_{n}^{(j)}\) = Anzahl infektiöser Ungeimpfter in der Altersgruppe \(j\) und in der Periode \(n\).

\(g_{n}^{(j)}\) = Anzahl infektiöser Geimpfter in der Altersgruppe \(j\) und in der Periode \(n\).

\(U_{init}^{(j)}\) = Anzahl infizierter Ungeimpfter in der Altersgruppe \(j\) zu Begin des Betrachtungszeitraums.

\(G_{init}^{(j)}\) = Anzahl infizierter Geimpfter in der Altersgruppe \(j\) zu Begin des Betrachtungszeitraums.

\(U_{n}^{(j)}\) = Summe der infizierten Ungeimpften in der Altersgruppe \(j\) am Ende der Periode \(n\) .

\(G_{n}^{(j)}\) = Summe der infizierten Geimpften in der Altersgruppe \(j\) am Ende der Periode \(n\) .

\begin{equation} U_{n}^{(j)} = U_{init}^{(j)} + \sum_{k=0}^{n} { u_{k}^{(j)}} \end{equation}

\begin{equation} G_{n}^{(j)} = G_{init}^{(j)} + \sum_{k=0}^{n} { g_{k}^{(j)}} \end{equation}

\(q_{n}^{(j)}\) = Impfquote in der Altersgruppe \(j\) am Ende der Periode \(n\) .

Infizierte nach Impfstatus:

\begin{equation} a _{n} = \begin{pmatrix}
u_{n}^{(1)} \\ g_{n}^{(1)} \\ u_{n}^{(2)} \\ g_{n}^{(2)} \\ \vdots \\ u_{n}^{(m)} \\ g_{n}^{(m)}
\end{pmatrix} \end{equation}

Entwicklungsgesetz:

\begin{equation} a _{n+1} = F_{n} \cdot R \cdot a_{n} \end{equation}

Hierin ist \(F_{n}\) die Transformationsmatrix zur Berücksichtung der Anzahl der bereits Infizierten:

\begin{equation} F_{n} = \begin{pmatrix}
f_{n}^{(1,1)} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & f_{n}^{(2,2)} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & f_{n}^{(2m,2m)}
\end{pmatrix} \end{equation}

Dabei gilt für \( 1 \le j \le 2m \):

\begin{equation} f_{n}^{(j,j)} = \begin{cases}
1 -q_{n}^{(j)} – \frac{ U_{n}^{(j) }} { N^{(j) }}, & j \equiv 1 \mod 2 \\
q_{n}^{(j)} – \frac{ G_{n}^{(j) }} { N^{(j) }}, & j \equiv 0 \mod 2 \\
\end{cases} \end{equation}

Ferner wird die nach Geimpften und Ungeimpften differenziernde \(2m\times 2m \) Reproduktionsmatrix \(R\) eingesetzt, wobei:

\begin{equation} R = \begin{pmatrix}
r^{(1,1)} & r^{(1,2)} & \cdots & r^{(1,2m)} \\
r^{(2,1)} & r^{(2,2)} & \cdots & r^{(2,2m)} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
r^{(2m,1)} & r^{(2m,2)} & \cdots & r^{(2m,2m)}
\end{pmatrix} \end{equation}

Die Matrixelemente sind für \(1 \le i,j \le m\) folgendermaßen definiert:

\begin{equation} \begin{pmatrix}
r^{(2i-1,2j-1)} & r^{(2i-1,2j)} \\
r^{(2i,2j-1)} & r^{(2i,2j)}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
R_{uu}^{(i,j)} & R_{ug}^{(i,j)} \\
R_{gu}^{(i,j)} & R_{gg}^{(i,j)}
\end{pmatrix} \end{equation}

Hierin steht \( R_{uu}^{(i,j)} \) für den Reproduktionsfaktor von infektiösen Ungeimpften der Altersgruppe \(j\) auf Ungeimpfte der Altersgruppe \(i\). Analog steht \( R_{ug}^{(i,j)} \) für den Reproduktionsfaktor von infektiösen Geimpften der Altersgruppe \(j\) auf Ungeimpfte der Altersgruppe \(i\), \( R_{gu}^{(i,j)} \) für den Reproduktionsfaktor von infektiösen Ungeimpften der Altersgruppe \(j\) auf Geimpfte der Altersgruppe \(i\) sowie \( R_{gg}^{(i,j)} \) für den Reproduktionsfaktor von infektiösen Geimpften der Altersgruppe \(j\) auf Geimpfte der Altersgruppe \(i\).

Die Anzahl der Infektionen \(s_{n}^{(y,x)}\) in der Periode \(n\) nach Kausalität \(x \in \left\{ u,g\right\} \) und Ziel \(y \in \left\{ u,g\right\} \) wird wie folgt bestimmt:

\begin{equation} s_{n}^{(y,x)} = \left \lVert {F_{n} \cdot T^{(y)} \cdot R \cdot T^{(x)} \cdot a_{n}} \right \rVert_{1} \end{equation}

Dabei sind die \(2m\times 2m \) Matrizen \( T^{(x)} \), \(x \in \left\{ u,g\right\} \), definiert gemäß

\begin{equation} T^{(u)} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation} T^{(g)} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix} \end{equation}

Aufgelöst erhalten wir:

\begin{equation} s_{n}^{(u,u)} =\sum_{i=1}^{m} \left(\left( 1 – q_{n}^{(i)} – \frac{ U_{n}^{(i) }} { N^{(i)}} \right) \sum_{j=1}^{m} R_{uu}^{(i,j)} u_{n}^{(j)} \right) \end{equation}

\begin{equation} s_{n}^{(g,u)} =\sum_{i=1}^{m} \left(\left( q_{n}^{(i)} – \frac{ G_{n}^{(i) }} { N^{(i)}} \right) \sum_{j=1}^{m} R_{gu}^{(i,j)} u_{n}^{(j)} \right) \end{equation}

\begin{equation} s_{n}^{(u,g)} =\sum_{i=1}^{m} \left(\left( 1 – q_{n}^{(i)} – \frac{ U_{n}^{(i) }} { N^{(i)}} \right) \sum_{j=1}^{m} R_{ug}^{(i,j)} g_{n}^{(j)} \right) \end{equation}

\begin{equation} s_{n}^{(g,g)} =\sum_{i=1}^{m} \left(\left( q_{n}^{(i)} – \frac{ G_{n}^{(i) }} { N^{(i)}} \right) \sum_{j=1}^{m} R_{gg}^{(i,j)} g_{n}^{(j)} \right) \end{equation}

Über den Betrachtungszeitraum von \(n\) Perioden ergeben sich daher mit \(x,y \in \left\{ u,g\right\} \) die folgenden 4 Summen zur Gesamtanzahl der Infektionen in Bezug auf die entsprechenden Übertragungswege:

\begin{equation} S_{n}^{(y,x)} =\sum_{k=1}^{n} s_{n}^{(y,x)} \end{equation}

Für die obige Rechnung wurden drei Altersgruppen angesetzt (also \(m=3\,\)): 12-17, 18-59 und 60+ und ferner die folgenden Annahmen getroffen:

Infektionswahrscheinlichkeiten:

\begin{equation} \begin{pmatrix}
U \leftarrow U & U \leftarrow G \\
G \leftarrow U & G \leftarrow G
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0.2 & 0.1 \\
0.1 & 0.05
\end{pmatrix} \end{equation}

Impfquoten (näherungsweise konstant über den Betrachtungszeitraum):

\begin{equation} \begin{pmatrix}
q_{n}^{(12-17)} \\
q_{n}^{(18-59)} \\
q_{n}^{(60+)}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0.46 \\
0.75 \\
0.86
\end{pmatrix} \end{equation}


Quellen

[1] Ungeimpfte: Inzidenz ist deutlich höher als bei Geimpften in Bayern (augsburger-allgemeine.de)

[2] https://www.sueddeutsche.de/bayern/corona-bayern-archiv-1.5462482

[3] https://www.rtl.de/cms/noch-mehr-druck-auf-ungeimpfte-hamburg-weitet-2g-regel-weiter-aus-4871018.html

[4] https://www.lgl.bayern.de/gesundheit/infektionsschutz/infektionskrankheiten_a_z/coronavirus/karte_coronavirus/archiv.htm

[5] Coronavirus: Erläuterung des LGL zur Berechnung der 7-Tages-Inzidenz Geimpfte und Ungeimpfte (bayern.de)

[6] https://www.merkur.de/bayern/fdp-fordert-wegen-verzerrter-corona-zahlen-konsequenzen-zr-91160947.html

[7] Schlagabtausch wegen Corona-Zahlen: Auch Grüne gegen FDP (merkur.de)

[8] https://www.merkur.de/bayern/fdp-fordert-wegen-verzerrter-corona-zahlen-konsequenzen-zr-91160947.html

[9] https://www.br.de/nachrichten/bayern/wirbel-um-inzidenz-bei-ungeimpften-was-sie-wissen-muessen,Sqob2QX

[10] Corona: Kritik an Bayern und Hamburg wegen Inzidenzberechnung (faz.net)

[11] Datenfehler: Inzidenz für Ungeimpfte in Hamburg massiv zu hoch ausgegeben | STERN.de

[12] Inzidenz in Hamburg: Impfstatus der Infizierten oft unklar | NDR.de – Nachrichten – Hamburg – Coronavirus

[13] https://focus.de/politik/deutschland/zu-hohe-inzidenzen-bei-ungeimpften-falsche-impfstatistik-in-hamburg-vermutlich-durch-technischen-fehler-ausgeloest_id_27709540.html

[14] https://de.statista.com/infografik/26384/inzidenz-nach-impfstatus-und-altersgruppe/

[15] https://www.swr.de/wissen/neue-studie-ungeimpfte-sind-am-grossteil-der-neuinfektionen-beteiligt-100.html

[16] https://www.n-tv.de/wissen/Studie-Ungeimpfte-an-bis-zu-90-Prozent-aller-Infektionen-beteiligt-article22969390.html

[17] https://www.sueddeutsche.de/gesundheit/corona-pandemie-impfung-ungeimpfte-inzidenz-r-zahl-neuinfektionen-1.5476301?reduced=true

[18] Inzidenzen der symptomatischen und hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Impfstatus

[19] UK Health Security Agency: COVID-19 vaccine surveillance report week 42

[20] Gibt es eine Korrelation zwischen Impfquote und Inzidenz?

[21] Der Effekt der Corona-Impfung auf die Fallzahlen – sumymus blog

Der Effekt der Corona-Impfung auf die Fallzahlen

Zuammenfassung

Im Beitrag wird der Begriff der Impfstoff-Wirksamkeit erläutert und mit der Impfquote sowie der Hospitalisierung von Geimpften in Beziehung gesetzt. Auf dieser Basis wird eine Sensitivitätsanalyse der Fallzahlen von Geimpften und Ungeimpften hinsichtlich der Impfquote durchgeführt. Mit Hilfe von Felddaten des RKI werden auf dieser Grundlage ferner Abschätzungen zum Einfluss auf die Belegung der Intensivstationen und die Sterbefälle vorgenommen.

Im Ergebnis bringen höhere Impfquoten eine spürbare Entlastung bezüglich der Hospitalisierung und der Belegung von Intensivbetten. Die Fallzahlen werden merklich gesenkt, sie gehen aber nicht auf Null. Es bleibt ein immer noch hoher Sockelbestand an offenbar durch die Impfung allein – aufgrund von partiellem Impfwirkungsversagen – nicht vermeidbaren Fällen. Die Fallzahlen in der Altersgruppe 60+ überwiegen dabei deutlich.

Bezüglich der Todesfälle ein ähnlicher Befund: In der Altersgruppe 18-59 wird das – allerdings ohnehin schon geringe – Covid-19 Sterberisiko nochmals deutlich reduziert. Auch die Altersgruppe 60+ profitiert, wenn auch bei weitem nicht so stark. Das Covid-19 Sterberisiko der Älteren bleibt – aus ähnlichen Gründen wie oben – auch mit der Impfung auf einem vielfach höheren Niveau als bei den Jüngeren.

In der Gesamtbetrachtung spielt die Altersgruppe 12-17 keine Rolle, da hier nur sehr wenige Fälle von Intensivpflichtigen auftreten und Todesfälle nahezu überhaupt nicht vorkommen.

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Einleitung

Derzeit registrieren wir eine hohe Anzahl von hospitalisierten Geimpften. Viele fragen sich, wie kann das sein, angesichts einer angegebenen Wirksamkeit der Impfstoffe von teilweise 90 % und mehr?

Sicher, wir haben bereits eine hohe Impfquote, insbesondere in der Altersgruppe 60+. Von daher liegt es auf der Hand, dass auch der Anteil der Geimpften unter den an Covid-19 Erkrankten bzw. der intensiv-medizinisch behandelten Patienten wächst und mit steigender Impfquote weiter steigen wird. Die Impfung schützt ja nicht zu 100 % vor einer symptomatischen oder asymptomatischen Infektion und auch nicht zu 100 % vor schweren Krankheitsverläufen. Es ist daher klar: Wenn im Extremfall alle geimpft sind, werden selbstverständlich nur noch Geimpfte erkranken.

Impfdurchbruch versus Impfstoffversagen

Im RKI Wochenbericht vom 25.11.2021 ist der Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten der Altersgruppe 60+ für die Kalenderwochen 43 – 46 mit 56,0 % angegeben. Das ist eine erstaunliche hohe Zahl, wenn man bedenkt, dass zugleich die Impfquote in dieser Altersgruppe bei 86 % liegt.

Das RKI spricht hier übrigens von „Impfdurchbrüchen“. Eine etwas missverständliche Bezeichnung, denn es wird ja kein „Durchbruch“ erzielt, vielmehr handelt es sich um ein Impfstoffversagen. Richtigerweise sollte man daher davon sprechen, dass bei 56,0 % der Hospitalisierten der Altersgruppe 60+ ein Impfwirkungsversagen vorliegt.

Dieser exemplarische Befund mag grundsätzliche Zweifel an der Wirksamkeit der Impfstoffe nähren. Intuitiv vermutet man eine drastisch reduzierte Wirksamkeit der Impfung als Ursache für den hohen Anteil der hospitalisierten Geimpften. Dem ist indessen nicht so. Tatsächlich liegt die Impfwirksamkeit im konkreten Fall bei knapp 80 %. Das ist zwar weniger als die in der Zulassungsstudie bestimmte Zahl von 90 – 95 %, aber immer noch ein vergleichsweise hoher Schutz.

Was heißt eigentlich Wirksamkeit?

Um zu verstehen, wie die Impfwirksamkeit bestimmt wird betrachten wir ein Beispiel. Nehmen wir eine Kohorte von 1000 Geimpften und eine Vergleichsgruppe von 1000 Ungeimpften. Wenn in der Gruppe der Ungeimpften 20 Personen hospitalisiert werden und in der Gruppe der Geimpften nur 3, wie hoch ist dann die Impfwirksamkeit?

Wir unterstellen, dass die Personen in den beiden Gruppen nach Risikofaktoren, Alter und Geschlecht usw. identisch verteilt sind. Daher dürfen wir so tun, als sei die Impfung der einzige Unterschied zwischen den beiden Gruppen. Die Reduzierung um 17 Personen gegenüber den 20 Hospitalisierten in der Gruppe der Ungeimpften ist daher auf die Wirkung der Impfung zurückzuführen. Demnach ist die relative Wirksamkeit der Impfung einfach die Größe dieser Minderung bezogen auf die Anzahl der hospitalisierten Ungeimpften. Im konkreten Fall also (20 – 3) / 20 = 0,85 (= 85 %). Die Versagensquote ist das Komplement davon, also 1 – 0,85 = 0,15 (= 15 %).

Wie bestimmt man die Wirksamkeit?

Normalerweise hat man natürlich keine gleich große Vergleichsgruppe zu Verfügung. Wie sieht es also aus, wenn von 1000 Personen 900 geimpft und 100 ungeimpft sind? Angenommen, in der Gruppe der Ungeimpften treten 20 Erkrankungen auf, in der Gruppe der Geimpften dagegen 27.  Wie hoch ist dann die Impfwirksamkeit? – Die obige Berechnung können wir nun nicht mehr direkt anwenden, weil die Gruppen unterschiedlich groß sind. Wir müssen also die Gruppen gedanklich gleich groß machen, indem wir z.B. die Anzahl der Ungeimpften auf 900 hochskalieren. Entsprechend erhöht sich dann auch die Anzahl der Hospitalisierten um den Faktor 9 auf nun 180 Erkrankte. Diese stehen den 27 erkrankten Geimpften gegenüber. Wie oben erhalten wir die Impfwirksamkeit zu (180 – 27) / 180 = 0,85 (= 85 %).

Obwohl also die Impfwirksamkeit 85 % beträgt, liegen mehr Geimpfte als Ungeimpfte im Krankenhaus. In diesem Beispiel ist es konkret nachvollziehbar, wie das zustande kommt. Wenn aber nur die Impfquote und der Hospitalisierungsgrad der Geimpften bekannt sind erscheint das viel abstrakter. Tatsächlich gelten indessen dieselben Prinzipien. Der allgemeine formelmäßige Zusammenhang zur Bestimmung der Impfwirksamkeit \(W\) ist

\begin{equation} W = \frac{n_{u} \cdot q \, – n_{g} \cdot \left (1 – q \right ) } { n_{u} \cdot q } \end{equation}

Dabei gilt:

\(n_{g} \) = Anzahl der Fälle unter den Geimpften

\(n_{u} \)  = Anzahl der Fälle unter den Ungeimpften

\(q \)  = Impfquote

Gekürzt erhalten wir

\begin{equation} W = 1 – \frac{ 1-q } {q} \cdot \frac{n_{g}} { n_{u} } \end{equation}

Mit \(n_{g} + n_{u} = n \) als Gesamtanzahl der Inzidenzen sowie mit \(g = \frac{n_{g}} { n} \) als Anteil der Geimpften und \(u = \frac{n_{u}} { n} \) als Anteil der Ungeimpften folgt

\begin{equation} W = 1 – \frac{ 1-q } {q} \cdot \frac{g} {u } \end{equation}

Wenn wir \(g + u = n \) berücksichtigen, erhalten wir schließlich die einfache symmetrische Formel

\begin{equation} W = 1 – \frac{ 1-q } {q} \cdot \frac{g} { 1-g } \end{equation}

Analyse der Wirkungsformel

Der resultierende Zusammenhang zwischen der Hospitalisierung Geimpfter und der Wirksamkeit des Impfstoffs ist nachfolgend grafisch gargestellt (s. Abb. 1).

Abbildung 1: Retrograde Bestimmung der Wirksamkeit des Impfstoffs aus der Hospitalisierung Geimpfter für unterschiedliche Impfquoten.

Abbildung 1: Retrograde Bestimmung der Wirksamkeit des Impfstoffs aus der Hospitalisierung Geimpfter für unterschiedliche Impfquoten. Man erkennt, dass bei gegebener Impfquote die resultierende Wirksamkeit mit steigendem Hospitalisierungsgrad erst langsam, dann aber rasch (überproportional schnell) fällt. Beispiel: Bei einer Impfquote von 80 % (dunkelgrüne Kurve) und einem Geimpftenanteil unter den Hospitalisierten von 20 % ergibt sich eine Impfstoffwirksamkeit von 94 %.

