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Corona-Statistik 2020/2021

Eine kritische Bilanz

Das Jahr 2021 ist vorbei und die Corona-Zahlen liegen nun vor. Zu Beginn des Jahres 2021 konnte man erwarten, dass sich das schlimme Corona-Jahr 2020 nicht wiederholen würde, schließlich standen mehrere Impfstoffe zur Verfügung. Allenfalls konnte man es für eine Frage der Organisation halten, bis hinreichend viele Menschen geimpft und die Pandemie damit mehr oder weniger zu Ende sei.

Heute sind wir alle klüger: Die Zahlen für 2021 sind dramatischer als die für 2020 – trotz der Impfung. Fast dreimal so viele Infizierte und immerhin 43% mehr Tote. Mittlerweile wissen wir auch, dass zweimal Impfen nicht reicht. Absehbar ist auch nach der dritten Spritze keine wirkliche Immunität gegeben. Die Impfung schützt zwar oft vor schweren Krankheitsverläufen und Tod, aber wenig vor einer Infektion und vor dem Weitertragen des Virus. Auch Geimpfte sind also nach wie vor Teil der Infektionsdynamik. Zudem ist bekannt, dass der Schutz der Impfung bereits binnen 3 – 4 Monaten nachlässt und der Impfstoff nach 6 Monaten und mehr, je nach Alter, nur noch eine schwache Wirkung entfaltet. Die daraus folgende Problematik wird im Text diskutiert und anhand vieler Grafiken visualisiert.

Konkret werden im Artikel die Zahlen zu den Infektionen und den Todesfällen für 2020 und 2021 insgesamt und getrennt nach Altersgruppen nebeneinander gestellt und miteinander verglichen. Ferner werden die Infektionsrisiken, die Letalitätswerte (Sterblichkeit nach Corona-Infektion) und die Mortalität (Corona-Sterblichkeit in der Bevölkerung) altersgruppenspezifisch bestimmt und zueinander in Relation gesetzt.

Aus der tiefergehendenden Untersuchung zu den Zahlen für 2021 werden Schlüsse zum altersabhängigen Risiko gezogen: Letalität und Mortalität steigen exponentiell mit dem Lebensalter. Die Sterblichkeit nach einer Infektion (Letalität) verzehnfacht sich pro 18 Lebensjahren. Die Mortalität verzehnfacht sich pro 22 Lebensjahren. Um das richtig einzuordnen muss man erwähnen, dass das absolute Corona-Sterberisiko von 18-Jährigen bei etwa 0,0005% liegt, das von 84-Jährigen bei etwa 0,5%.

Auf Basis von Überlegungen zur Ableitung der unterschiedlichen Sterberisiken für Geimpfte und Ungeimpfte aus den verfügbaren Felddaten, erfolgt im letzten Teil eine Was-Wäre-Wenn-Analyse. Basierend auf den realen Daten aus 2021 werden dabei hypothetische Szenarien mit und ohne Impfung durchgerechnet und miteinander verglichen. Der Schluss gehört der Betrachtung von diversen Alternativszenarien mit unterschiedlichen altersgruppenspezifischen Impfquoten. Dafür werden die unter den getroffenen Annahmen wahrscheinlichen Fallzahlen bestimmt, auch im Hinblick auf Geimpfte und Ungeimpfte.

Infizierte und Todesfälle – Vergleich 2020/2021

Die nachfolgend präsentierten Corona-Grafiken und Analysen basieren sämtlich auf dem vom Robert-Koch-Institut (RKI) veröffentlichten Zahlenmaterial. Die entsprechenden Referenzen sind  im Quellenverzeichnis aufgeführt.

Die Corona-Impfquoten, die Inzidenzen bezüglich der Infizierten, der Hospitalisierten und der Corona-Todesfälle werden vom RKI in hoher zeitlicher Auflösung publiziert. Man muss die Erfassungssystematik nicht in jedem Detail für gelungen und zweckmäßig halten, in Summe ist das RKI dennoch die einzige einigermaßen verlässliche Corona-Datenquelle. Es gibt kleinere Unschärfen, z.B. bezüglich der Impfquoten, und es gibt eklatante Mängel, z.B. hinsichtlich des Erfassung des Impfstatus der Infizierten, der Hospitalisierten und der Todesfälle. Immerhin werden seit August 2021 für die symptomatischen Fälle die Infektionszahlen getrennt nach Geimpften und Ungeimpften erfasst. Weitere für die Analyse wichtige Einflussgrößen wie die verstrichene Zeitspanne seit der Impfung oder das effektive Ansteckungsrisiko aufgrund des Kontaktprofils werden nicht dokumentiert und können daher auch nicht ausgewertet werden.