Ein Beispiel: Wenn sich bei gleich bleibender Impfquote von 80 % die Hospitalisierung von 20 % auf 50 % erhöht, dann spricht das für eine Reduzierung der Impfstoffwirksamkeit von ca. 94 % auf 75 %.

Solange der Hospitalisierungsgrad kleiner als \( \frac{q}{10-9q} \)  bleibt, liegt die Wirksamkeit noch über 90 %. Bei einer Impfquote von 70 % wird diese Grenze ab einem Geimpften-Hospitalisierungsanteil von knapp 19 % unterschritten. Eine höhere Impfquote von 90 % führt dagegen noch bei einem Hospitalisierungsanteil von Geimpften in Höhe von 47 % zu einer Wirksamkeit von über 90 %. Bei 95 % Impfquote wird die entsprechende Hospitalisierungsgrenze auf etwa 65 % hinausgeschoben.

Grenzbetrachtungen zur Wirkungsformel

Für Hospitalisierungsgrade um Null fällt die Wirksamkeit um \(10\cdot\frac{1-q}{q}\) Prozent für einen Anstieg der Hospitalisierung um 10 Prozent (also z.B. um 10 % bei einer Impfquote von 50 % und um etwa 1 % bei einer Impfquote von 90 %).

Die Wirksamkeit ist Null, wenn der Hospitalisierungsgrad \(g\) bis zur Höhe der Impfquote \(q\) ansteigt. Die Steigung der Kurve ist dabei \(\frac{-1}{q\left(1-q\right)}\), so dass z.B. bei einer Impfquote von \(q=0.5\) die Wirksamkeit pro Erhöhung des Hospitalisierungsgrads um 1 Prozent um 4 % fällt; bei \(q=0.9\) gar um etwa 11 %.

Der Hospitalisierungsanteil Geimpfter aus Impfquote und Wirksamkeit

Eigentlich wollen wir wissen, wie hoch der erwartete Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten bei gegebener Wirksamkeit der Impfung sein wird. Dazu müssen wir die obige Formel nach \(g\) umstellen und erhalten:

\begin{equation} g=1-\frac{1-q}{1-qW} \end{equation}

Analyse der Hospitalisierungsformel

Man entnimmt dem Zusammenhang unmittelbar, dass bei einer Wirksamkeit von \(W = 1\), wie nicht anders zu erwarten, der Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten stets gleich 0 ist. Wenn die Impfquote den Betrag \(\frac{1}{2-W}\) übersteigt, dann liegt der Geimpften-Anteil mindestens bei 50 %. Bei einer Wirksamkeit von 80 % ist das demnach schon bei einer Impfquote von 83 % der Fall. Sofern die Impfquote mindestens gleich der Impfstoff-Wirksamkeit ist, erreicht der Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten knapp 50 %. Das ist es, was wir derzeit angesichts einer Impfquote von 86,1 % in der Altersgruppe 60+ und einer Wirksamkeit in ähnlicher Höhe sehen.

In Abb. 2 ist die Abhängigkeit von der Impfquote für den Geimpften-Anteil unter den Hospitalisierten bei unterschiedlichen Wirksamkeiten grafisch dargestellt.

Abbildung 2: Hospitalisierung Geimpfter in Abhängigkeit von der Impfquote für unterschiedliche Stufen der Wirksamkeit des Impfstoffs.

Abbildung 2: Hospitalisierung Geimpfter in Abhängigkeit von der Impfquote für unterschiedliche Stufen der Wirksamkeit des Impfstoffs. Man erkennt, dass bei gegebener Wirksamkeit des Impfstoffs der Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten mit wachsender Impfquote erst leicht und dann rasch (überproportional) steigt. Beispiel: Bei einer Impfstoffwirksamkeit von 70 % (gelbe Kurve) und einer Impfquote von 70 % ergibt sich der Anteil der hospitalisierten Geimpften zu ca. 40 %.

Wenn die Impfquote bei einer Impfstoffwirksamkeit von 90 % (dunkelgrüne Kurve) von 80 % auf 90 % erhöht wird, dann wächst der Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten bereits um fast 20% von etwa 28 % auf 47 %.

Für Impfquoten gleich der Wirksamkeit oder höher steigt der Anteil der Geimpften für jedes weitere Prozent an höherer Impfquote mindestens um den Prozentbetrag \( \frac{1}{4\left(1-W\right)} \) (also z.B. um > 2,5 % bei einer Steigerung der Impfquote von 90 % auf 91 % und einer Wirksamkeit von 90 %).

Grenzbetrachtungen zur Hospitalisierungsformel

Bei einer Impfquote von Null steigt der Hospitalisierungsgrad bei einer kleinen Änderung der Impfquote \(\Delta q\) um \(\left(1-W\right)\Delta q \) (also z.B. um 5 % bei einer Steigerung der Impfquote von 0 auf 10 % und einer Wirksamkeit von 50 %).

Den steilsten Anstieg registriert man für hohe Impfquoten nahe 100 %. Der Anteil der Geimpften wächst hier um knapp \(\frac{1}{\left(1-W\right)}\) Prozent für jedes weitere Prozent an höherer Impfquote (also z.B. um ca. 10 % bei einer Steigerung der Impfquote von 99 % auf 100 %) und einer Wirksamkeit von 90 %.

Vertiefte Analyse über den Zusammenhang zwischen Wirksamkeit, Hospitalisierungsanteil und Impfquote

Die Erhöhung der Impfquote zieht bei gleichbleibender oder sinkender Wirksamkeit des Impfstoffs immer auch einen Anstieg beim Anteil der Hospitalisierten unter den Geimpften nach sich. Scheinbar paradoxerweise fällt der Anstieg umso steiler aus, je höher die Impfquote ist.

Für kleine Variationen \(\Delta q\) der Impfquote und kleine Variationen \(\Delta W\) in der Wirksamkeit kann man die resultierende Veränderung der Hospitalisierung mittels des folgenden Differentials bestimmen.

\begin{equation} \Delta g = \frac{ 1-W } { \left(1-qW \right)^{2} } \Delta q \; – \frac{ q\left(1-q\right) } { \left(1-qW \right)^{2} } \Delta W \end{equation}

Die Hospitalisierung bleibt dabei gleich, wenn die kleine Variation der Impfquote bezüglich der Wirksamkeit entsprechend

\begin{equation} \Delta W = \frac{1-W}{q \left(1-q \right)} \Delta q \end{equation}

kompensiert wird. Das gilt natürlich auch umgekehrt für die Impfquote bezüglich einer eventuellen Veränderung in der Wirksamkeit.

Grafische Darstellung als Hospitalisierungs-Heatmap

Das nachfolgende Diagramm (s. Abb. 3) zeigt den Zusammenhang zwischen der Impfquote, der Wirksamkeit des Impfstoffs und dem Anteil der hospitalisierten Geimpften in Form einer Heatmap. Man erkennt hier ganz klar, dass die gewünschten und im Sinne der Pandemiebekämpfung sinnvollen hohen Impfquoten unweigerlich zu einem höheren Anteil der hospitalisierten Geimpften führen. Die von der Sache her auf der Hand liegende Notwendigkeit einer möglichst hohen Wirksamkeit des Impfstoffs wird daraus ebenfalls deutlich.

Wenn der Schutz auf Werte von etwa 75 % zurückgeht (was bei einer länger zurückliegenden Impfung i.d.R. zu erwarten ist), steigt der Anteil der hospitalisierten Geimpften bei Impfquoten über 80 % schnell auf Werte von über 50 %. Derzeit beobachten wird das teilweise im Hinblick auf die Altersgruppe 60+, was die Dringlichkeit der Auffrischungsimpfung insbesondere für die Ältesten nachdrücklich belegt. Umgekehrt bleibt man bei Wirksamkeiten über 90 % sogar noch bei Impfquoten um 90 % im grün-gelben Bereich und damit bei Hospitalisierungsanteilen der Geimpften von unter 50 %.

Abbilddung 3: Zusammenhang zwischen der Impfquote, der Wirksamkeit des Impfstoffs und dem Anteil der hospitalisierten Geimpften in Form einer Heatmap.

Abbilddung 3: Zusammenhang zwischen der Impfquote, der Wirksamkeit des Impfstoffs und dem Anteil der hospitalisierten Geimpften in Form einer Heatmap. Gleiche Farben bedeuten gleiche Hospitalisierungsanteile. Der grüne Bereich steht für Anteile < 40 %, der gelbe für Werte um 50 %, der rote für Hospitalisierungsanteile > 60 %. Für ausgewählte Werte sind die Linien gleicher Hospitalisierung gestrichelt eingetragen. Am Schnittpunkt einer gestrichelten Kurve mit der x-Achse kann der betreffende Hospitalisierungsanteil unmittelbar abgelesen werden. Beispiel: Für eine Impfquote von 70 % und eine Impfstoffwirksamkeit von 80 % entnehmen wir dem Diagramm, dass der Anteil der hospitalisierten Geimpften ca. 30 % beträgt (vierte gestrichelte Kurve von links).

Anwendung auf die erhobenen Zahlenwerte

Mit dem erarbeiteten Rüstzeug können wir nun die eingangs formulierten Fragen zur Wirksamkeit und zur Hospitalisierung im Hinblick auf die aktuellen Felddaten schlüssig klären. Nach den RKI Zahlen liegt die Impfquote für die Altersgruppe 60+ bei \(q=86.1\%\), zugleich ist die Inzidenzquote der Geimpften unter den Hospitalisierten mit \(g=56.0\%\)  angegeben. Daraus errechnen wir die resultierende Impf-Wirksamkeit zu

\begin{equation} W=1-\frac{1-0.861}{0.861}\cdot\frac{0.560}{1-0.560}=0.795 \end{equation}

Felddaten zur Hospitalisierung Geimpfter und Ableitung der Impfstoff-Wirksamkeit

Nachfolgend sind für die Altersgruppen 60+ und 18-59 die Hospitalisierung, die Belegung der Intensivstationen und die Corona-Todesfälle bei Geimpften und Ungeimpften in der Kalenderwoche 43-46 grafisch dargestellt. Aus den entsprechenden Inzidenzen wurden mit obiger Formel die resultierenden Impfwirksamkeiten berechnet, die sämtlich bei um 80 % und teilweise über 90 % liegen und damit die hohe Impfstoff-Wirksamkeit bestätigen.

Abbildung 4: Altersgruppe 60+ – Hospitalisierung, Belegung der Intensivstationen und Corona-Todesfälle bei Geimpften und Ungeimpften in der Kalenderwoche 43-46.

Abbildung 4: Altersgruppe 60+ – Hospitalisierung, Belegung der Intensivstationen und Corona-Todesfälle bei Geimpften und Ungeimpften in der Kalenderwoche 43-46. Die blaue Linie zeigt die resultierende Impfwirksamkeit im Hinblick auf die drei genannten Inzidenzarten. Der relativ große Anteil der Geimpften in allen drei Kategorien steht nicht im Widerspruch zur (im Mittel immer noch) hohen Wirksamkeit der Impfstoffe und erklärt sich vielmehr aufgrund der Impfquote von fast 90 %.

Abbildung 5: Altersgruppe 18-59 – Hospitalisierung, Belegung der Intensivstationen und Corona-Todesfälle bei Geimpften und Ungeimpften in der Kalenderwoche 43-46.

Abbildung 5: Altersgruppe 18-59 – Hospitalisierung, Belegung der Intensivstationen und Corona-Todesfälle bei Geimpften und Ungeimpften in der Kalenderwoche 43-46. Die blaue Linie zeigt die resultierende Impfwirksamkeit im Hinblick auf die drei genannten Inzidenzarten. Der Anteil der Ungeimpften auf den Intensivstationen ist in dieser Altersgruppe mit fast 85 % sehr hoch. Das ist auf die im Vergleich zur Altersgruppe 60+ geringere Impfquote von ca. 75 % zurückzuführen. Die Wirksamkeit der Impfstoffe liegt bei knapp 90 % und darüber.

Aus den vorstehenden Grafiken zeigt sich deutlich, dass es völliger Unsinn ist, von einer „Pandemie der Ungeimpften“ zu sprechen. Zwar betrifft die Mehrzahl der im Krankenhaus behandelten Covid-19-Fälle – insbesondere auch derer auf der Intensivstation – die Ungeimpften, allerdings ist der Anteil der Geimpften mit immerhin 46 % bis 56 % in der Altersgruppe 60+ erheblich.

Analyse der Felddaten nach absoluten Zahlen

Mit Fortschreiten der Impfquote wird der Anteil der geimpften Covid-19-Patienten zwangsläufig weiter steigen, wie wir oben gesehen haben. Entscheidend für die Lage in den Krankenhäusern sind indes die absoluten Fallzahlen, nicht der Impfstatus der Patienten. Dazu betrachten wir die beiden nachfolgenden Grafiken.

Abbildung 6: Absolute Zahlen für die Hospitalisierung von Geimpften und Ungeimpften in den Altersgruppen 18-59 und 60+ im Zeitraum KW 43-46.

Abbildung 6: Absolute Zahlen für die Hospitalisierung von Geimpften und Ungeimpften in den Altersgruppen 18-59 und 60+ im Zeitraum KW 43-46. Die Zahl der ungeimpften Patienten überwiegt deutlich, doch ist die Anzahl der Geimpften erheblich und keinesfalls vernachlässigbar.

Abb. 6 kann man entnehmen, dass die Zahl der ungeimpften Patienten überwiegt, allerdings ist die Anzahl der Geimpften erheblich und keinesfalls vernachlässigbar. Ähnlich ist es bezüglich der Neubelegung von Intensivbetten und der zu verzeichneten Todesfälle, wie wir in Abb. 7 sehen können.

Abbildung 7: Absolute Zahlen für die Neubelegung von Intensivbetten und Todesfällen von Geimpften und Ungeimpften in den Altersgruppen 18-59 und 60+ im Zeitraum KW 43-46.

Abbildung 7: Absolute Zahlen für die Neubelegung von Intensivbetten und Todesfällen von Geimpften und Ungeimpften in den Altersgruppen 18-59 (im Vordergrund mit helleren Farbtönen) und 60+ (im Hintergrund mit dunkleren Farbtönen) im Zeitraum KW 43-46. Auffällig ist die relativ hohe Anzahl von Ungeimpften aus der Altersgruppe 18-59 auf der Intensivstation.

Eine nennenswerte Anzahl von ungeimpften Intensivpflichtigen kommt aus der Altersgruppe 18-59. Insgesamt überwiegen jedoch deutlich die Patienten und Todesfälle aus der Altersgruppe 60+. Damit zeigt sich einmal mehr das schon sein Beginn der Pandemie beobachtete Bild, nachdem insbesondere die Älteren von Covid-19 betroffen sind. Die Verfügbarkeit von Impfstoffen und die in dieser Altersgruppe hohe Impfquote von fast 90 % haben daran nur wenig  geändert.

Theoretische Bestimmung der Fallzahlen

Im Folgenden werden wir untersuchen, wie sich die Änderung der Impfquote auf die absolute Anzahl der Hospitalisierten, der Belegung der Intensivbetten und der Todesfälle auswirkt. Wir können die oben dokumentierte Formel über den Zusammenhang zwischen der Wirksamkeit, der Impfquote und dem Anteil der Geimpften auf die Kohorte der symptomatisch an Coivid-19 Erkrankten anwenden. Im Ergebnis erhalten wir so aus der symptomatischen Wirksamkeit den Anteil der symptomatisch erkrankten Geimpften und entsprechend auch den Anteil der Ungeimpften. Wenn wir also die Gesamtanzahl der symptomatisch Erkrankten kennen, so können wir daraus unmittelbar die absoluten Zahlen der Ungeimpften und Geimpften mit Symptomen bestimmen.

Völlig analog gilt das auch für die hospitalisierten und die intensivpflichtigen Patienten. Sogar die Sterbefälle können wir so bestimmen. Dazu brauchen wir nur noch die entsprechenden Risikofaktoren. Wir müssen also z.B. das Risiko für die Hospitalisierung eines symptomatisch an Covid-19 erkrankten Geimpften oder Ungeimpften kennen. Des weiteren das Risiko eines symptomatisch an Covid-19 erkrankten Geimpften oder Ungeimpften für die Einweisung auf die Intensivstation. Und zuletzt auch das Sterberisiko eines symptomatisch an Covid-19 erkrankten Geimpften oder Ungeimpften.

Nennen wir die Gesamtanzahl der symptomatisch Erkrankten in einem betrachteten Zeitraum \(a_{sympt}\) sowie die Risikofaktoren für die Hospitalisierung \(r_{g_{Hosp}}\) bzw. \(r_{u_{Hosp}}\). Ferner nennen wir die Anzahl der hospitalisierten Geimpften \(g_{Hosp}\) und die der Ungeimpften \(u_{Hosp}\).

\begin{align} g_{Hosp} &= r_{g_{Hosp}} \left(1-\frac{1-q}{1-qW_{sympt}}\right)a_{sympt} \\ u_{Hosp} &= r_{u_{Hosp}} \frac{1-q} {1-qW_{sympt}}\cdot\ a_{sympt} \end{align}

Die resultierende Gesamtanzahl der Hospitalisierten ist folglich

\begin{equation} a_{Hosp} = \left(r_{g_{Hosp}} +\left( r_{u_{Hosp}} – r_{g_{Hosp}} \right) \cdot \\ \qquad \frac{1-q}{1-qW_{sympt}}\right) a_{sympt} \end{equation}

Feinanalyse der Fallzahlen

Für die Bestimmung der Sensitivität bei Änderungen der Impfquote ist es nützlich, die Ableitung nach \(q\) zu betrachten:

\begin{equation} \frac{da_{Hosp}}{dq} = -\left( r_{u_{Hosp}} – r_{g_{Hosp}} \right) \cdot \\ \qquad \qquad \qquad \quad \frac{ 1-W_{sympt} } {\left( 1-qW_{sympt} \right)^{2} } \cdot a_{sympt} \end{equation}

Die relative Änderung der Hospitalisierung bei Änderungen der Impfquote kann auf dieser Basis folgendermaßen errechnet werden:  

\begin{equation} \frac{\frac{da_{Hosp}}{dq}}{a_{Hosp}} = \frac{-\left(\frac{r_{u_{Hosp}}} {r_{g_{Hosp}}}-1\right) \frac{1-W_{sympt}}{1-qW_{sympt}} } {\frac{r_{u_{Hosp}}} {r_{g_{Hosp}}} \left(1-q\right)+q\left(1-W_{sympt}\right)} \end{equation}

Völlig analog ergeben sich auch die entsprechenden Formeln für die Intensivpflichtigen und die Sterbefälle. Dabei verwenden wir die analog benannten Risikofaktoren \(r_{g_{ITS}}\) und \(r_{g_{Sterbe}}\) bzw. \(r_{u_{ITS}}\) und \(r_{u_{Sterbe}}\). Für die Fallzahlen der Geimpften und Ungeimpften schreiben wir \(g_{ITS}\), \(u_{ITS}\), \(a_{ITS}\), \(g_{ Sterbe }\), \(u_{ Sterbe }\) sowie \(a_{ Sterbe }\).

Sensitivitätsanalyse – Überblick

Die aus den Formelbeziehungen resultierenden typischen Abhängigkeiten stellen wir nachfolgend exemplarisch anhand der Belegung von Intensivbetten dar. Es soll dabei zunächst nur um die Sensitivitätsanalyse gehen. Die realen Zahlen aufgesplittet nach Altersgruppen folgen weiter unten. Für die Sensitivitätsanalyse legen wir die folgenden Zahlenwerte zugrunde:

  • Wirksamkeit des Impfstoffs in Bezug auf eine symptomatische Erkrankung = 75 %.
  • Risiko eines symptomatisch an Covid-19 erkrankten Geimpften für die Einweisung auf die Intensivstation = 1,0 %.
  • Risiko eines symptomatisch an Covid-19 erkrankten Ungeimpften für die Einweisung auf die Intensivstation = 4,0 %.

Prinzipielle Abhängigkeit der Fallzahlen von der Impfquote

Basis für die exemplarischen Berechnungen ist die Annahme von insgesamt 10.000 symptomatisch Infizierten (Summe der Geimpften und Ungeimpften).

Abbildung 8: ITS-Neueinweisungen in Abhängigkeit von der Impfquote.

Abbildung 8: ITS-Neueinweisungen in Abhängigkeit von der Impfquote. Als Bezugsgröße wurden 10.000 symptomatisch Infizierte angenommen.

Man sieht, dass mit steigender Impfquote die Fallzahlen für die Ungeimpften (orangefarbene Säulen) kontinuierlich abnehmen. Zugleich steigen die Zahlen für die Geimpften (grüne Säulen). Indessen wird die Zunahme bei Letzteren durch den Rückgang der Einweisungen bei den Ungeimpften überkompensiert, so dass in Summe (gestrichelte Linie) die Fallzahlen sinken. Ein Beispiel für eine Impfquote von 80 %: Die Anzahl der Neueinweisungen von Ungeimpften liegt bei etwa 200 Personen (orange Säule). Entsprechend haben wir hier 50 intensivpflichtige Geimpfte (grüne Säule). Insgesamt beträgt die Fallzahl der neu Intensivpflichtigen somit 250 (gestrichelte Linie bei 80 %).

Änderung der Fallzahlen bei Erhöhung der Impfquote

Je höher die Impfquote, desto größer ist offensichtlich der Effekt auf den weiteren Rückgang der Fallzahlen bei Fortsetzung der Impfkampagne. Der prinzipiell bestehende Zusammenhang wird in Abb. 9 visualisiert.

Abbildung 9: Differenz der ITS-Neueinweisungen bei Erhöhung der Impfquote um 1 %. Als Bezugsgröße wurden 10.000 symptomatisch Infizierte angenommen.

Abbildung 9: Differenz der ITS-Neueinweisungen bei Erhöhung der Impfquote um 1 %. Als Bezugsgröße wurden 10.000 symptomatisch Infizierte angenommen. Der obere Rand der grünen Fläche steht für die Erhöhung der Neubelegung von Intensivbetten mit Geimpften bei einer Steigerung der Impfquote um 1 %. Entsprechend markiert der untere Rand der orangefarbenen Fläche die gleichzeitige Abnahme der Fallzahlen bei den Ungeimpften. Die gestrichelte Linie zeigt die Summe daraus.

Ein Beispiel: Wenn die bestehende Impfquote von 85 % um 1 % erhöht wird, sinkt die Anzahl der Neueinweisungen von Ungeimpften im Mittel um etwa 7,5 Personen (orange Kurve bei 85 %). Zugleich erhöht sich die Anzahl der Neueinweisungen von Geimpften um 2 Personen (grüne Kurve bei 85 %). Insgesamt müssen daher im Mittel ca. 5,5 Personen weniger neu auf die Intensivstation verlegt werden.

Relative Änderung der Fallzahlen bei Erhöhung der Impfquote

In den vorangegangen Betrachtungen wird Bezug genommen auf die zugrundeliegende Inzidenz der symptomatisch Erkrankten. Eine davon unabhängige Sicht bietet Abb. 10. Hier wird der relative Rückgang der Fallzahlen exemplarisch quantifiziert.

Abbildung 10: Relativer Rückgang der ITS-Neueinweisungen bei Erhöhung der Impfquote um 1 %.

Abbildung 10: Relativer Rückgang der ITS-Neueinweisungen bei Erhöhung der Impfquote um 1 %. Die Kurve zeigt an, um wieviel Prozent die Fallzahlen für die neu Intensivpflichtigen bei einer Erhöhung der Impfquote um 1 % zurückgehen. Beispiel: Wenn eine bestehende Impfquote von 65 % um 1 % erhöht wird, sinkt die Gesamtanzahl der Neueinweisungen (von Geimpften und Ungeimpften) im Mittel um etwa 1 %. Bei einer Impfquote von 80 % verdoppelt sich der relative Rückgang bei einer weiteren Erhöhung auf 2 %.

Man erkennt, dass der Effekt auf die Fallzahlen mit steigender Impfquote überproportional schnell wächst. Bei niedrigen Impfquoten bringt die Steigerung der Quote nur einen geringen Gewinn. Je höher die Impfquote, desto größer der resultierende relative Rückgang der Fallzahlen bei einer weiteren Anhebung der Impfquote. Der Maximalwert ist abhängig von den zugrunde gelegten Risikofaktoren. Für die maximal mögliche Steigerung erhält man

\begin{equation} \frac{\frac{da_{Hosp}}{dq}} {a_{Hosp}} = \frac{ \frac{r_{u_{Hosp}}} { r_{g_{Hosp}} } -1} { 1-W_{sympt} } \end{equation}

Zahlenwerte mit näherem Realitätsbezug – Überblick

Nach dieser eher theoretischen Sensitivitätsanalyse kommen wir nun zu den nach Altersgruppen aufgesplitteten Zahlen mit näherem Realitätsbezug. Für die relevanten Risikofaktoren werden die in Tab. 1 aufgelisteten Werte angesetzt.

Tabelle 1: Risikofaktoren

Tabelle 1: Risikofaktoren für Hospitalisierung, Intensivbehandlung und Tod nach einer symptomatischen Erkrankung an Covid-19 für Geimpfte und Ungeimpfte getrennt nach Altersgruppen. Zugrunde gelegt wurden die Rohdaten des RKI aus den Kalenderwochen 41 – 47. Die tatsächlichen Werte schwanken und wurden daher für die Tabelle über 7 Wochen gemittelt und gerundet.

Wir haben im vorangehenden Abschnitt gesehen, welchen grundsätzliche Einfluss die Impfquote auf die Fallzahlen hat. Nun wollen wir fragen, wie sich die entsprechende Steigerung der Quote bzw. die Impfung einer bestimmten Personenanzahl je nach Altersgruppe auf die Fallzahlen auswirkt. Für die drei betrachteten Altersgruppen werden die Wirksamkeiten 90 % (12-17), 75 % (18-59) und 70 % (60+) angesetzt.

Das RKI hat im Wochenbericht vom 02.12.2021 mit 90 % (12-17), 65 % (18-59) und 58 % (60+) etwas geringere Werte genannt (s. [2]). Wir legen dennoch die höheren Wirksamkeiten zugrunde. Begründung: Man kann davon auszugehen, dass die aktuell niedrigeren Zahlen auf einen nur temporär bestehenden größeren Anteil von Personen mit nachlassendem Impfschutz zurückzuführen ist. Sobald die ausstehenden Auffrischungsimpfungen nachgeholt sind, wird sich das aller Voraussicht nach wieder normalisieren. Mit den kleineren Wirksamkeiten wird der Effekt höherer Impfquoten auf die Reduzierung der Fallzahlen abgeschwächt. Hinsichtlich der Sensitivitätsanalyse ändert sich indes nichts Grundsätzliches.

Änderung der Neu-Hospitalisierung bei Erhöhung der Impfquote um 1 %

In Abb. 11 ist der Einfluss einer um 1 % höheren Impfquote auf die Neu-Hospitalisierung pro Altersgruppe dargestellt.

Abbildung 11: Änderung der Neu-Hospitalisierung bei einer um 1% höheren Impfquote.

Abbildung 11: Änderung der Neu-Hospitalisierung bei einer um 1% höheren Impfquote. Annahme: Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 200 / 18-59: 100 / 60+: 50 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 80). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. Darauf beziehen sich die Säulen. Die punktierte Linie mit den Rauten zeigt die relative Änderung der Gesamt-Bettenbelegung (über alle Altersgruppen) an. S. hierzu die rechte Achse.

Die Impfquotenänderung bezieht sich jeweils auf die entsprechende Altersgruppe mit den auf der x-Achse dokumentierten Bezugsgrößen. Je nach Altersgruppe hat die 1-prozentige Erhöhung einen unterschiedlichen Effekt auf die resultierende Gesamtimpfquote. Die Auswirkung ist unten links im Diagramm aufgelistet.

Wie ist das Diagramm zu interpretieren? In der Altersgruppe 12-17 bringt die Steigerung der Impfquote um 1 %  (bei gleicher symptomatischer Inzidenz) nahezu nichts. Man erkennt weiter, dass Impfungen in der Altersgruppe 60+ den größten Ertrag nach sich ziehen, trotz der mit 0,29 % nur etwa halb so hohen Steigerung der Gesamt-Impfquote im Vergleich zur Gruppe der 18-59-Jährigen. Im Beispiel verringert sich die Fallzahl bei den Ungeimpften um 43. Zugleich erhöht sich die Fallzahl um 23 bei den Geimpften. In Summe kommt es zu einer Reduzierung um 20 Personen. In der Altersgruppe 18-59 ist der Effekt in Summe nur halb so stark ausgeprägt.

Änderung der Neu-Hospitalisierung bei 1 Million zusätzlichen Impfungen

Betrachten wir zum Vergleich den Fall von 1 Million zusätzlichen Impfungen in den jeweiligen Altersgruppen (s. Abb. 12). Der Aufwand ist in diesem Fällen stets derselbe. Welchen Nutzen bringt dies?

Abbildung 12: Änderung der Neu-Hospitalisierung bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen.

Abbildung 12: Änderung der Neu-Hospitalisierung bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen. Annahme: Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 200 / 18-59: 100 / 60+: 50 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 80). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. Darauf beziehen sich die Säulen. Die punktierte Linie mit den Rauten zeigt die relative Änderung der Gesamt-Bettenbelegung (über alle Altersgruppen) an. S. hierzu die rechte Achse.

Die resultierenden Impfquotenänderungen 1 Mio. Impfungen sind unten links im Diagramm aufgelistet. In der kleinsten Gruppe der 12-17-Jährigen macht dies eine um 22 % höhere Impfquote aus. Trotzdem ist der Nutzen in Form der Reduzierung von Fallzahlen null. Die Altersgruppe 18-59 ist die größte, 1 Mio. Impfungen führen hier nur zu einer um 2,2% höheren Impfquote. Immerhin ergibt sich bei 37 weniger hospitalisierten Ungeimpften und 13 mehr hospitalisierten Geimpften in der Bilanz eine Verringerung der Fallzahlen um 24.

Deutlich größer ist wieder der Effekt in der Altersgruppe 60+. Eine Million zusätzliche Impfungen (das entspricht  hier einer um 4,2 % höheren Impfquote) reduzieren die Zahl der neu hospitalisierten Ungeimpften um 180 Personen. Auch wenn dem ein Anstieg bei den neu hospitalisierten Geimpften um 95 Personen entgegensteht, bleibt unterm Strich mit einer Reduzierung der Neubelegung um 85 Personen mit Abstand der größte Gewinn. Es sind mehr als 3-mal soviel, wie in der doppelt so großen Gruppe der 18-59-Jährigen. Das sieht man auch bei der relativen Veränderung der Belegungszahlen (blau gestrichelte Linie). Die Fallzahlen sinken um mehr als 3 %, gegenüber knapp 1 % in der Altersgruppe 18-59.

Änderung der Anzahl der neu Intensivpflichtigen bei 1 Million zusätzlichen Impfungen

Aus vorstehender Abb. 12 wird in der Gesamtschau unmittelbar klar, dass man (zunächst einmal) vorrangig in der Gruppe der Älteren impfen muss. Dieser Schluss wird weiter untermauert, wenn man die Auswirkung auf die Belegung der Intensivbetten und die Todesfallzahlen mit in den Blick nimmt. Die beiden nachfolgenden Abbildungen (Abb. 13 und 14) zeigen dies nachdrücklich.

Aus Abb. 13 geht hervor, dass bezüglich der Neubelegung von Intensivbetten, Impfungen in der Altersgruppe 60+ einen fast 6-mal höheren Nutzen haben als in der Altersgruppe 18-59. Natürlich gilt dieser Befund in der Langfristperspektive nicht mehr, wenn alle Älteren geimpft sind und die Impfquote bei den Jüngeren ebenfalls in die Nähe von 90 % oder darüber kommt. Es trifft aber jedenfalls in der gegenwärtigen Situation zu, wo – trotz der hohen Impfquote von 86 % – noch viele Ältere nicht geimpft sind oder einen nachlassenden Impfschutz aufweisen. Im Kontrast dazu sind Impfungen in der Altersgruppe 12-17 (und erst recht bei Kindern) im Effekt auf die Belegung von Intensivbetten geradezu wirkungslos.

Abbildung 13: Änderung der Neubelegung von Intensivbetten bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen.

Abbildung 13: Änderung der Neubelegung von Intensivbetten bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen. Annahme: Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 200 / 18-59: 100 / 60+: 50 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 80). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. Darauf beziehen sich die Säulen. Die punktierte Linie mit den Rauten zeigt die relative Änderung der Gesamt-Bettenbelegung (über alle Altersgruppen) an. S. hierzu die rechte Achse.

Änderung der neuen Covid-19 Sterbefälle bei 1 Million zusätzlichen Impfungen

In einem nochmals stärkerem Kontrast zeigen sich die Verhältnisse, wenn man auf die Todesfallzahlen blickt (s. Abb. 14). Diesbezüglich nimmt man die größten Unterschiede zwischen den drei Altersgruppen wahr. Es zeigt sich, dass 1 Mio. zusätzliche Impfungen in den Altersgruppen 12-17 oder 18-59 keine nennenswerte Auswirkung auf Fallzahlen haben. Erst wenn man in den Bereich von mehreren Millionen Neu-Impfungen kommt, sieht man einen Effekt. Der Grund dafür liegt auf der Hand: Das Corona-Sterberisiko in den Altersgruppen 12-17 und 18-59 ist mit und ohne Impfung zigfach niedriger als in der Altersgruppe 60+. Unabhängig von der Impfquote bleibt daher die Anzahl der Corona-Toten bei den Jüngeren relativ niedrig. Im Gegensatz dazu verringern sich indes die Todesfallzahlen bei den Über-60-Jährigen trotz der schon vergleichsweise hohen Impfquote von 86 % weiter um mehr als 6 % (-35 Ungeimpfte, +15 Geimpfte, macht -20 in der Bilanz).

Abbildung 14: Änderung der Todesfallzahlen bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen.

Abbildung 14: Änderung der Todesfallzahlen bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen. Annahme: Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 200 / 18-59: 100 / 60+: 50 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 80). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. Darauf beziehen sich die Säulen. Die mit Rauten markierte punktierte Linie zeigt die relative Änderung der Gesamt-Bettenbelegung (über alle Altersgruppen) an. Sie bezieht sich auf die rechte y-Achse.

Belastbarkeit der getroffenen Aussagen

Bezüglich der direkten Auswirkungen auf die Fallzahlen bei zunehmendem Impffortschritt haben wir in der vorstehenden Analyse einen guten Überblick gewonnen. Der Anspruch war und ist dabei aber nicht, exakt vorherzubestimmen, wie sich die Zahlen entwickeln werden. Dafür ist das publizierte Zahlenmaterial des RKI nicht geeignet, weil z.B. der Impfstatus der Getesteten nicht zuverlässig erfasst wird. Die Zusammensetzung der Testkohorte spiegelt lediglich rechtliche Vorgaben wider. Nötig wäre aber eine Orientierung an wissenschaftlichen Grundsätzen. In letzter Konsequenz sind daher die veröffentlichten Inzidenzen nur grobe Schätzungen.

Darüber hinaus gibt es keine Zahlen über die tatsächliche Verbreitung des Virus unter den nicht Getesteten. Um diese Zahl zumindest verlässlich abschätzen zu können, wären regelmäßige anlasslose Tests über einen repräsentativen Bevölkerungsquerschnitt erforderlich. Das alles steht  nicht zur Verfügung, weswegen Vorhersagen über die künftigen Inzidenzen bei höherer Impfquote mit Unsicherheit belastet sind.

Mittelbar bleiben daher auch die Effekte im Hinblick auf die Hospitalisierung, die Belegung von Intensivbetten und letztlich auch die Sterbefälle unsicher. Um diese Unwägbarkeiten ein Stück weit abzumildern, haben wir deshalb die Aussagen auf die Inzidenz betreffend der symptomatisch an Covid-19 Erkrankten bezogen. Je nach Altersgruppe kann die tatsächliche Anzahl der Infizierten (also der positiv Getesteten) um den Faktor 2 bis 5 höher liegen.

Eine Schwäche mag man darin sehen, dass der möglicherweise günstige Einfluss von höheren Impfquoten auf die Infektionszahlen außen vor geblieben ist. Indessen gibt es Gründe für die Annahme einer nur schwachen Korrelation zwischen Inzidenz und Impfquote (s. [11]). Unabhängig von diesen zweifellos bestehenden Unschärfen gibt die vorstehende Analyse nichtsdestotrotz zutreffende Einblicke in die herrschenden Gesetzmäßigkeiten und gibt richtige Hinweise auf die zu präferierenden Handlungsoptionen.

Was können wir bei einer deutlich gesteigerten Impfquote erwarten?

Wir wollen abschließend einen kurzen Blick auf die mittelfristige Zukunft mit einer möglichen Impfquote von 82 % wagen. Als Referenz ist in Abb. 15 die Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 68,5 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 dargestellt. Zum Vergleich findet sich in Abb. 16 die Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 82 % (mit den in der Grafik angegebenen altersgruppenspezifischen Impfquoten).

Abbildung 15: Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 68,5 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100

Abbildung 15: Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 68,5 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. In den 3 Rubriken mit den Altersgruppen ist zudem die zutreffende gruppenspezifische Impfquote genannt.

Abbildung 16: Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 82 %. unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100

Abbildung 16: Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 82 %. unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. In den 3 Rubriken mit den Altersgruppen ist zudem die zutreffende gruppenspezifische zukünftige Impfquote genannt.

Impfquoten 68,5 % und 82 % im Vergleich – Neubelegung von Intensivbetten

Unter Verzicht auf die Trennung in Geimpfte und Ungeimpfte zeigt Abb. 17 die direkte Auswirkung der höheren Impfquote: Sowohl in der Altersgruppe 18-59 als auch in der Gruppe 60+ sinken die Neubelegungen bei einer Impfquote von 82 % gegenüber heute signifikant, wenngleich in beiden Gruppen immer noch eine erhebliche Anzahl Intensivpflichtiger verbleibt.