Die Inzidenzen der Corona-Infektionen und der Fälle der „an oder mit“ Corona Verstorbenen nehmen wir einfach so, wie sie vom RKI veröffentlich wurden, auch wenn man bezüglich der Höhe der Zahlen berechtigte Zweifel ins Feld führen kann. Tatsächlich könnten die Infektionszahlen deutlich höher gelegen haben, weil viele Infektionen unerkannt geblieben sind. Die Zusammensetzung der Testkohorte spiegelt lediglich rechtliche Vorgaben wider. Nötig wäre aber eine Orientierung an wissenschaftlichen Grundsätzen. In letzter Konsequenz sind daher die veröffentlichten Inzidenzen nur grobe Schätzungen.

Umgekehrt könnten viele Todesfälle fälschlicherweise Corona zugerechnet worden sein, weil die Todeskausalität in vielen Fällen nicht näher untersucht worden ist. In letzter Konsequenz könnte die Infektiosität in Wahrheit höher und die Letalität (Sterblichkeit bei einer Corona-Infektion) tatsächlich kleiner sein, als sich dies aus den Zahlen des RKI ergibt. Das ist hier indessen nicht das Thema: Wir stützen uns auf die Daten des RKI, nichts sonst. Alles andere wäre Spekulation.

Corona-Infizierte und -Todesfälle 2020 und 2021 im direkten Vergleich.

Abbildung 1: Corona-Infizierte und -Todesfälle 2020 und 2021 im direkten Vergleich. Man erkennt, dass sich die Infektionszahlen in 2021 gegenüber 2020 in etwa verdreifacht haben. Die Anzahl der Todesfälle ist um ca. 43 % gestiegen. Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

In Abb. 1 fällt zunächst die hohe Zahl der Infizierten in 2021 auf. Gegenüber 2020 (mit 10 Monaten Pandemiedauer) haben wir in 2021 eine volles Jahr. Das kann den Anstieg sicher nicht erklären. Offenbar liegt ein Grund eher in der höheren Infektiosität der Deltavariante des Virus. Die Anfang 2021 angelaufene Impfkampagne hatte auf die Anzahl der Infektionen offenbar keinen dämpfenden Einfluss. Mit Blick die Todesfallzahlen registriert man den vergleichsweise deutlich geringeren Anstieg. Ist das womöglich ein Erfolg der Impfung? – Teilweise sicher ja, der Effekt ist aber wohl deutlich geringer, als dies der erste Anschein vermuten lässt. Näheres dazu mit einer genauen Analyse weiter unten.

Infizierte und Todesfälle nach Altersgruppen – Vergleich 2020/2021

Corona-Infizierte 2020 und 2021 nach Altersgruppen im direkten Vergleich.

Abbildung 2: Corona-Infizierte 2020 und 2021 nach Altersgruppen im direkten Vergleich. Wie man sieht, sind in 2021 insbesondere die Infektionszahlen bei den jüngeren Altersgruppen erheblich gestiegen. Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Corona-Todesfälle 2020 und 2021 nach Altersgruppen im direkten Vergleich.

Abbildung 3: Corona-Todesfälle 2020 und 2021 nach Altersgruppen im direkten Vergleich. Die absoluten Fallzahlen zeigen einen Anstieg insbesondere bei den Über-50-Jährigen. Das größere relative Wachstum verzeichnet man bei den Jüngeren. In der Gesamtschau sind aber dennoch die Älteren mit großem Abstand dominierend. Allein der Zuwachs in 2021 ist bei den Älteren (60+) viermal höher als die Gesamtanzahl der Toten bei den Jüngeren (0-59). Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Beim Vergleich der beiden Grafiken nach Abb. 2 und 3 fällt auf, dass die Infektionszahlen weit überwiegend von den Altersgruppen unter 60 getrieben werden, die Todesfälle passieren aber nach wie vor zum größten Teil in der Altersgruppe ab 60. Das werden wir weiter unten genauer beleuchten.

Am vorstehenden Befund hat sich auch durch die Verfügbarkeit von Impfstoffen und der seit Januar 2021 laufenden Impfkampagne offenbar nichts oder nur wenig geändert. Jedenfalls ist der Effekt hier nicht sichtbar. Dabei waren doch gerade die Über-80-Jährigen schon früh im Jahr mit hoher Priorität und in großer Zahl geimpft worden.