Es soll an dieser Stelle nochmals hervorgehoben werden: Die im Rechenbeispiel unterstellte Impfquote von 82 % bedeutet, dass 95 % aller Erwachsenen geimpft sind.

Abbildung 17: Neubelegung von Intensivbetten – Vergleich Impfquoten 68,5 % und 82 %

Abbildung 17: Neubelegung von Intensivbetten – Vergleich Impfquoten 68,5 % und 82 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Die entsprechenden gruppenspezifischen Impfquoten sind in den beiden Kästchen aufgelistet.

Am Ende kommt es darauf an, die Gesamtbelegung klein zu halten, daher wollen wir in Abb. 18 die Differenzierung nach Altersgruppen beiseite lassen.

Abbildung 18: Summenbetrachtung zur Neubelegung von Intensivbetten – Vergleich der Impfquoten 68,5 % und 82 %

Abbildung 18: Summenbetrachtung zur Neubelegung von Intensivbetten – Vergleich der Impfquoten 68,5 % und 82 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Die entsprechenden gruppenspezifischen Impfquoten sind in den beiden Kästchen aufgelistet.

Wie man dem Säulendiagramm in Abb. 18 entnimmt, verringert sich die Zahl der Neubelegungen knapp um ein Drittel. Zwar sinkt die Anzahl der ungeimpften Patienten deutlich um etwa 60 %, zugleich aber steigt die Zahl der Geimpften Intensivpflichtigen um ca. 40 %. Für diesen Erfolg muss man die Impfquoten in den Altersgruppen 18-59 und 60+ jeweils auf 95 % hochschrauben. Der Anteil der Altersgruppe 12-17 ist so marginal, dass man in nicht näher betrachten muss. Bei einer reduzierten Wirksamkeit des Impfstoffs (s. obige Diskussion) würden hier jeweils die Anteile der Ungeimpften etwas kleiner und die der Geimpften etwas größer ausfallen.

Impfquoten 68,5 % und 82 % im Vergleich – Auswirkung auf die Todesfallzahlen

In Analogie zum vorangehenden Abschnitt betrachten wir noch zwei Grafiken zum Effekt auf die Sterbefälle.

Abbildung 19: Neue Sterbefälle – Vergleich Impfquoten 68,5 % und 82 %

Abbildung 19: Neue Sterbefälle – Vergleich Impfquoten 68,5 % und 82 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Die entsprechenden gruppenspezifischen Impfquoten sind in den beiden Kästchen aufgelistet.

Im Vergleich zu den Werten in der Altersgruppe 60+ sind die Sterbefallzahlen in der Altersgruppe 18-59 drastisch kleiner und werden durch die 95%-Impfquote nochmals halbiert (s. Abb. 19). Die Grafik verdeutlicht aber auch, dass die höhere Impfquote an der Gefährdungslage für die Älteren nichts Grundlegendes ändern kann. Zwar sinken die Fallzahlen, es bleibt jedoch immer noch einer hoher Bestand an Sterbefällen.

Abbildung 20: Summenbetrachtung zu den Todesfallzahlen – Vergleich der Impfquoten 68,5 % und 82 %

Abbildung 20: Summenbetrachtung zu den Todesfallzahlen – Vergleich der Impfquoten 68,5 % und 82 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Die entsprechenden gruppenspezifischen Impfquoten sind in den beiden Kästchen aufgelistet.

In der Summenbetrachtung (s. Abb. 20) wird nochmals herausgestellt, was man von der hohen 95%-Impfquote (betreffend der Erwachsenen) erwarten kann und was nicht. Die Todesfallzahlen gehen signifikant zurück, sie bleiben aber auf hohem Niveau, weil der Anteil der erkrankten Geimpften mit der Impfquote steigt. Der Hauptgrund dafür ist die limitierte Wirksamkeit der Impfstoffe im Hinblick auf den Schutz vor Ansteckung, den Schutz vor schweren Verläufen und den nur begrenzten Schutz vor einem tödlichen Ausgang, insbesondere bei den Älteren. Als Risikofaktor kommt die mit der Zeit offenbar allgemein nachlassende Schutzwirkung erschwerend hinzu.

Resümee

Wie man der vorstehenden Analyse unschwer entnehmen kann, bringen höhere Impfquoten eine spürbare Entlastung bezüglich der Hospitalisierung und der Belegung von Intensivbetten. Die Fallzahlen werden merklich gesenkt, sie gehen aber nicht auf null. Es bleibt ein immer noch hoher Sockelbestand an offenbar durch die Impfung allein – aufgrund von partiellem Impfwirkungsversagen – nicht vermeidbaren Fällen. Die Fallzahlen in der Altersgruppe 60+ überwiegen dabei deutlich.

Bezüglich der Todesfälle ein ähnlicher, teilweise aber differenzierter Befund: In der Altersgruppe 18-59 wird das ohnehin schon vergleichsweise geringe Covid-19 Sterberisiko nochmals deutlich reduziert. Auch die Altersgruppe 60+ profitiert, wenn auch nicht so stark. Das Covid-19 Sterberisiko der Älteren bleibt auch mit der Impfung – aus ähnlichen Gründen wie oben – auf einem vielfach höheren Niveau als bei den Jüngeren.

In der Gesamtbetrachtung spielt die Altersgruppe 12-17 keine Rolle, da hier nur sehr wenige Fälle von Intensivpflichtigen auftreten und Todesfälle nicht bis äußerst selten vorkommen.

Bezüglich der Tragfähigkeit der Aussagen sei an dieser Stelle nochmals auf die Diskussion zum verwendeten Zahlenmaterial verwiesen.


Quellenverzeichnis

[1] RKI-Wochenberichte zu COVID-19
https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenberichte_Tab.html

[2] RKI-Wochenbericht vom 2.12.2021
https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenbericht_2021-12-02.pdf?__blob=publicationFile

[3] RKI-Wochenbericht vom 25.11.2021
https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenbericht_2021-11-25.pdf?__blob=publicationFile

[4] RKI-Wochenbericht vom 18.11.2021 https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenbericht_2021-11-18.pdf?__blob=publicationFile

[5] RKI-Wochenbericht vom 11.11.2021
https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenbericht_2021-11-11.pdf?__blob=publicationFile

[6] Inzidenzen der symptomatischen und hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Impfstatus
RKI – Coronavirus SARS-CoV-2 – Inzidenzen der symptomatischen und hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Impfstatus (Tabelle jeden Donnerstag aktualisiert)

[7] 7-Tage-Inzidenzen nach Bundesländern und Kreisen (fixierte Werte) sowie 7-Tage-Inzidenz der hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Bundesländern (fixierte Werte)
RKI – Coronavirus SARS-CoV-2 – 7-Tage-Inzidenzen nach Bundesländern und Kreisen (fixierte Werte) sowie 7-Tage-Inzidenz der hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Bundesländern (fixierte Werte), Stand: 6.12.2021

[8] Tabelle mit den gemeldeten Impfungen nach Bundesländern und Impfquoten nach Altersgruppen (6.12.2021, Tabelle wird montags bis freitags aktualisiert)
RKI – Coronavirus SARS-CoV-2 – Tabelle mit den gemeldeten Impfungen nach Bundesländern und Impfquoten nach Altersgruppen (6.12.2021, Tabelle wird montags bis freitags aktualisiert)

[8] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

[9] Die ominöse Herdenimmunität

[10] Paul-Ehrlich-Institut: Corona Sicherheitsbericht

[11] Gibt es eine Korrelation zwischen Impfquote und Inzidenz?

Corona-Impfung: Nutzen und Risiko

Die Impfung dient dem Selbstschutz

Immer wieder liest man widersprechende Thesen über die Sinnhaftigkeit der Corona-Impfung. Mal wird es als soziale Verpflichtung ausgegeben, weil man damit der Ausbreitung des Virus vermeintlich einen Riegel vorschiebt, mal wird gesagt, es gehe doch vor allem darum, das Risiko von schweren Krankheitsverläufen zu reduzieren. Letzteres gewährleisten die Corona-Impfstoffe mit hoher Wahrscheinlichkeit – jedenfalls gemäß Zulassung.

Die Wirksamkeit darf dabei nicht als eine dem Geimpften individuell zugesicherte Eigenschaft der Impfung missverstanden werden, sie ist vielmehr eine statistische Wahrscheinlichkeit. Der Zahlenwert ergibt sich aus dem Vergleich der Anzahl der Krankheitsfälle in einem Kollektiv von Geimpften mit der Anzahl der Krankheitsfälle in einem Kollektiv von Ungeimpften.

Für Comirnaty (BionTech/Pfizer) und Spikevax (Moderna) werden diesbezüglich 95 % Wirksamkeit angegeben. Die Wirksamkeit der Impfung mit Vaxzevria (AstraZeneca) liegt bei 80 %, während für COVID-19 Vaccine Janssen (Johnson & Johnson) 70 % dokumentiert sind.

Um es an dieser Stelle kurz und knapp auf den Punkt zu bringen: Da die bisher verfügbaren Corona-Vakzine zu keiner sterilen Immunität führen, dient die Impfung vor allem dem Selbstschutz. Nicht ausschließlich, aber doch weit überwiegend. Eine darüber hinausgehende soziale Komponente gibt es nicht wirklich. Die lange Zeit propagierte Herdenimmunität hat sich als Chimäre entpuppt.

Sind Impfkomplikationen bekannt?

Unklarheit herrscht offenbar auch bezüglich der möglichen Nebenwirkungen der Impfung. Manche sprechen von 30 % Impfschäden, andere vertreten die völlig konträre Position und verneinen jegliches Risiko: Noch nie etwas von Impfschäden gehört, das sind doch alles nur Fakes.

Nun, man muss darüber keine Vermutungen anstellen. Es gibt dazu offizielle Zahlen einer Bundesbehörde. Das Bundesinstitut für Impfstoffe und biomedizinische Arzneimittel (Paul-Ehrlich-Institut; www.pei.de) gibt monatlich einen Sicherheitsbericht zu den Corona-Impfreaktionen in Deutschland heraus.

Die Zahlen zum Impfrisiko in aller Kürze

Der aktuelle Bericht ist auf den 19.08.2021 datiert und erstreckt sich über den Zeitraum vom 27.12.2020 bis zum 31.07.2021. In diesen 7 Monaten wurden insgesamt 131.671 Fälle von Impfkomplikationen offiziell an das PEI gemeldet, davon waren 14.027 als „schwerwiegend“ klassifiziert. Betreffend der Dunkelziffer zu den nicht gemeldeten unmittelbaren Nebenwirkungen der Impfung weiß man natürlich nichts. Man kann aber davon ausgehen, dass leichtere Fälle wohl kaum Eingang in die offizielle Statistik finden.

Um die absoluten Zahlen einzuordnen: 14 von 10.000 Impfungen hatten unerwünschte Nebenwirkungen oder sonstige Komplikationen zur Folge, immerhin 2 von 10.000 Fällen führten zu „schwerwiegenden“ Impfkomplikationen. Natürlich weiß man noch nichts über mögliche langfristige Impffolgen.

Sind auch Todesfälle zu verzeichnen?

Was der Bericht ebenfalls dokumentiert: In 1.254 Meldungen aus den letzten 7 Monaten wurde über einen tödlichen Ausgang „in unterschiedlichem zeitlichem Abstand zur Corona-Impfung“ berichtet. Zum Vergleich: Im Verlaufe der 21 Jahre davor waren seit dem Jahr 2000 insgesamt 456 Todesfälle nach Impfungen gemeldet worden (etwa 22 Fälle pro Jahr).

Das zeigt zumindest: Die aktuell verfügbaren Corona-Impfstoffe gehören nicht zu den sichersten und harmlosesten Vakzinen, die je entwickelt wurden. Das ändert indessen nichts daran, dass die Impfung in der weit überwiegenden Anzahl der Fälle vor allem Nutzen stiftet.

Impfentscheidung nach Altersgruppe

Das Risiko von schwerwiegenden Impfkomplikationen oder gar Tod infolge einer Impfung ist in fast allen Altersgruppen signifikant geringer, als das von einer COVID-19-Infektion ausgehende Risiko.

Bei den Über-60-Jährigen ist das Nutzen-Risiko-Verhältnis der Impfung ganz klar positiv. Zu den Jüngeren hin (60 – 40) wird der Unterschied kleiner, die Nutzen-Risiko-Abwägung bleibt aber noch im Plus. Bei den Unter-40-Jährigen nähern sich das Impfrisiko und das COVID-19-Risiko einander an, aber erst bei den ganz Jungen drehen sich die Verhältnisse um, so dass die Impfung für diese Gruppe – im Hinblick auf den erwarteten Selbstschutz – keinen Gewinn bringt.

Beurteilung des Infektionsrisikos

Um das resultierende Risiko für eine Ansteckung bei einer Inzidenz von 100 an einem Beispiel plausibel zu machen: Jemand der 700 zufällig gewählte Personen ohne Schutzvorkehrungen trifft und ihnen dabei so nahe kommt, dass eine Infektion nicht ausgeschlossen werden kann (nach den Maßstäben der Corona-Warn-App heißt dies: 10 Minuten in einem Abstand < 1,5 m), wird sich dabei mit einer Chance von 50 % infizieren. Das tatsächliche Infektionsrisiko ist sogar noch deutlich geringer, weil 1. die Infektiosität aufgrund der ungleichen Virenlast von Positivbefunden sehr unterschiedlich ausgeprägt ist, und 2. die Infektionsgefahr im zugrundeliegenden Zeitraum (7 Tage) nach einem Peak bald wieder abfällt. Daher führt nicht jeder enge und langanhaltende Kontakt mit einem akut infektiösen Virenträger mit Sicherheit zur Übertragung. Wenn wir unterstellen, dass jeder zweite enge und langanhaltende Kontakt mit Sicherheit zur Virenübertragung führt, reduziert sich daher das Infektionsrisiko bei einer Begegnung mit 700 zufällig ausgewählten Personen auf 25 %.

Sofern alle Beteiligten eine Maske tragen und dafür eine Schutzwirkung von 90 % angenommen wird, kann man demnach für dieselbe Infektionswahrscheinlichkeit von 25 % gar mit 7000 Personen in engen Kontakt treten. Da zudem, je nach Alter und Disposition, 80 % – 99 % der Infektionen mehr oder weniger harmlos verlaufen, wird klar, dass für Angst- und Panikmache unter rationalen Gesichtspunkten kein Platz ist. Die besonders von potentiell schweren Verläufen Betroffenen (z.B. spezifisch Vorerkrankte, Übergewichtige, Alte über 70 oder 80) müssen indessen besondere Vorsicht walten lassen. Wie bereits oben gesagt, ist hier die Impfung fraglos eine gute Entscheidung.


[1] Paul-Ehrlich-Institut: Corona Sicherheitsbericht

[2] Ärztekammer kritisiert Beschluss zu Kinderimpfungen scharf

[3] Der Streit um das dritte G – Sollen die drei Gruppen gleich behandelt werden? Bund plant Nachteile für Ungeimpfte

[4] Die Impfung ist hilfreich, der Impfdruck nicht

[5] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

[6] Die ominöse Herdenimmunität

[7] Virologe Stöhr prognostiziert „dramatische Entspannung“: Im Frühjahr soll die Pandemie endgültig vorbei sein | Merkur

Die Impfung ist hilfreich, der Impfdruck nicht

Zwei rationale Perspektiven auf die Impfung

Aus der staatlichen Perspektive der Pandemiebekämpfung macht die Impfung zweifellos Sinn, weil von dieser Warte aus gesehen der gesellschaftliche Nutzen höher gewichtet wird als das von Einzelnen getragene Risiko. Weniger klar ist die Situation aus der Sicht des Individuums. Die Abwägung folgt in diesem Falle zwangsläufig anderen Mechanismen. Dabei sind beide Perspektiven rational und ethisch vertretbar.

Der individuelle Nutzen der Impfung ist direkt abhängig vom bestehenden COVID-19- Erkrankungsrisiko. Für jüngere Personen ist das COVID-19-Risiko gering. Damit bleibt auch der Nutzen der Impfung klein. Völlig anders bei Älteren. Sie tragen teilweise ein vielfach höheres COVID-19-Risiko als z.B. Personen unter 40 und haben daher auch einen entsprechend höheren Nutzen. Auf der anderen Seite muss der individuell unterschiedliche Nutzen mit einem unzweifelhaft bestehenden Impfrisiko bezahlt werden (s.u.).

Das Versicherungsprinzip: Das Risiko auf die Schultern der Vielen verteilen

Bei einer Versicherung wird das Risiko gleichmäßig auf die Mitglieder der Versicherungsgemeinschaft verteilt. Die Versicherten zahlen Prämien in einen gemeinsamen Topf. Das individuelle Pech der wenigen Geschädigten wird von der Versicherung durch Griff in den Topf der angesparten Versicherungsprämien finanziell ausgeglichen.

  • Maxime: Einige profitieren, alle anderen müssen relativ wenig zahlen.

Dieses Prinzip ist bekannt und allgemein akzeptiert. Wer sich nicht in den Schutz der Versicherungsgemeinschaft begibt, muss im Schadenfall die gesamten Kosten selber tragen. Dafür erspart er sich die Versicherungsprämien. Das kann im Einzelfall sinnvoll sein, wenn das individuelle Risiko ungewöhnlich klein ist.

Ganz anders verhält es sich bei der Corona-Impfung. In gewisser Weise kommt es hier zu einer Umkehrung des Versicherungsprinzips.

Das Prinzip der Impfung: Den Nutzen möglichst vielen zugänglich machen

Bei der Corona-Impfkampagne wird nicht das Risiko, sondern der aus der Impfung resultierende Nutzen auf die „Impfgemeinschaft“ verteilt. Potentiell sind alle Geimpften Nutznießer der Impfung. Allerdings tragen nur die wenigen Impfgeschädigten die Kosten dafür.

  • Maxime: Einige müssen relativ viel zahlen, alle anderen profitieren.

Man muss sich klar machen, dass die vorstehende Regelbeziehung den Versicherungsgedanken gewissermaßen umdreht. Auch wenn das Prinzip in dieser prägnanten Form kaum allgemein bekannt sein dürfte, führt das offenbar doch bei vielen zu einer eher skeptischen Haltung und im Ergebnis zu einer geringeren Akzeptanz der Impfkampagne. Impfung und Versicherung sind ungleiche Brüder.

Spiegelbildlich zur obigen Situation gilt: Wer sich für die Impfung entscheidet (sich also in den Schutz der Impfgemeinschaft begibt), muss im Schadenfall die gesamten Kosten selber tragen, denn für Leib und Leben gibt es keinen adäquaten Ersatz. Auf der anderen Seite verzichten die Verweigerer auf den Nutzen der Impfung und nehmen das Erkrankungsrisiko in Kauf. Ähnlich wie oben kann das aber im Einzelfall durchaus rational begründet sein, wenn der individuelle Nutzen eher klein ausfällt, weil auch das Risiko gering ist.