Die folgende Abbildung mit zusammengefassten Altersgruppen untermauert dieses vorläufige Resümee in aller Deutlichkeit.

Abbildung 4: Corona-Infizierte und -Todesfälle 2020 und 2021 in ausgewählten Altersgruppen im direkten Vergleich. Bei der Betrachtung der aggregierten Altersgruppen sieht man nochmals deutlicher den starken Anstieg der Infektionen bei den Jüngeren. Tatsächlich ist die Anzahl der Infektionen in der Altersgruppe 0-59 gegenüber 2020 um über 300 % gewachsen. In der Altersgruppe 60+ haben sie sich dagegen nur um gut 100% erhöht. Zugleich sind auch die Todesfallzahlen weit weniger gestiegen. Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Wenn man den Zahlen etwas Positives abgewinnen will, dann kann man an dieser Stelle immerhin darauf hinweisen, dass die Todesfallzahlen (+40%) in der Altersgruppe 60+ weniger gewachsen sind als die Infektionszahlen (100%). Das darf man sicher zum Teil auch der Impfung zurechnen. Wie groß der Effekt tatsächlich ist, werden wir weiter unten genauer untersuchen. In der Altersgruppe 20-59 (mit einer im Jahresmittel geringen Impfquote) sind die Todesfallzahlen (+260%) hingegen fast genau so schnell gestiegen wie die Infektionszahlen (+300%).

Infizierte und Todesfälle nach Altersgruppen – Analyse für 2021

Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach Altersgruppen.

Abbildung 5: Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach Altersgruppen. In der linken Säule sind die Infizierten nach ihrem jeweiligen Anteil farbcodiert eingetragen. Die rechte Säule weist entsprechend die altersgruppenspezifischen Anteile unter den Todesfallzahlen aus. Man erkennt, dass die Infektionen überwiegend bei den Jüngeren auftreten, die Todesfälle indes bei den Älteren. Die gelb-braunen Farbtöne in der linken Säule stehen für die Altersgruppe 0-39 mit einem Anteil an den Infektionen von über 55%. In der rechten Säule kann man diese Farbtöne kaum ausmachen. Der Anteil an den Todesfallzahlen liegt bei etwa 0,7%. Umgekehrt am oberen Ende der Säule: 8,4% der Infizierten werden der Altersgruppe 70+ zugerechnet. Zugleich stellt diese Gruppe fast 83% aller Corona-Toten. Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Auch wenn man mit Blick auf Abb. 5 dem ersten Anschein nach denkt, es sei anders: Die Farbcodierung ist in beiden Säulen gleich. Die extrem asymmetrische Verteilung zwischen Infektionszahlen und Todesfällen über die Altersgruppen hinweg wird mittels der Grafik klar vor Augen geführt. Das wirft ein denkbar grelles Licht auf die Corona-Maßnahmen. Abgesehen von der prioritären Impfung der Ältesten setzen sie überwiegend an der linken Säule im gelb-braunen und im grünen Bereich an (Altersgruppen 0-39 und 50-69). Der Effekt soll sich aber in der rechten Säule zeigen, wo diese Gruppen zusammen weniger als 17% ausmachen.

Das ist in etwa so, als würde man nach der Brandmeldung im Seniorenstift die Feuerwehr zur Grundschule schicken.

Es zeigt sich hier überdeutlich, dass viele der getroffenen Maßnahmen schon deswegen nicht wirken können, weil sie am falschen Ende ansetzen. Vielleich noch etwas klarer kommt das mittels der nachfolgenden beiden Abbildungen zum Ausdruck.

In der ersten (Abb. 6) sind die Altersgruppen teilweise zusammengefasst, um die zentrale Botschaft noch stärker hervortreten zu lassen. In der zweiten (Abb. 7) wurde eine andere Darstellung gewählt.

Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach ausgewählten Altersgruppen.

Abbildung 6: Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach ausgewählten Altersgruppen. In der linken Säule sind die Infizierten nach ihrem jeweiligen Anteil farbcodiert eingetragen. Die rechte Säule weist entsprechend die altersgruppenspezifischen Anteile unter den Todesfallzahlen aus. Man erkennt, dass die Infektionen überwiegend bei den Jüngeren auftreten, die Todesfälle indes bei den Älteren. Die Altersgruppe 0-19 stellt 25% der Infizierten, aber nur 0,1% der Todesfälle. Dem fast 84%-igen Anteil der den Altersgruppen 0-19 und 20-59  zugerechneten Infektionen stehen 6,5% der Todesfälle entgegen. Dagegen treten 93,5% der Todesfälle in den Altersgruppen 60-79 und 80+ auf, die ihrerseits nur etwa 16% der Infektionsfälle zu verantworten haben. Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach Altersgruppen.