Diese Problematik scheint den Politikern durchaus bewusst zu sein. Indem man Geimpften zusätzliche Freiheiten in Aussicht stellt, erhöht man den persönlichen Nutzen der Impfung. Das mag nicht wenige Skeptiker dazu bringen, ihre individuelle Nutzenbetrachtung zu überdenken. Solche Anreize sind ganz klar sachfremder Natur, weil dadurch ja nicht die eigentlich intendierte Schutzwirkung der Impfung erhöht wird. Vom ethischen Standpunkt aus gesehen ist dieses Vorgehen zumindest fragwürdig. Im Effekt kann das dennoch zum gewünschten Ergebnis der höheren Impfbereitschaft führen. Das gilt jedenfalls dann, wenn der erwartete Zusatznutzen in der persönlichen Bewertung hinreichend hoch ausfällt.

Wie hoch sind die Risiken?

Laut offiziellem Corona-Sicherheitsbericht des Paul-Ehrlich Instituts (der doch auch den verantwortlichen Politikern vorliegen sollte) gibt es in Deutschland für das erste Halbjahr 2021 fast 110.000 an das Institut gemeldete Verdachtsfälle von Nebenwirkungen oder Impfkomplikationen. Viele dieser Meldungen beziehen sich auf letzten Endes vorübergehende Beeinträchtigungen. Es bleiben aber immerhin noch mehr als 10.000 schwerwiegende Fälle, darunter einige hundert Todesfälle und ebenso viele Personen mit bleibenden Schäden.

Wie im Bericht weiter zu lesen ist, führt etwa 1 von 10.000 Impfungen zu ernsthaften Komplikationen. – Ist das wenig? Oder ist das viel?

Die Wahrscheinlichkeit ist jedenfalls in etwa so groß, wie die Chance für 4 Richtige plus Zusatzzahl beim Lotto. Jede Woche gibt es mehr als 2.000 „Gewinner“ mit einer Zahlenkombination in dieser Gewinnklasse.

Verhalten sich Impfzauderer irrational?

Angesichts der dargelegten, objektiv bestehenden Faktenlage ist es völlig unangebracht, Menschen, die derzeit noch zögern sich impfen zu lassen, irrationales Verhalten oder gar Schlimmeres vorzuwerfen. Ihre Zurückhaltung ist vernunftgemäß und verantwortungsvoll. Sie nehmen in ihrer Bewertung die vorbehaltslos legitime und ethisch absolut vertretbare Individualperspektive ein. Das ist in diesem Fall (s. obige Versicherungsanalogie) die Perspektive derer, die nicht bereit sind, für die Gewinne der anderen zu zahlen.

Man kann es auch so formulieren: Impfen ist vernünftig, Nicht-Impfen ebenso!

Eigenverantwortung ist die erste Bürgerpflicht

Das Individuum kann in der freiheitlichen Demokratie weder faktisch noch moralisch dazu verpflichtet werden, seine Entscheidungen sozusagen bedenkenlos einer vermeintlichen Staatsräson unterzuordnen. Die erste Bürgerpflicht heißt Eigenverantwortung, nicht Patriotismus.

Ob man das Impfrisiko in der Abwägung mit dem individuellen Infektions- und COVID-19-Erkrankungsrisiko eingehen mag, das muss jeder für sich selbst entscheiden. Jedenfalls verbietet sich nach der objektiven Sachlage jegliche Bevormundung von politischer Seite. Auch sozialer Druck ist weder rational begründbar noch moralisch angemessen.

Von wissenschaftlicher Seite sind Fakten willkommen – und wie es sich gehört, sollten die Fakten von den persönlichen Meinungen und individuellen Stimmungsbildern getrennt werden. Dies gilt vor allem auch deswegen, weil die wissenschaftlichen Erkenntnisse betreffend Corona sich schon häufig als sehr volatil erwiesen haben und nicht selten neue Einsichten die erst kürzlich von berufener Seite geäußerte Meinung und durchaus begründete Vermutung postwendend widerlegt haben.

Die Herdenimmunität ist eine Chimäre

Der oft gehörte Verweis auf die Herdenimmunität hilft in dieser Sache absolut nicht weiter. Die Herdenimmunität definiert lediglich die mathematische Grenze, ab welcher die exponentielle Ausbreitung des Virus bei einem gegebenem Reproduktionsfaktor eingedämmt ist. Selbst wenn sie erreicht ist, kann sich das Virus immer noch ausbreiten und auch Neuinfektionen in großer Anzahl sind keineswegs ausgeschlossen.

Der Begriff der Immunität bei einer Einzelperson ist nicht derart simpel übertragbar auf die Immunität der Gesellschaft als Ganzes. Es ist irreführend, wenn die Herdenimmunität – leider auch von Wissenschaftlern – immer wieder mit diesem Zungenschlag zitiert wird, um damit für eine höhere Impfbereitschaft zu werben.

Resümee

Durch die Impfung schützt man in Abhängigkeit vom individuellen COVID-19-Risiko vor allem sich selbst, da schwere Krankheitsverläufe unwahrscheinlicher werden. Das ist ein wirklich valides und seriöses Argument Pro Impfung. Ansonsten gilt: Geimpfte können sich infizieren und das Virus weitergeben, in geringerem Umfang zwar, aber doch grundsätzlich ähnlich, wie das auf Ungeimpfte zutrifft. Jedenfalls gilt das für die Delta-Variante.

Ein soziales Argument nach dem Motto: „Wer sich impfen lässt, schützt seine Lieben“ oder „Sich impfen zu lassen ist eine soziale Verantwortung“ hält der kritischen Betrachtung nicht stand und ist in dieser Absolutheit falsch, auch wenn die Infektionswahrscheinlichkeiten tendenziell geringer sind.

Man muss sich dabei immer wieder klar machen, dass auch bei einer Inzidenz von 100 pauschal 99,9% der Menschen nicht infektiös sind. Nur 1 von 1000 ist Virenträger und daher besteht auch nur bei 1 Person von 1000 ein Infektionsrisiko, 999 Menschen sind einfach nur gesund und infektionsfrei.


Quellen

[1] Der Streit um das dritte G – Sollen die drei Gruppen gleich behandelt werden? Bund plant Nachteile für Ungeimpfte

[2] Verschärfungen für Ungeimpfte? SPD gegen Spahns Vorschlag

[3] „Impfen ist ein patriotischer Akt“ – Spahn will den Druck auf Ungeimpfte im Herbst erhöhen

[4] Ärztekammer kritisiert Beschluss zu Kinderimpfungen scharf

[5] Aiwanger: Gesprächsbedarf mit Söder wegen Impf-Drucks

[6] Aiwanger kontert Vorwürfe im Impfstreit

[7] Bis zu 150 Euro Belohnung: Wo Sie für die Corona-Impfung Geld bekommen – auch eine Bratwurst diente als Köder

[8] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

[9] Die ominöse Herdenimmunität

[10] Paul-Ehrlich-Institut: Sicherheitsbericht 27.12.2020 bis 30.06.2021

Gefahr durch Corona-Varianten

Angst- und Panikmache sind noch immer die bestimmenden Elemente der Corona-Politik. Nachdem das Original-China/Wuhan-Virus kaum noch vorkommt, müssen nun gefährliche Corona-Varianten und -Mutanten für die offenbar als nötig angesehene Hysterie sorgen.

Und ja, es funktioniert: 80% der Menschen sind verängstigt.

Appell an die Eigenverantwortung: Fehlanzeige.

Die Corona-Politik schießt übers Ziel hinaus

Dem mündigen Staatsbürger sollte dieser ganze Vorgang eine Warnung sein: Die verbrieften Grundrechte sind keine Selbstverständlichkeit. Unter dem Dogma einer einseitigen staatlichen Gesundheitsfürsorge drohen sie im Zuge der Corona-Pandemie dauerhaft Schaden zu nehmen.

Hier ein Auszug aus den Schlagzeilen der letzten Wochen und Monate
  • Corona-Mutanten auf dem Vormarsch
  • Gefährliche britische Mutation B.1.1.7 (Alpha-Variante) ist um 70 % ansteckender und auch tödlicher …
  • Corona-Mutante P.1 überrennt Brasilien …
  • Angst vor der brasilianischen Gamma-Variante … sie ist aggressiver und resistent gegen Vakzine
  • Die Südafrika-Mutation B.1.351 (Beta-Variante) ist hochgefährlich
  • Lambda-Mutation C.37 breitet sich aus
  • Die indische Mutante B1.617.2. (Delta-Variante) ist auf dem Vormarsch … 40% ansteckender und auch tödlicher
  • Delta-Variante ist tödlicher als die bisher bekannten Mutationen – auch für Geimpfte
Und weiter mit der Hysterie
  • Delta-Variante breitet sich auch in Deutschland weiter aus
  • Coronavirus in Deutschland: Delta-Variante dominiert erstmals
  • Delta wird durch Schulen rauschen
  • Delta verbreitet sich wie ein Lauffeuer
  • Delta-Variante: Warum die Corona-Mutation so gefährlich ist …
Panikmache kann auf Verunsicherung nicht verzichten

Um die Verunsicherung perfekt zu machen, gibt es auch dies, es geht aber unter:

  • 06/2021 – Studie zur Delta-Variante: … ist weder pathogener noch letaler … 
  • 06/2021 – Corona-Studie zweifelt an PCR-Tests: „Nicht hinreichend für politische Maßnahmen“
  • 07/2021 – Corona-Studie mit überraschendem Ergebnis: Mehr als 42 Prozent wissen nichts von Infektion

Was nichts anderes heißt, als dass sich die tatsächliche Gefährlichkeit des Virus schlagartig fast halbiert hat.

Das Reservoir an neuen Varianten ist unerschöpflich

Hier noch Vorschläge für weitere gefährlich klingende Bezeichnungen, die geeignet sind, die Angst weiter zu schüren:

Corona-Max-Deviation, Aggressiv-Virus-Wandlung, Corona-T311-Abweichung, CHET-Virus-Aberration, Omega-Virus-Abart, Virus-Divergenz-Linie, C137-Hochpathogen-Typ, Maximal-Letal-Mutation, Dschim-Exzessiv-Variante, Black-Hole-Korpuskel, Armageddon-Varianz-Mutation, RNA-Differenzial-Typus, U235-Aggressions-Gattung, Exitus-Mutante …

Corona-Kritiker aus dem Ethikrat entlassen

Kritik an Corona-Maßnahmen führt zur Entlassung

Das bayerische Kabinett unter Ministerpräsident Söder hat den Münchener Wirtschaftsethik-Professor Lütge nach dessen Kritik an den Corona-Maßnahmen aus dem Bayerischen Ethikrat entlassen. Als Grund nennt die Staatskanzlei „wiederholte öffentliche Äußerungen von Herrn Professor Lütge, die mit der verantwortungsvollen Arbeit im Ethikrat nicht in Einklang zu bringen sind und auf Dauer dem Ansehen des Gremiums Schaden zufügen könnten.“ Der Kabinettsbeschluss ist bereits am 2. Februar 2021 ergangen und war einstimmig, wie ein Sprecher der Staatskanzlei dem Bayerischen Rundfunk bestätigt.

Der Ökonom und Philosoph Christoph Lütge ist Lehrstuhlinhaber des Peter-Löscher-Stiftungslehrstuhls für Wirtschaftsethik an der TU München. Dort leitet er auch das TU Ethik-Institut für Künstliche Intelligenz, das vom Facebook-Konzern finanziell unterstützt wird.

Die Position von Prof. Lütge in aller Kürze

Prof. Lütge: „Ich halte Corona nicht für ungefährlich, halte aber die meisten Corona-Maßnahmen (Lockdown, Schließung von Schulen, Geschäften, Gastro etc., Maskenpflicht) für unnötig und völlig unverhältnismäßig. Sie erzeugen massive Kollateralschäden“.

Im BR-Interview mit Kontrovers sagte er etwa am 20. Januar (s. Video), dass das Durchschnittsalter der Corona-Toten bei etwa 84 Jahren liege. „Da stirbt man an Corona oder an etwas anderem, so ist es nun mal. Menschen sterben.“

Ist der Ethikrat nur ein Akklamationsgremium?

Was sagt der Vorgang über die gegenwärtige Verfassung der Politik im Hinblick auf das Management der Corona-Pandemie?

Da gibt es jetzt nichts mehr zu beschönigen: Der Fall des aus dem bayerischen Ethikrat abberufenen Wirtschaftsprofessors Lütge ist ein demokratischer Offenbarungseid. Allem Anschein nach soll der Ethikrat lediglich als willfähriges Gremium zur Unterstützung der politischen Kommunikation der Staatsregierung dienen. Versteht sich der Ministerpräsident etwa als „Staatratsvorsitzender“? Die Glaubwürdigkeit des Ethikrats ist schon beschädigt, noch ehe er überhaupt seine Tätigkeit richtig aufgenommen hat.

Kritik unerwünscht

Natürlich steht es der bayrischen Staatsregierung zunächst einmal frei, welche Personen sie in den Ethikrat beruft und zu anderer Zeit wieder entlässt. Im konkreten Falle wurde nun aber Prof. Lütge offenbar deswegen entlassen, weil er eine kritische Position zu den undifferenzierten Corona-Maßnahmen der Regierung vertrat. Dabei half es ihm nicht, dass er seine Kritik mittels rationaler Argumente untermauert hat.

Es ist eine schlichte Tatsachenfeststellung, wenn Prof. Lütge sagt, das Durchschnittsalter der an Covid-19 Verstorbenen liege bei etwa 84 Jahren. Damit spricht er keinem Älteren das Grundrecht auf Leben ab. Er hat auch keineswegs gefordert, diesem Personenkreis die intensivmedizinische Behandlung zu versagen und Hochbetagte quasi einfach zu sterben zu lassen, wie das in einem Kommentar der Ethikrat-Vorsitzenden, Susanne Breit-Keßler, völlig überzeichnet in den Raum gestellt wird. Vielmehr hat er mit seiner berechtigten Kritik die Verhältnismäßigkeit der Lockdown-Maßnahmen hinterfragt.

Einseitige Schutzmaßnahmen sind verantwortungslos

Der Schutz des Lebens aller und die Aufrechterhaltung der Funktionsfähigkeit des Gesundheitssystems sind wichtige Ziele. Sie dürfen aber nicht getrennt von den gravierenden Nebenwirkungen für die gesamte Gesellschaft verfolgt werden. Die bestehenden Corona-Maßnahmen sind unverkennbar einseitig ausgerichtet.

Nicht wenige Experten aus der Wissenschaft vertreten diese Auffassung und fordern schon seit geraumer Zeit abgewogene Maßnahmen, die alle gesellschaftlichen Schichten in den Blick nehmen. Mit seiner Kritik ist Prof. Lütge also nicht allein. Indessen finden diese kritischen Stimmen kaum Gehör. Merkel, aber auch Söder und viele andere Ministerpräsidenten haben ein kleines, elitäres Beratergremium um sich geschart, dem alleine sie vertrauen. Abweichende Meinungen werden da als störend wahrgenommen.

Von eigenen Versäumnissen ablenken

Im konkreten Falle von Prof. Lütge scheint es nun so, dass die bayerische Staatsregierung solche Kritik nicht erträgt. Vielleicht will man auch davon ablenken, dass man gerade beim Schutz der Ältesten in den Heimen kläglich versagt hat: Nur 1 % der Bevölkerung lebt in Heimen, dennoch entfallen auf diese Gruppe ein Drittel aller Corona-Todesfälle.

Die Hälfte der Coronatoten entfällt auf die 4 % Ältesten der Bevölkerung (d.h., Alter >= 84 Jahre). Insgesamt sind in der Altersgruppe 80+ etwa 70 % aller Covid-19-Sterbefälle zu verzeichnen. Umgekehrt entfallen auf die jüngere Hälfte der Menschen (<= 46 Jahre) gerade 1 % der Coronatoten. Trotz dieser Fakten weiß die Politik nichts besseres, als den pauschalen Lockdown inklusive Kita- und Schulschließungen.

Man kommt an der Erkenntnis nicht vorbei, dass die politischen Entscheider im Laufe der Corona-Pandemie nahezu nichts dazugelernt haben. Sie werden ihrer Verantwortung für die Gesellschaft als Ganzes nicht gerecht. Und nun kommt auch noch hinzu, dass Kritiker mundot gemacht werden sollen.

Demokratie am Scheideweg

Dem mündigen Staatsbürger sollte dieser ganze Vorgang eine Warnung sein: Die verbrieften Grundrechte sind keine Selbstverständlichkeit mehr. Unter dem Dogma einer einseitigen Gesundheitsfürsorge drohen sie im Zuge der Corona-Pandemie ausgehebelt zu werden.

Wenn wir nicht aufpassen, dann schlittern wir sehenden Auges in den fürsorglichen Überwachungsstaat, der vorgeblich immer ganz genau weiß, was gut für uns ist. Das ist dann nicht mehr die liberale Demokratie des Grundgesetzes.

Wir haben noch in diesem Jahr die Chance, mit unserer Stimme jedwedem staatlichen Dirigismus eine Absage zu erteilen.

Quellen:

[1] Bayern: Ein Professor nervt mit umstrittenen Thesen zu Corona den Ethikrat | Bayern (merkur.de)

[2] Bayern: Nach Kritik an Corona-Politik: Söder reagiert und wirft unliebsamen Professor raus | Bayern (merkur.de)

[3] Ethikrat: Staatsregierung entlässt Lockdown-Kritiker Lütge

[4] Prof Christoph Lütge im Interview: „Menschen sterben ja nicht nur am Virus“

[5] Corona-Gipfel: Gegenwind für Merkel und die Länder wegen Experten – „Andere Sichtweisen offenbar unerwünscht“ | Politik (merkur.de)

[6] Angela Merkel: Unerwarteter Corona-Angriff! Leopoldina attestiert „politischen Missbrauch von Wissenschaft“ | Politik (merkur.de)

[7] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor | sumymus blog

Corona-Pandemie verkürzt die Lebenserwartung

Das objektive Maß für die Schwere der Pandemie ist der Einfluss auf die Lebenserwartung

Nach den sich täglich überschlagenden Horrormeldungen zu Infektionszahlen, Todesfällen und Corona-Mutanten, Impfstau, Schulschließungen, Homeoffice, Ausgangs- und Reisebeschränklungen … hat mich zunehmend die Frage interessiert, inwieweit die Corona-Pandemie die Lebenserwartung der Menschen beeinflusst. Genauer, wie stark reduzieren die beobachteten Covid-19-Todesfallzahlen die Lebenserwartung in den unterschiedlichen Altersgruppen.

Annahmen für die Berechnung der Lebenserwartung

Als Randbedingung wurde angenommen, dass die Corona-Pandemie noch ein weiteres Jahr mit der gleichen Intensität anhält und weitere etwa 50.000 Todesopfer fordert bevor 2022 die Impfungen in der Breite Wirkung zeigen werden. Sofern die Impfungen wider aller Erwartung sehr schnell erfolgen, könnte sich der Effekt auf die Reduzierung der Lebenserwartung halbieren.

Die Berechnung fußt auf den Daten des RKI (Todesfallzahlen „an oder mit“ Corona), den Sterbetafeln des Bundesamtes für Statistik (DeStatis) sowie zum Abgleich den Sterbezahlen für 2018 (Statista). Als Vergleichswerte für die Lebenserwartung wurden die Zahlen des Instituts der deutschen Wirtschaft (DeutschlandInZahlen, s. [10] und [11]) herangezogen.

Darstellung der Ergebnisse

Das folgende Diagramm (s. Abb. 1) zeigt für Deutschland die Reduzierung der Lebenserwartung in der Corona-Pandemie (blaue , grüne und rote Säulen von oben nach unten). Zugrunde gelegt sind die Todesfallzahlen per 26.01.2021 in Höhe von 53.000 („an oder mit“) Covid-19-Toten in der beobachteten Altersverteilung.

Reduzierung der Lebenserwartung in der Corona-Pandemie (blaue , grüne und rote Säulen von oben nach unten).

Abbildung 1: Reduzierung der Lebenserwartung in der Corona-Pandemie (blaue , grüne und rote Säulen von oben nach unten). Zugrunde gelegt sind die Todesfallzahlen per 26.01.2021 in der beobachteten Altersverteilung. Zum Vergleich: Die grau-punktierte Kurve zeigt die relative Lebenserwartung ohne Beeinträchtigung durch Corona im Jahre 2010 an.

Man entnimmt der Grafik, dass für die Altersgruppen bis 50 keine messbare Reduzierung der Lebenserwartung eintritt. Für die Altersgruppen bis 70 bleibt die Reduzierung der Lebenserwartung noch unter 0,1 Lebensjahren. Für Menschen im Alter von 80 reduziert sich die Lebenserwartung um etwa 0,2 Jahre, im Alter von 90 um etwa 0,25 Jahre.

Analyse und Diskussion

Auf den ersten Blick erscheint der Einfluss überraschend gering und man fragt sich, ob dies die massiven gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Maßnahmen und Einschränkungen der Grundrechte rechtfertigt.

Ist das vielleicht eine nicht angemessene Sicht? Sind durchschnittlich 0,2 Lebensjahre weniger doch ein größerer Einschnitt, als dies die kleine Zahl ausdrückt. Wird durch diese Betrachtung die grundsätzlich insbesondere für die Älteren bestehende Gefahr verharmlost?

Schauen wir uns zum Vergleich die allgemeine Lebenserwartung ohne Beeinträchtigung durch Corona im Jahre 2010 an (s. grau-punktierte Kurve in Abb. 1).

Die grauen Dreiecke markieren die relative Lebenserwartung im Jahre 2010 für die Lebensalter 1, 30, 60 und 80. Wie man erstaunt zur Kenntnis nimmt, war die allgemeine Lebenserwartung vor einem Jahrzehnt signifikant geringer als im Jahr 2020 unter den herrschenden Corona-Bedingungen. Konkret: Ein 80-Jähriger im Jahr 2020 hatte trotz der Corona-Gefahr immer noch eine höhere Lebenserwartung als ein 80-Jähriger im pandemiefreien Jahr 2010. Bei den Jüngeren beläuft sich der Unterschied mit 0,3 bis fast 0,7 Jahre gar auf ein Vielfaches des spezifischen Einflusses aufgrund von Corona.

Entwicklung der Lebenserwartung in den letzten 30 Jahren

Wenn wir weiter zurückgehen, etwa auf das Jahr 1990 oder 2000, dann werden die Unterschiede noch eklatanter. In Abb. 2 ist exemplarisch die Entwicklung der Lebenserwartung seit 1990 für 30- 60- und 80-Jährige aufgetragen. Wie man den Kurvenverläufen entnimmt, war vor nur zwei Dekaden die Lebenserwartung für 80-Jährige um 0,9, für 60-Jährige gar um 1,9 Lebensjahre geringer als heute. Bei den unter 60-Jährigen (grüne und blaue Kurven) ist der Einfluss der Corona-Pandemie auf die Lebenserwartung in dieser Skalierung nicht wahrnehmbar. Aber auch der Verlauf bei den 80-Jährigen (rote Kurve) lässt nur eine kleine Delle erkennen. In Summe darf man daher festhalten: Im Vergleich zu dem in den letzten 30 Jahren registrierten Anstieg fällt der partielle Rückgang der Lebenserwartung aufgrund von Corona nur äußerst bescheiden aus.

Entwicklung der Lebenserwartung seit 1990 für 30- 60- und 80-Jährige. Die Werte für die Lebenserwartung unter Corona-Bedingungen sind beim Übergang von 2020 auf 2021 jeweils durch die farbigen Punkte markiert.

Abbildung 2: Entwicklung der Lebenserwartung seit 1990 für 30- 60- und 80-Jährige. Die Werte für die Lebenserwartung unter Corona-Bedingungen sind beim Übergang von 2020 auf 2021 jeweils durch die farbigen Punkte markiert. Mittels der grauen Säule hervorgehoben ist die Zeitspanne der Corona-Pandemie (ab Anfang 2020, im Modell verlängert bis Anfang 2022). Datenstand per 26.01.2021.

Nun sind bekanntlich insbesondere die Älteren von der Pandemie betroffen. Deswegen wollen wir den Einfluss der Corona-Pandemie für diese Gruppe schärfer herauszuarbeiten. Dazu betrachten wir den Kurvenverlauf bei den 80-Jährigen noch etwas genauer (s. hierzu Abb. 3). Wir sehen hier die gleiche Kurve wie in Abb. 2, nun aber in einem größeren Maßstab, so dass der „Einbruch“ stärker zur Geltung kommt. Der Rückgang im Vergleich zur vorherigen positiven Entwicklung der Lebenserwartung im Verlauf der letzten 30 Jahre ist unverkennbar. Man sieht aber auch deutlich, dass der Verlust an Lebenserwartung nur einen kleinen Bruchteil des Zuwachses der letzten 20 oder 30 Jahre ausmacht. In etwa beschränkt sich die Einbuße auf den in den letzten 3 – 5 Jahren verzeichneten Gewinn.

Entwicklung der Lebenserwartung für 80-Jährige von 1990 bis 2020. Der Wert für die Lebenserwartung unter Corona-Bedingungen ist beim Übergang von 2020 auf 2021 durch den roten Punkt markiert.

Abbildung 3: Entwicklung der Lebenserwartung für 80-Jährige von 1990 bis 2020. Der Wert für die Lebenserwartung unter Corona-Bedingungen ist beim Übergang von 2020 auf 2021 durch den roten Punkt markiert. Die graue Säule überdeckt die Zeitspanne der Corona-Pandemie (ab Anfang 2020, im Modell verlängert bis Anfang 2022). Datenstand per 26.01.2021.

Corona ein Schnippchen schlagen durch Zeitreise in die Vergangenheit?

Der zunächst verlockend klingende Gedanke, der Corona-Gefahr dadurch zu entgehen, dass man mit der Zeitmaschine zurück ins Jahr 2000 reist, würde sich nach der vorstehenden Analyse als fataler Fehler erweisen. Gegenüber der „hochriskanten“ Situation in der 2020-Corona-Pandemie würden 80-Jährige 0,7 Lebensjahre einbüßen; 60-Jährige würden gar ein noch schlechteres Geschäft machen, ihnen gingen 1,8 Lebensjahre verloren. Wohlgemerkt, wir sprechen hier vom Jahr 2000, also von der jüngsten bereits hochtechnisierten Vergangenheit, nicht von der ferneren Vorkriegszeit.

Bewertung des beobachteten Rückgangs

Auf den zweiten Blick ist daher der Einfluss der Corona-Pandemie auf die Lebenserwartung nicht nur in der absoluten Höhe, sondern auch im Vergleich mit den Vorjahren überraschend gering und man fragt sich nun erst recht, ob das die massiven Beschränkungen in allen Lebensbereichen wirklich rechtfertigt.

Damit sollen die Einzelschicksale nicht verharmlost werden. Natürlich ist jeder Tote ein Toter zu viel. Das gilt indes unabhängig von der Sterbeursache grundsätzlich auch für die 95% anderen Verstorbenen.

Indessen wird man mit dieser Individualbetrachtung dem Charakter einer Pandemie nicht gerecht. So hart das im Einzelfall auch klingen mag: Entscheidend für die Beurteilung der Schwere einer Pandemie sind die Auswirkungen auf die Gesamtbevölkerung. Die Individualschicksale sind nicht anders zu beurteilen als bei anderen Krankheiten auch. Täglich sterben in Deutschland etwa 2.600 Menschen, die meisten davon an Krebs und Herz-Kreislauferkrankungen. Und diesbezüglich sind die Jüngeren in Relation sehr viel stärker betroffen als von Corona.

Der oft gehörte Hinweis, das könne man nicht vergleichen, weil es sich bei Corona um ein hochansteckendes Infektionsgeschehen handelt, ist nicht stichhaltig. Natürlich kann man sich gegen diese Infektion mittels Eigenverantwortung wirksam schützen. Jedenfalls trifft dies für die sehr große Mehrheit (s. [13]) uneingeschränkt zu. Für die wenigen, die sich nicht oder nicht ausreichend schützen können, z.B. die Bewohner von Pflege- und Altenheimen, müssen aktive Schutzmaßnahmen ergriffen werden. Dazu gibt es Konzepte, die besser wirken als ein undifferenzierter Lockdown. Und insbesondere hier ist der Staat gefordert, Verantwortung zu übernehmen.

Wie schlimm würde es sein, wenn Deutschland von Trump regiert worden wäre?

Nun muss man aber auch festhalten, dass die geringe Auswirkung auf die Lebenserwartung natürlich auch eine Folge der getroffenen Schutzmaßnahmen ist. Völlig ohne Vorkehrungen wie Abstand halten, Hygiene und ggf. Maske tragen würden die Todesfallzahlen mit Sicherheit deutlich höher liegen und damit einhergehend auch der Einfluss auf die Verkürzung der Lebenserwartung markanter ausfallen.

Nehmen wir als probates Negativ-Szenario die USA, bis vor kurzem mit dem bekennenden Corona-Leugner Donald Trump an der Spitze. In den USA verzeichneten wir per Ende Januar etwa 430.000 Todesfälle. Entsprechend dem Verhältnis der Einwohnerzahl umgerechnet, wären das ca. 107.000 Todesfälle in Deutschland. Auf dieser Basis würde sich somit die Lebenserwartung für 80-Jährige um ca. 0,4 Jahre reduzieren. Für 60-Jährige und noch jüngere läge der Wert deutlich unter 0,1 Jahren und damit unter der Messbarkeitsgrenze (60-Jährige 0,06, 30-Jährige 0,023). Auch in diesem Falle haben wir eine theoretische Pandemiedauer von zwei Jahren und damit in der Projektion insgesamt 210.000 Coronatote zugrunde gelegt. Klar, die Todesfallzahlen wären etwa doppelt so hoch. Dennoch fällt es schwer, dieses Alternativszenario als unheilvolles Totalversagen zu verstehen.

Pandemie für immer

Die vorstehenden Betrachtungen wurden sämtlich unter einer markanten Randbedingung vorgenommen: Dauer der Pandemie 2 Jahre. Wie wäre es denn im Kontrast, wenn uns die Pandemie in der gegenwärtigen Schärfe mit ca. 50.000 Toten p.a. dauerhaft heimsuchen würde? Sei es, weil die Impfstoffe nicht wie erhofft wirken? Oder, weil z.B. viele neue mutierte Viren auftauchen, für die es keine effektive Behandlung gibt? Die Frage ist also, wie stark sich eine dauerhafte Corona-Pandemie auf die Lebenserwartung auswirken würde. Mit Sicherheit bliebe es nicht bei den geringfügigen Reduzierungen, wie wir sie oben gesehen haben.

Tatsächlich fällt die Verringerung der Lebenserwartung mit einer Einbuße von 0,8 Lebensjahren für 80-Jährige und etwa ein Jahr weniger Lebensspanne für 60-Jährige und Jüngere deutlich aus. Aber auch hier muss man konstatieren, dass das im schlimmsten Falle nur einen Rückschritt auf das Niveau der allgemeinen Lebenserwartung des Vergleichsjahres 2000 bedeuten würde. Keine Frage, das wäre ein drastischer Einschnitt. Mit größeren Recht als man das in der gegenwärtigen Situation ohnehin tut, würde man das als Tragödie bezeichnen. Trotz alledem wird man kaum sagen können, die Menschen zur Jahrtausendwende würden unter katastrophalen Bedingungen gelebt haben.

Die Dauer-Pandemie müssen wir nicht befürchten, umso weniger gibt es Anlass, die gegenwärtige Situation mit ihren nach obiger Analyse insgesamt noch sehr moderaten Belastungen als Katastrophe zu überhöhen.

Resümee

Das durchschnittliche Covid-19-Sterbealter liegt bei etwa 83 Jahren (s. [13]) und ist damit sogar höher als die allgemeine Lebenserwartung. Wir haben gesehen, dass die Verringerung der Lebenserwartung durch Corona für die Altersgruppen bis 70 unter 0,1 Lebensjahren bleibt. Auch für die Älteren reduziert sich die Lebenserwartung nur geringfügig: Bei einer Pandemiedauer von 2 Jahren mit 50.000 Toten p.a. büßen 80-Jährige im Durchschnitt etwa 0,2 Jahre Lebenserwartung ein, 90-Jährige etwa 0,25 Jahre.

Insgesamt ist der Einfluss der Corona-Pandemie auf die Lebenserwartung nicht nur in der absoluten Höhe, sondern auch im Vergleich mit der allgemeinen Entwicklung der Lebenserwartung in den letzten 2 bis 3 Dekaden überraschend gering. Der Verlust an Lebenserwartung macht bei den Jüngeren einen kaum messbaren, einen winzigen Bruchteil des in diesem Zeitraum verzeichneten Zuwachses aus. Sogar für die Älteren um 80 bleibt die Minderung noch unterhalb des allgemeinen Anstiegs der Lebenserwartung der letzten 10 Jahre.

Die vom Coronavirus ausgehende Gefahr für bestimmte Gruppen soll nicht verharmlost werden. Nach der vorstehenden Analyse gibt es aber auch ebenso wenig einen Grund, die Gesellschaft von einem Lockdown in den nächsten zu treiben. Stattdessen muss man diejenigen durch gezielte Maßnahmen schützen, die des Schutzes bedürfen, also insbesondere die Bewohner von Alten – und Pflegeheimen sowie die Älteren mit Vorerkrankungen. Alles andere ist völlig unverhältnismäßiger Aktionismus. Unbegründete Panikmache befeuert die allgemeine Hysterie, daraus erwächst indes kein nachhaltig wirksamer Lösungsansatz.


Quellen:

[1] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) – 26.01.2021 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Jan_2021/2021-01-26-de.pdf?__blob=publicationFile

[2] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) – 01.12.2020 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Dez_2020/2020-12-01-de.pdf?__blob=publicationFile

[3] Corona-Infektionen (COVID-19) in Deutschland nach Altersgruppe und Geschlecht (Stand: 26. Januar 2021). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1103904/umfrage/corona-infektionen-covid-19-in-deutschland-nach-altersgruppe/#professional

[4] Todesfälle mit Coronavirus (COVID-19) in Deutschland nach Alter und Geschlecht (Stand: 26. Januar 2021). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1104173/umfrage/todesfaelle-aufgrund-des-coronavirus-in-deutschland-nach-geschlecht/

[5] Bevölkerung – Zahl der Einwohner in Deutschland nach Altersgruppen am 31. Dezember 2019. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1112579/umfrage/bevoelkerung-in-deutschland-nach-altersgruppen/

[6] Altersspezifische Sterbewahrscheinlichkeiten der Männer in Deutschland. Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung (BIB)

https://www.bib.bund.de/DE/Fakten/Fakt/S05-Altersspezifische-Sterbewahrscheinlichkeiten-Maenner-ab-1871.html?nn=9992070

[7] Altersspezifische Sterbewahrscheinlichkeiten der Frauen in Deutschland. Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung (BIB)

https://www.bib.bund.de/DE/Fakten/Fakt/S06-Altersspezifische-Sterbewahrscheinlichkeiten-Frauen-ab-1871.html?nn=9992070

[8] Sterbetafel 2017/2019 – Ergebnisse aus der laufenden Berechnung von Periodensterbetafeln für Deutschland und die Bundesländer 2020. DESTATIS – Statistisches Bundesamt

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bevoelkerung/Sterbefaelle-Lebenserwartung/Publikationen/Downloads-Sterbefaelle/periodensterbetafel-erlaeuterung-5126203197004.pdf?__blob=publicationFile

[9] Anzahl der Sterbefälle in Deutschland nach Altersgruppe im Jahr 2018. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1013307/umfrage/sterbefaelle-in-deutschland-nach-alter/

[10] Tabelle: Lebenserwartung (Männer) – in Jahren

https://www.deutschlandinzahlen.de/tab/deutschland/demografie/natuerliche-bevoelkerungsbewegungen/lebenserwartung-maenner

[11] Tabelle: Lebenserwartung (Frauen) – in Jahren

https://www.deutschlandinzahlen.de/tab/deutschland/demografie/natuerliche-bevoelkerungsbewegungen/lebenserwartung-frauen

[12] Das „Vorsorgeprinzip“ der Kanzlerin in der Pandemie ist einseitig

https://www.handelsblatt.com/meinung/kommentare/kommentar-das-vorsorgeprinzip-der-kanzlerin-in-der-pandemie-ist-einseitig-/26833548.html

[13] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

https://www.linkedin.com/pulse/die-corona-pandemie-alter-ist-der-hauptrisikofaktor-fischer/

[14] Das Coronavirus: Harmlos? Bedrohlich? Tödlich?

https://www.linkedin.com/pulse/das-coronavirus-harmlos-bedrohlich-t%C3%B6dlich-hieronymus-fischer

[15] Aktuelles zu Corona

Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

Strategie des planlosen Managements

Wenn man die Infektions- und Todesfallzahlen sowie die abgeleiteten Sterbewahrscheinlichkeiten ohne und mit Corona analysiert, wird vor allem eines klar: Das Management der Corona-Krise ist ein Fiasko. Dieses Urteil steht in einem denkbar krassen Kontrast zur Selbsteinschätzung der verantwortlichen Politiker. Trotz der Lage ist auch der Zuspruch der Mehrheit der Menschen nach wie vor hoch. Das hängt damit zusammen, dass wir in der politischen Kommunikation und der Medienberichterstattung zu Corona vor allem mit einem vordergründigen Alarmismus konfrontiert werden.

Mit Hysterie und Angstmache werden wir die Krise aber nicht bewältigen. Zuallererst brauchen wir eine auf nüchterner Faktenanalyse beruhende klare Kommunikation und die Abkehr von einer Politik der Panikmache.

Es gibt keine Strategie für eine nachhaltige Senkung der Todesfallzahlen im Einklang mit der Aufrechterhaltung des gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Lebens. Politik und Medien gleiten planlos von einem Lockdown zum nächsten und lassen sich leiten vom Prinzip Hoffnung. Hoffnung auf Impfstoffe, die, wie sich nun zeigt, für die Bürger der EU und speziell auch Deutschlands auf absehbare Zeit nicht in ausreichenden Mengen zur Verfügung stehen werden. Das ist das Ergebnis europäischen Missmanagements unter der deutschen EU-Präsidentschaft. Und es ist das Resultat von nicht wahrgenommener Verantwortung: Weil man aus der Impfstoffbeschaffung eine EU-Erfolgsstory machen wollte, wurden mögliche nationale Vorsorgemaßnahmen nicht getroffen. Tausende vermeidbare Todesfälle sind die Folge.

Wie steht es um den Schutz der Älteren?

Das Ergreifen vernünftiger Maßnahmen setzt voraus, dass man die Realität vorurteilsfrei zur Kenntnis nimmt. Zwar ist allgemein bekannt, dass überwiegend Ältere von schweren Covid-19-Krankheitsverläufen betroffen sind, dennoch findet dies in den Maßnahmen kaum Berücksichtigung. Im Folgenden soll der Alterseinfluss deswegen in aller Schärfe herausgearbeitet werden.

Ältere über 80 sind im Vergleich zum Anteil an der Bevölkerung weit überproportional häufig infiziert und stellen fast 70% der Toten (s. Abb. 1) mit weiter steigender Tendenz (im Zuwachs sind es sogar über 70%). Weniger als 3,5% der Covid-19-Toten waren unter 60.

Das Infektionsrisiko liegt für die Altersgruppe 80+ mit 10,13% der Infizierten bei nur 6,83% Bevölkerungsanteil fast 50% über dem Durchschnitt. Das zeigt insbesondere, dass die Hochbetagten, trotz der typischerweise geringen Kontakthäufigkeit, nur höchst unzureichend vor Infektionen geschützt werden. Die zahlreichen Ausbrüche in Heimen untermauern dies.

Wenn man die Zahlen mit den Vorwochen und Vormonaten vergleicht, erkennt man, dass das Risiko für die Älteren sogar im Lockdown unvermindert weiter steigt.

Covid-19 Infizierte und Todesfälle pro Altersgruppe.

Abbildung 1: Covid-19 Infizierte und Todesfälle pro Altersgruppe. – Rohdaten vom RKI und von Statista nach Datenstand 26.01.2021.

Sterberisiko nach Altersgruppen

Schauen wir uns das Sterberisiko in den Altersgruppen an (s. Abb. 2): Die Covid-19-Mortalität ist in der Altersgruppe 80+ mit 650 Toten pro 100.000 Personen etwa 8-mal größer als für die 60-79-Jährigen (78 Tote pro 100.000 Personen) und sogar 200-mal größer als für die 0-59-Jährigen (mit knapp 3 Toten pro 100.000 Personen der Altersgruppe).

Wenn die Infektionsrate der Altersgruppe 80+ auf dem Niveau des Durchschnitts der Bevölkerung liegen würde, dann hätten wir etwa 18.000 Covid-19-Tote weniger zu verzeichnen. Der Befund macht klar, dass pauschale Maßnahmen nach dem Gießkannenprinzip zum Scheitern verurteilt sind. Ohne effektiven Schutz der Meistgefährdeten geht es nicht. Maßnahmen sind effektiv und verhältnismäßig nur dann, wenn sie die vulnerablen Gruppen in den Fokus nehmen. Und die „vulnerablen“ Gruppen, das sind nicht 27 oder 30 Millionen, also die Gruppe der Menschen über 60, wie uns Politiker gerne erklären, es sind insbesondere die Menschen über 80, also etwa 5,7 Mio. Personen. Eine Sonderstellung nehmen darunter die Bewohner von Alten- Pflegeheimen ein. Sie sind besonders gefährdet (s. Abb. 3) und werden dennoch nicht konsequent geschützt. 

Corona-Mortalität in Todesfällen pro 100.000 Personen der Altersgruppe.

Abbildung 2: Corona-Mortalität in Todesfällen pro 100.000 Personen der Altersgruppe. – Rohdaten vom RKI und von Statista nach Datenstand 26.01.2021.

Tatsächlich kommt eine erhebliche Anzahl der etwa 53.000 Coronatoten (per 26.01.2021) aus Heimen, obwohl dort nur etwa 850.000 Menschen leben. In der Altersgruppe 80+ mit 37.000 Covid-19-Toten macht dieser Personenkreis etwa die Hälfte der Sterbefälle aus. In einzelnen Bundesländern waren zweitweise gar bis zu 90% der Corona-Todesfälle in Heimen zu verzeichnen. Es liegt auf der Hand, dass ein allgemeiner Lockdown in dieser Hinsicht kaum etwas bewirken kann. Das weisen die Daten klar aus.

Corona-Mortalität in Todesfällen pro 100.000 Personen der Altersgruppe.

Abbildung 3: Corona-Mortalität in Todesfällen pro 100.000 Personen der Altersgruppe. Die Differenzierung nach Heimbewohnern beruht auf der begründeten Abschätzung, dass etwa 50% der Todesfälle in der Altersgruppe 80+ auf die Hochbetagten in Heimen zurückgehen. Unter allen Todesfällen sind es mindestens ein Drittel. – Rohdaten vom RKI und von Statista nach Datenstand 26.01.2021.

Die Hochbetagten in den Heimen werden vor Infektionen nicht geschützt. Sie sind überproportional häufig infiziert. So ist das seit fast einem Jahr. Mehr als 10.000 Todesfälle gehen allein auf dieses Konto.

Alter ist der Hauptrisikofaktor

Aus dem Vorstehenden geht klar hervor, dass die Alten mit großem Abstand das höchste Risiko tragen, dabei aber durch die ergriffenen Maßnahmen nur unzureichend geschützt werden. In den folgenden beiden Grafiken wird das noch schärfer herausgearbeitet. Der Kurvenverlauf zeigt die spezifische Corona-Mortalität in Todesfällen pro 100.000 Personen im entsprechenden Lebensalter.

Man entnimmt der ersten Grafik (s. Abb. 4), wie enorm stark das Alter direkt das Covid-19-Sterberisiko beeinflusst. Beispiel: Für 80-Jährige haben wir einen Wert zwischen 200 und 300 pro 100.000, für 90-Jährige schon von über 800.

In exponentieller Interpolation aus summarischen Grunddaten auf Einzeljahre heruntergerechnete Corona-Mortalität in Todesfällen pro 100.000 Personen der Altersgruppe.

Abbildung 4: In exponentieller Interpolation aus summarischen Grunddaten auf Einzeljahre heruntergerechnete Corona-Mortalität in Todesfällen pro 100.000 Personen der Altersgruppe. – Rohdaten vom RKI und von Statista nach Datenstand 26.01.2021.

Ganz anders bei den Jüngeren. Hier sind die Werte in der Altersgruppe unter 60 so niedrig, dass sie kaum mehr abgelesen werden können. In der zweiten Grafik (s. Abb. 5) daher dieselbe Information in logarithmischer Darstellung aufgetragen. Wie man der Abbildung entnimmt, bleibt die Mortalität bis zum Alter von knapp 40 noch unter 1:100.000.

In exponentieller Interpolation aus summarischen Grunddaten auf Einzeljahre heruntergerechnete Corona-Mortalität in Todesfällen pro 100.000 Personen der Altersgruppe. Hier in logarithmischer Darstellung.

Abbildung 5: In exponentieller Interpolation aus summarischen Grunddaten auf Einzeljahre heruntergerechnete Corona-Mortalität in Todesfällen pro 100.000 Personen der Altersgruppe. Hier in logarithmischer Darstellung. – Rohdaten vom RKI und von Statista nach Datenstand 26.01.2021.

In guter Annäherung steigt das Sterberisiko ab 40 exponentiell etwa mit dem Faktor 10 pro 20 Lebensjahren. Der formelmäßige Zusammenhang kann so beschrieben werden:

\begin{equation} \textit{Mortalität} \approx 10^{ \frac { Alter\, – \, 36 }{ 18 } } \end{equation}

Eine noch bessere Approximation zeigt die grau-punktierte Linie (s. Abb. 5). Sie gehorcht der Formel:

\begin{equation} \textit{Mortalität} = 0.0111 \cdot e^{ 0.125 \, \cdot Alter } \end{equation}

Es wird damit nochmals unterstrichen: Das Risiko, sich zu infizieren und an Covid-19 zu versterben ist in hohem Maße vom Alter abhängig.

Die Gefährdung wächst exponentiell mit steigendem Alter

Bei dieser Sachlage kann es kaum mehr verwundern, dass die von der Politik ergriffenen pauschalen Maßnahmen nicht den gewünschten Effekt zeitigen. Mittlerweile fordern daher auch schon viele unabhängige Experten, den Fokus viel stärker auf den Schutz der Hauptrisikogruppen zu legen. Überdies muss man hier differenzieren: Die vulnerablen Gruppen sind, wie wir oben gesehen haben, zunächst die Bewohner von Heimen (etwa 850.000 Personen und die über 80-Jährigen (in Summe etwa 5,7 Mio.), es sind nicht pauschal alle über 60-Jährigen. Die meisten Angehörigen der Altersgruppe 60-79 können für sich selbst sorgen: In dieser Gruppe liegt das Infektionsrisiko signifikant unter dem Durchschnitt der Bevölkerung (etwa -30%, s. Abb. 1). Eigenverantwortung ist ein extrem stark wirksamer Schutzfaktor.

Altersverteilung im Vergleich zu allen Sterbefällen

Wie wir gesehen haben, sind Ältere besonders von Corona betroffen. Dies zeigt sich auch bei Betrachtung der Altersverteilung der Covid-19-Sterbefälle im Vergleich zur Verteilung der Sterbefälle aufgrund anderer Ursachen. Grundsätzlich ist klar, dass das allgemeine Sterberisiko mit dem Alter ansteigt. Das Coronavirus differenziert sogar noch stärker nach Alter. Man kann dies leicht den beiden Kurven in Abb. 6 entnehmen: Die blaue Kurve zeigt die Verteilung der allgemeinen Sterbefälle nach Lebensalter. Die rote Kurve stellt die Altersverteilung der Covid-19-Sterbefälle dar.

Verteilung der Coronatoten nach Lebensalter im Vergleich mit allen Sterbefällen.

Abbildung 6: Verteilung der Coronatoten nach Lebensalter im Vergleich mit allen Sterbefällen. Für ein vorgegebenes Alter x gibt der y-Wert den relativen Anteil der Todesfälle in der Dekade x-5 bis x+5 Jahre an. Beispiel x = 85: y = 47%, also waren etwa 47% der Covid-19-Sterbefälle im Alter zwischen 80 und 90. Bei den allgemeinen Sterbefällen waren es nur ca. 37%. – Rohdaten vom RKI und von Statista nach Datenstand 26.01.2021.

Das Coronavirus ist eine stärkere „Altersdiskriminante“ als alle anderen Lebensrisiken zusammen

In Abb. 7 sind die kumulierten Inzidenzen aufgetragen. Greifen wir uns exemplarisch das Alter 80 heraus: 30% der Covid-19-Toten (s. rote Kurve) verstarben im Alter jünger als 80. Bei den allgemeinen Sterbefällen beläuft sich der Anteil indes auf fast 45%. Etwa 10% der Coronatoten waren jünger als 70, bei den sonstigen Todesfällen waren es mehr als doppelt so viel, nämlich fast 22%.

Verteilung der Coronatoten nach Lebensalter im Vergleich mit allen Sterbefällen.

Abbildung 7: Verteilung der Coronatoten nach Lebensalter im Vergleich mit allen Sterbefällen. Für ein vorgegebenes Alter x gibt der y-Wert den relativen Anteil der Todesfälle an, die in einem Alter jünger als x verstorben sind. Beispiel x = 80: y = 30%, also waren etwa 30% der Covid-19-Sterbefälle im Alter jünger als 80. Bei den allgemeinen Sterbefällen waren es ca. 45%. – Rohdaten vom RKI und von Statista nach Datenstand 26.01.2021.

Das unterstreicht noch einmal eindrücklich, wie stark das Lebensalter die Gefährdung bestimmt und als beherrschender Risikofaktor wirkt. Angesichts der Altersverteilung zeigt es auch, dass die Todesfallzahlen nur mittels differenzierter Maßnahmen gesenkt werden können. Ein pauschaler Lockdown wirkt auf die exponierten Gruppen nur höchst indirekt, belastet aber alle gesellschaftlichen Gruppen, insbesondere auch die große Mehrheit der kaum durch das Virus Gefährdeten. Jene sind vor allem Betroffene der unmittelbaren Lockdownfolgen. Gezielt auf den Schutz der Hauptrisikogruppen (Heimbewohner, über 80-Jährige mit Vorerkrankungen) abgestimmte Maßnahmen machen daher sehr viel mehr Sinn, weil sie dort ansetzen und wirken können, wo die Gefährdung tatsächlich vorliegt.

Das durchschnittliche Covid-19-Sterbealter liegt per Datenstand 26.01.2021 bei etwa 83 Jahren. Bezüglich der allgemeinen Sterbefälle haben wir hier einen Wert von etwas mehr als 80 Jahren zu verzeichnen.

Altersverteilung in Bezug auf die Bevölkerungsstruktur

Aus den vorstehenden Grafiken geht schon klar hervor, dass sich die Masse der Covid-19-Todesfälle auf eine ziemlich kleine Bevölkerungsgruppe verteilt. Im Folgenden wird das noch etwas präziser herausgearbeitet. Abb. 8 stellt die Verteilung der Covid-19-Sterbefälle in Abhängigkeit vom Alter im Vergleich zur Altersverteilung in der Bevölkerung dar:

Blaue Kurve (linke Achse): Anteil der Menschen in der Bevölkerung mit einem Alter >= x. Beispiel: x = 80, Bevölkerungsanteil knapp 7%.

Rote Kurve (rechte Achse): Anteil der Covid-19-Toten, die in einem Alter >= x verstorben sind. Beispiel: x = 80, Anteil an allen Corona-Sterbefällen knapp 70%.

Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt etwa bei einem Alter von x = 72. Hierfür gilt Folgendes: Ca. 14% der Menschen sind älter als 72, zugleich entfallen auf diesen Bevölkerungsanteil 86% der Covid-19-Toten.

Altersverteilung der Coronatoten und der Bevölkerung insgesamt im Vergleich.

Abbildung 8: Altersverteilung der Coronatoten und der Bevölkerung insgesamt im Vergleich. Blaue Kurve (linke Achse): Anteil der Menschen in der Bevölkerung mit einem Alter >= x. Rote Kurve (rechte Achse): Anteil der Covid-19-Toten, die in einem Alter >= x verstorben sind. Man beachte, dass die Skalierung der rechten Achse von oben nach unten verläuft. – Rohdaten vom RKI und von Statista nach Datenstand 26.01.2021.

Einige Eckdaten aus der Grafik:

  • Auf die ältesten 1% der Menschen (d.h., Alter >= 90) entfallen 22% der Coronatoten.
  • Die ältesten 5% der Menschen (etwa >= 83 Jahre) verzeichnen 58% der Coronatoten.
  • Unter den ältesten 10% der Menschen (etwa >= 76 Jahre) finden sich 80% der Coronatoten.
  • Auf die jüngere Hälfte der Menschen (<= 46 Jahre) entfallen 1% der Coronatoten.
  • Die Hälfte der Coronatoten entfällt auf die 4% Ältesten der Bevölkerung (d.h., Alter >= 84 Jahre).
  • Etwa 90% der Coronatoten entfallen auf die 17% Ältesten der Bevölkerung.

Nach dem Vorstehenden liegt der Medianwert der „an oder mit“ Covid-19-Verstorbenen bei 84 Jahren.

Finale Darstellung der Asymmetrie

Wie stark asymmetrisch die Verteilung der Todesfallzahlen ist, kann man am besten der sogenannten Lorenzkurve entnehmen (s. Abb. 9).

Auf der y-Achse ist der prozentuale Anteil der Covid-19-Toten aufgetragen (von oben nach unten). Die x-Achse läuft über den Prozentanteil der Ältesten in der Bevölkerung (von rechts nach links).

Altersverteilung der Coronatoten und der Bevölkerung insgesamt im Vergleich als Lorenzkurve.

Abbildung 9: Altersverteilung der Coronatoten und der Bevölkerung insgesamt im Vergleich als Lorenzkurve. Auf der y-Achse ist der prozentuale Anteil der Covid-19-Toten aufgetragen (von oben nach unten). Die x-Achse läuft über den Prozentanteil der Ältesten in der Bevölkerung (von rechts nach links). Die Kurve zeigt eindrucksvoll, wie ungleich die Todesfallzahlen über die Altersstruktur der Bevölkerung verteilt sind. – Rohdaten vom RKI und von Statista nach Datenstand 26.01.2021.

Die obigen Beispiele kann man dieser Grafik unmittelbar entnehmen:

  • Auf die ältesten 1% der Menschen entfallen 22% der Coronatoten.
  • Unter den ältesten 10% der Menschen (etwa >= 76 Jahre) finden sich 80% der Coronatoten.
  • Auf die ältere Hälfte der Bevölkerung entfallen 99% der Coronatoten.

Als Maß für die Ungleichverteilung der Todesfallzahlen über die Altersstruktur der Bevölkerung kann man den Gini-Koeffizienten heranziehen. Bezogen auf Abb. 9 misst er die relative Größe der Fläche zwischen der gestrichelten Linie und der roten Kurve. Im vorliegenden Falle beträgt der Gini-Koeffizient etwa 85. Dieser Wert steht für eine stark ungleiche Verteilung. Bei einer Gleichverteilung würde der Wert bei 0 liegen (gestrichelte Linie und rote Kurve wären dann deckungsgleich). In diesem Falle würden auf die p Prozent Jüngsten bzw. Ältesten auch p Prozent der Toten entfallen. Wenn ausschließlich die Allerältesten sterben würden, wäre der Gini-Wert knapp unter 100. Allzu weit entfernt davon sind wir im konkreten Falle indes nicht.

Nehmen wir als Vergleich die Verteilung der Einkommen über die Bevölkerung. Bezüglich der Einkommen in Deutschland beläuft sich der Gini-Koeffizient auf etwa 30. Die Einkommen sind also sehr viel gleichmäßiger verteilt als die Corona-Todesfallzahlen. Trotzdem wird das als hochproblematisch angesehen und es werden vielfach Vorschläge gemacht, den Reichen zu nehmen und den Armen zu geben. Allerdings ist bisher ist noch niemand mit der Idee gekommen, die Not der 10% Ärmsten dadurch lindern zu wollen, dass man das Einkommen ALLER kürzt.

Es liegt auf der Hand: Wenn man die Armen reicher machen will, dann braucht man dafür zielgenau passende Maßnahmen. Es ändert sich absolut nichts an ihrer Situation, wenn man allen gleichermaßen gibt oder nimmt. Genauso verhält es sich in der Pandemie im Hinblick auf die unterschiedlichen Gefährdungslagen der Älteren im Vergleich zum großen Rest der Bevölkerung.

Die Corona-Pandemie ist eine „Paläodemie“

Insbesondere die Kurve in Abb. 9 und die beiden Kurven in Abb. 8 zeigen eindrucksvoll, in wie extremer Weise ungleich die Todesfallzahlen über die Altersstruktur der Bevölkerung verteilt sind.

Die Corona-Epidemie heißt deswegen Pandemie, weil sie nicht regional begrenzt und global verbreitet ist, also „überall“ (pan = griechisch für umfassend, total, ganz) wirkt. Nach der vorstehenden Analyse muss man fast schon zum Schluss kommen, dass wir es hier weniger mit einer Pandemie als vielmehr mit einer „Paläodemie“ zu tun haben, also einer Epidemie, die vor allem alte Menschen „mit voller Wucht“ trifft (paläo = griechisch für alt).

Man muss den Eindruck gewinnen, dass dies von den Entscheidern allenfalls lethargisch zur Kenntnis genommen wird, nur um dann ungerührt völlig undifferenzierte Vorsorgemaßnahmen zu ergreifen, die dieses Wissen gänzlich ignorieren. Wie sich nun schon seit Monaten zeigt, erreicht man damit nur wenig.

Die Lockdown-Medizin macht nicht gesund, hat aber fatale Nebenwirkungen.

Resümee

Wir haben gesehen: Insbesondere die Älteren in der Bevölkerung werden Opfer des Virus, die Jüngeren dagegen sind kaum berührt. Deswegen sind die undifferenzierten Maßnahmen á la Lockdown, die die gesamte Bevölkerung in Haft nehmen und das gesellschaftliche Leben größtenteils lahmlegen weder verhältnismäßig noch können sie – jenseits der Sandkastenspiele von praxisfremden Virologen – überhaupt eine durchgreifende Wirkung entfalten. Diese Maßnahmen gehen ins Leere, was man auch daran erkennen kann, dass das Durchschnittsalter der „an oder mit“ Covid-19-Verstorbenen noch zu Beginn des aktuellen Lockdown mit etwa 81 Jahren (per 01.12.2020) fast 2 Jahre niedriger lag als aktuell per Ende Januar 2021.

Die Strategie des irrationalen politischen Aktionismus unter dem starrsinnigen Dogma einer vermeintlichen „Generalvorsorge“ ist gescheitert! Vor allem muss man festhalten: Das ist nicht wissenschaftlich. Es ist eine kleingeistige Mischung aus Mutlosigkeit und mangelnder Fantasie.

Der Lockdown trifft gleichermaßen alle. Faktisch sind indessen die Jüngeren – Kinder, Schüler, Familien, Selbständige, Künstler – sogar sehr viel stärker betroffen als die Älteren. Die Folgewirkungen für die jüngere Generation sind absehbar dramatisch. Dies wird von den Entscheidern in der Politik aber offenbar billigend in Kauf genommen.

In dieser „Paläodemie“ ist das Risiko der Älteren um Größenordnungen höher, dennoch bleiben die Maßnahmen auch nach fast einem Jahr Pandemiedauer völlig ungezielt. Das darf so keinen Bestand haben. Es ist unabdingbar, einen stärkeren Fokus auf den Schutz der am meisten Gefährdeten zu nehmen, statt die Gesellschaft insgesamt dauerhaft lahmzulegen und damit massive und möglicherweise langfristig wirkende Kollateralschäden in ungekanntem Ausmaß heraufzubeschwören.

Und am Ende gehört dazu auch die Erkenntnis, dass Leben nicht um jeden Preis geschützt werden kann. Es ist nicht nur unmöglich, es ist geradezu vermessen und Ausdruck technokratischen Machbarkeitswahns.


Quellen:

[1] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) – 26.01.2021 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Jan_2021/2021-01-26-de.pdf?__blob=publicationFile

[2] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) – 01.12.2020 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Dez_2020/2020-12-01-de.pdf?__blob=publicationFile

[3] Corona-Infektionen (COVID-19) in Deutschland nach Altersgruppe und Geschlecht (Stand: 26. Januar 2021). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1103904/umfrage/corona-infektionen-covid-19-in-deutschland-nach-altersgruppe/#professional

[4] Todesfälle mit Coronavirus (COVID-19) in Deutschland nach Alter und Geschlecht (Stand: 26. Januar 2021). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1104173/umfrage/todesfaelle-aufgrund-des-coronavirus-in-deutschland-nach-geschlecht/

[5] Bevölkerung – Zahl der Einwohner in Deutschland nach Altersgruppen am 31. Dezember 2019. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1112579/umfrage/bevoelkerung-in-deutschland-nach-altersgruppen/

[6] Altersspezifische Sterbewahrscheinlichkeiten der Männer in Deutschland. Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung (BIB)

https://www.bib.bund.de/DE/Fakten/Fakt/S05-Altersspezifische-Sterbewahrscheinlichkeiten-Maenner-ab-1871.html?nn=9992070

[7] Altersspezifische Sterbewahrscheinlichkeiten der Frauen in Deutschland. Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung (BIB)

https://www.bib.bund.de/DE/Fakten/Fakt/S06-Altersspezifische-Sterbewahrscheinlichkeiten-Frauen-ab-1871.html?nn=9992070

[8] Sterbetafel 2017/2019 – Ergebnisse aus der laufenden Berechnung von Periodensterbetafeln für Deutschland und die Bundesländer 2020. DESTATIS – Statistisches Bundesamt

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bevoelkerung/Sterbefaelle-Lebenserwartung/Publikationen/Downloads-Sterbefaelle/periodensterbetafel-erlaeuterung-5126203197004.pdf?__blob=publicationFile

[9] Anzahl der Sterbefälle in Deutschland nach Altersgruppe im Jahr 2018. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1013307/umfrage/sterbefaelle-in-deutschland-nach-alter/

[10] Zwei Drittel der Corona-Toten betreffen Altenheime. hessenschau

https://www.hessenschau.de/gesellschaft/zwei-drittel-der-corona-toten-im-november-betreffen-altenheime,corona-altenheim-tote-100.html

[11] Mehr als die Hälfte aller Corona-Toten aus Heimen

https://www.sr.de/sr/home/nachrichten/politik_wirtschaft/coronatote_alten-_und_pflegeheime_100.html

[12] Bis zu 86 Prozent der Corona-Toten in Deutschland kommen aus Pflegeheimen

https://www.bz-berlin.de/deutschland/bis-zu-86-prozent-der-corona-toten-in-deutschland-kommen-aus-pflegeheimen

[13] Fast 90 Prozent der Corona-Toten aus Heimen

https://www.n-tv.de/panorama/Fast-90-Prozent-der-Corona-Toten-aus-Heimen-article22245741.htmlr

[14] Fast zwei Drittel sterben im Heim

https://taz.de/Coronatote-in-Berlin/!5747843/

[15] Nach Krisengipfel: Virologe mit scharfer Corona-Kritik an Merkel und Söder – „Weit weg von Realität“

https://www.merkur.de/lokales/muenchen/lockdown-corona-bayern-virologe-corona-strategie-merkel-soeder-krise-gipfel-zr-90175293.html

[16] Corona-Lockdown bis Sommer? Just der Wirtschaftsminister schließt nichts aus

https://www.merkur.de/politik/coronavirus-lockdown-verlaengerung-peter-altmaier-deutschland-mutation-cdu-variante-sommer-90186104.html

[17] Scharfe Kritik an Corona-Politik und Experten – „Andere Sichtweisen offenbar unerwünscht“

https://www.merkur.de/politik/corona-deutschland-gipfel-merkel-laender-massnahmen-pandemie-kritik-experten-wissenschaftler-auswahl-90174423.html

[18] Das „Vorsorgeprinzip“ der Kanzlerin in der Pandemie ist einseitig

https://www.handelsblatt.com/meinung/kommentare/kommentar-das-vorsorgeprinzip-der-kanzlerin-in-der-pandemie-ist-einseitig-/26833548.html

[19] Das Coronavirus: Harmlos? Bedrohlich? Tödlich?

https://www.linkedin.com/pulse/das-coronavirus-harmlos-bedrohlich-t%C3%B6dlich-hieronymus-fischer

[20] Aktuelles zu Corona

https://www.linkedin.com/pulse/aktuelles-zu-corona-hieronymus-fischer/

Wie verlässlich sind Corona-Tests?

Der Fall des vor einigen Monaten fälschlicherweise positiv auf Corona getesteten Serge Gnabry vom FC Bayern hat auch einer breiteren Öffentlichkeit deutlich gemacht, dass die (PCR-) Corona-Tests mitnichten so zuverlässig sind, wie das vielfach angenommen und auch von Politikern und Medizinern gerne verbreitet wird. Selbst bei einer formal zunächst hochverlässlich klingenden Testsensitivität und -spezifität von 98% oder 99% sind die resultierenden Testergebnisse alles andere als sicher. Das hat vor allem mathematische Gründe.

Die resultierende Ungenauigkeit ist keine spezifische Schwäche des PCR-Tests an sich, wobei hier in der Anwendung durchaus noch einige zusätzliche Fallstricke warten, die die Testungenauigkeit noch weiter steigern können. Durch die Aussagen von Medizinern und Sprechern von Laboren, die Tests hätten nur eine Fehlerrate von 1%, wird ein falscher Eindruck erweckt. Wie gesagt, das hat wenig mit Medizin oder gar Virologie zu tun. Die Problematik besteht grundsätzlich bei jedem Test gegebener Sensitivität und Spezifität, z.B. auch dann, wenn Schrauben auf Passgenauigkeit überprüft werden.

Nehmen wir ein Beispiel: Testsensitivität 99%, Testspezifität 99%. Das klingt nach fast absoluter Sicherheit. Der Laie meint, damit seien 99% aller positiven Testergebnisse verlässlich und nur 1% falsch. Dem ist leider nicht so. Tatsächlich könnten hier bis zu 50% aller Positiv-Fälle in Wahrheit negativ sein.

Bevor wir dies aufklären, sollen noch die beiden Fachbegriffe kurz erläutert werden.

Sensitivität und Spezifität

Testsensitivität 100% bedeutet Folgendes: Wenn eine Person Virusträger ist, dann zeigt dies der Test mit Sicherheit an. Jeder Infizierte wird demnach als solcher erkannt. Bei einer Testsensitivität von p wird das Virus durch den Test entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit p gefunden.

Testspezifität 100% bedeutet Folgendes: Wenn eine Person kein Virusträger ist, dann wird dies vom Test mit Sicherheit erkannt. Jeder Nicht-Infizierte wird demnach eindeutig als gesund identifiziert. Bei einer Testspezifität von q wird die Abwesenheit des Virus vom Test entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit q erkannt.

Ein simples Beispiel

Um zu verstehen, wie es trotz der hohen Verlässlichkeit des Testverfahrens zu dieser relativ großen Ungenauigkeit bezüglich der positiven Testergebnisse kommt, betrachten wir ein konkret nachvollziehbares Beispielszenario, in dem die betreffenden Wahrscheinlichkeiten unmittelbar auf der Hand liegen.

Nehmen wir einige Blätter kariertes Papier und schneiden davon 101 quadratische Zettel mit je 5 cm Seitenlänge heraus. Auf jedem der kleinen Papierbögen haben wir nun 10×10 = 100 kleine Quadrate á 5 mm Seitenlänge. Nun nehmen wir die Zettel und färben jeweils genau eines der kleinen Quadrate schwarz ein. Auf dem ersten Zettel das erste Quadrat oben links, auf dem zweiten Zettel das zweite Quadrat in der Reihe, usw., so dass am Ende auf jedem Zettel ein anderes Quadrat eingefärbt ist. Nachdem wir 100 Zettel derart bearbeitet haben, färben wir den letzten (101-ten) Zettel komplett schwarz. Nun überkleben wir die Zettel mit einer abziehbaren intransparenten Folie, die gleichfalls mit einem 5×5 mm Karomuster bedruckt ist.

Abbildung 1: Das Beispielszenario (s. Text)

Wenn wir nun einen der Zettel 1 – 100 zur Hand nehmen, zufällig eines der 100 darauf bedruckten kleinen Quadrate auswählen und es abziehen, befindet sich darunter entweder ein weißes oder ein schwarzes Quadrat. Nachdem jeder der Zettel genau ein schwarzes Quadrat trägt, ist die Wahrscheinlichkeit, auf ein solches Quadrat zu stoßen 1:100. In 99 von 100 Fällen ist das freigelegte Quadrat weiß. Beim 101-ten Zettel sind alle Quadrate schwarz, demzufolge finden wir dort mit 100%-iger Wahrscheinlichkeit ein schwarzes Quadrat.

Die Analogie zum Corona-Testszenario

Worin besteht nun der Querbezug zum Testszenario bei einem Corona-Test? Ganz einfach: Der eine durchgehend schwarz eingefärbte Zettel entspricht einem mit Corona infizierten Probanden. Ihn zu finden ist die Aufgabe des Tests. Der Test ist so konstruiert, dass wir diesen Zettel mit 100%-iger Sicherheit finden. Demzufolge haben wir hier eine Testsensitivität von 100%.

Die übrigen 100 weißen Zettel mit nur einem schwarz eingefärbten Quadrat stehen für die große Mehrheit der nicht infizierten Probanden. Wenn wir einen solchen Zettel nehmen und ein beliebiges Quadrat freilegen, sehen wir dort mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit ein weißes Quadrat. In diesem Wert spiegelt sich die Testspezifität wider: Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der entsprechende Zettel nicht gänzlich schwarz ist bzw., dass ein Proband nicht infiziert ist.

Nun stellen wir uns der Aufgabe, unter den 101 Zetteln den komplett schwarz eingefärbten zu finden. Dazu dürfen wir ein beliebiges quadratisches Feld aussuchen, die Zettel nacheinander zur Hand nehmen und das betreffende Feld freilegen. Was passiert?

Die Ungenauigkeit solcher Tests ist kein spezifisches Corona-Problem

Genau einer der 100 weißen Zettel hat an der freigelegten Stelle ein schwarzes Quadrat, die 99 anderen zeigen ein weißes Quadrat. Der eine schwarze Zettel (den wir aber nicht als solchen erkennen) zeigt natürlich ebenfalls ein schwarzes Quadrat. Wir haben also 2 Zettel mit schwarzen Quadraten und können nicht entscheiden, welches davon der gänzlich schwarze Zettel ist. Die Falsch-Positiv-Rate beträgt somit 50%. Genau die gleiche Situation haben wir bei einem Corona-Test mit einer 100%-igen Testsensitivität und einer 99%-igen Testspezifität unter der Annahme von 1% tatsächlich positiven Probanden.

Nun skalieren wir das beschriebene Szenario auf die Situation mit einer Million weißen und schwarzen Zetteln. Dazu multiplizieren wir einfach mit dem Faktor 10.000. Wir finden sodann 20.000 Zettel mit einem schwarzen Quadrat. Da tatsächlich nur 10.000 Zettel wirklich schwarz sind, haben wir somit weitere 10.000 die fälschlicherweise als schwarz angesehen werden.

Übertragen auf das Testszenario beim Corona-Test mit 100%-iger Testsensitivität und 99%-iger Testspezifität entspricht dies 20.000 positiv Getesteten bei nur 10.000 tatsächlichen Virenträgern und damit einer Falsch-Positiv-Rate von 50%. Die realen Verhältnisse dürften nicht allzu weit davon entfernt liegen.

Konkrete Zahlenwerte

Wenn wir davon ausgehen, dass 2% der Bevölkerung Träger des Coronavirus sind, dann liegt ein solcher Test (mit Testsensitivität = 99% und Testspezifität = 99%) im Hinblick auf die Gesamtbevölkerung in 33% aller Positivfälle falsch. D.h., jeder dritte positiv Getestete ist in Wahrheit nicht infiziert. Und wenn die Testspezifität „nur“ 98% beträgt, was ja immer noch sehr vertrauenswürdig klingt, dann ist sogar nur jeder zweite Positivfall tatsächlich ein Virusträger.

Der Fall Gnabry ist also keineswegs die große Ausnahme. Er zeigt auch, ein singulärer Positivtest ist allenfalls ein Indikator für eine mögliche Infektion und ruft förmlich nach einem Zweittest.

Was bringen Antigen (Schnell-) Tests?

Für sehr gute Antigentests werden eine Testsensitivität von 95% und eine Testspezifität von 97% angegeben. Unter den gleichen Bedingungen wie oben (also die Annahme, tatsächlich seien 2% der Getesteten Virenträger) resultiert ein solcher Antigentest in einer Falsch-Positivrate von 60% (s. Abb. 2). Weniger gute Antigentests mit einer Testsensitivität von 90% und einer Testspezifität von 90% führen gar zu einer Falsch-Positivrate von 85% und sind damit bezüglich der Positivaussage fast wertlos.

In Abb. 2 sind die Zusammenhänge bei Variation der Testspezifität von 90% bis 100% und Prävalenzen von 1% bis 10% grafisch dargestellt.

Abbildung 2: Resultierende Falsch-Positiv-Rate in Abhängigkeit von der Testspezifität für Prävalenzen von 1%, 2%, 5% und 10%. Die Testsensitivität wurde hier zu 100% angenommen. Bei einer niedrigeren Sensitivität verschieben sich die Kurven für die Falsch-Positiv-Rate noch etwas nach oben, allerdings ist dieser Effekt bei Sensitivitäten über 90% noch relativ klein.

Was die Beispiele ebenfalls enthüllen: Wahllose Tests sind wenig sinnvoll und richten wahrscheinlich mehr Schaden an, als sie Nutzen stiften. Tests mit einer Spezifität von 97% und darunter sind allenfalls in Bezug auf Risikogruppen mit einer hohen Prävalenz (höhere Wahrscheinlichkeit, tatsächlich infiziert zu sein, z.B. > 10% bis 30%) von Nutzen, denn nur in diesem Fall sinkt die Wahrscheinlichkeit für ein Falsch-Positives Testergebnis unter 20%.

Immerhin ist die Negativaussage (Proband ist nicht infiziert) in all diesen Beispielen mit hoher Wahrscheinlichkeit (95% bis über 99%) zutreffend. Wer also ein negatives Testergebnis bekommt, der darf darauf vertrauen. Natürlich vorausgesetzt, der Test wurde medizinisch und labortechnisch adäquat durchgeführt.

Faustregel

Man kann sich den prinzipiellen Zusammenhang leicht merken.

  • Wenn die relative Häufigkeit für das Auftreten eines bestimmten gesuchten Merkmals (also die Prävalenz) in einer vorgegebenen Gesamtheit p Prozent beträgt, dann hat ein Testverfahren, für das gilt Sensitivität = Spezifität = 100 – p Prozent eine Falsch-Positiv-Rate von exakt 50%.

Beispiel 1: Prävalenz 1%, Sensitivität = Spezifität = 99%, Falsch-Positiv-Rate = 50%.

Beispiel 2: Prävalenz 5%, Sensitivität = Spezifität = 95%, Falsch-Positiv-Rate = 50%.

Oft ist die Sensitivität nahe 100%. In diesem Falle kann man die Falsch-Positiv-Rate leicht anhand der folgenden Faustregel abschätzen.

  • Wenn die relative Häufigkeit für das Auftreten eines bestimmten gesuchten Merkmals (also die Prävalenz) in einer vorgegebenen Gesamtheit p Prozent beträgt, dann hat ein Testverfahren der Genauigkeit 100 – p Prozent (das ist die Testspezifität) eine Falsch-Positiv-Rate von ca. 50%. Für Prävalenzen bis zu 10% ist das eine sehr gute Näherung. Die Sensitivität hat nur einen geringen Einfluss.

Beispiel 3: Prävalenz 2%, Spezifität = 98%, Falsch-Positiv-Rate = 49,5%, Näherungsfehler 0,5%.

Beispiel 4: Prävalenz 10%, Sensitivität = 100%, Spezifität = 90%, Falsch-Positiv-Rate = 47,4%, Näherungsfehler 2,6%.