Abbildung 7: Relative Anteile der Corona-Infizierten und -Todesfälle 2021 nach Altersgruppen. Die gelben Säulen zeigen die relativen Infektionshäufigkeiten, die grauen die Todesfälle. Kurz gefasst sieht man auch hier, dass die Infektionen und die Todesfälle in unterschiedlichen Altersgruppen auftreten. Wo nur noch ein Bruchteil der Infektionen verzeichnet wird, sind die Todesfallzahlen am höchsten. Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Die Unwirksamkeit vieler politisch verfügter Corona-Maßnahmen kann nach dieser Betrachtung kaum noch verwundern: Sie gehen schlichtweg am Ziel vorbei.

Um den obigen Feuerwehrvergleich nochmals aufzunehmen: Natürlich ist die potentielle Brandgefahr bei der Grundschule endgültig gebannt, die Feuerwehr ist ja schon vor Ort. Das kann sich man als Erfolg schönreden. Aber: Der Unterricht ist gestört und die Schüler leiden. Zugleich steht das Seniorenstift lichterloh in Flammen.

Überblick zu den kritischen Größen Infektionsrisiko, Letalität und Mortalität

Grundsätzlich gilt zwischen den drei Faktoren Infektionsrisiko, Letalität und Mortalität der folgende Zusammenhang:

Mortalität Infektionsrisiko * Letalität

Die Begriffe selbst werden in [9] Das Coronavirus: Harmlos? Bedrohlich? Tödlich? – sumymus blog näher erläutert. Hier eine kurze Zusammenfassung:

Die Mortalität ist der relative Anteil der an einer bestimmten Krankheit Verstorbenen bezogen auf die Gesamtheit der Bevölkerung oder bezogen auf eine bestimmte Personengruppe (z.B. Menschen eines gegebenen Alters oder die Bevölkerung in einer Region).

Die Letalität ist der relative Anteil der Verstorbenen bezogen auf die Gesamtheit der Infizierten oder die Gesamtheit der Infizierten einer bestimmten Personengruppe.

Das Infektionsrisiko beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine (Coronavirus-)Infektion. Es ist abhängig von der Eigenschaften des Virus, von den Umweltbedingungen, von individuellen Faktoren sowie von Maßnahmen zur Kontrolle der Verbreitung des Virus.

Die Letalität ist ein Maß für die Gefährlichkeit des Virus bzw. der Infektion bei gegebener Leistungsfähigkeit des Gesundheitssystems und gegebenem Gesundheitszustand des betreffenden Personenkreises sowie ggf. auch der Impfung. Dagegen misst die Mortalität darüber hinaus das Infektions- bzw. Erkrankungsrisiko. In Bezug auf Corona steckt in der Maßzahl der Mortalität somit auch die Wirksamkeit von Schutzmaßnahmen.

Bei 100%-iger Wirksamkeit der Schutzmaßnahmen ist das Infektionsrisiko = 0 und somit die spezifische Mortalität ebenfalls 0. Ohne Schutzmaßnahmen oder mit wenig effektiven Schutzmaßnahmen liegt das Infektionsrisiko in Abhängigkeit von individuellen Faktoren (z.B. Kontakthäufigkeit, Kontaktdauer, Kontaktintensität) irgendwo zwischen 0 und 100%. Im Extremfall, wenn alle Personen der relevanten Bezugsgruppe infiziert sind, ist die Mortalität gleich der Letalität.

Letalität nach Altersgruppen – Vergleich 2020/2021

Covid-19-Letalität (Sterblichkeitsrate nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 nach Altersgruppen im Vergleich.

Abbildung 8: Covid-19-Letalität (Sterblichkeitsrate nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 nach Altersgruppen im Vergleich. Für 2021 ist jeweils der Letalitätswert explizit eingetragen. Man sieht, dass die 2021er-Säulen stets etwas kürzer sind als die 2020er. Stark gesunken ist die mittlere Sterblichkeit über alle Altersgruppen. Sie hat sich von 2,47% in 2020 auf 1,16% in 2021 mehr als halbiert. Dieser positive Effekt ist indes nur zu einem geringen Teil auf die Impfung zurückzuführen (s. Text). Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Wie man Abb. 8 entnimmt, ist die Sterblichkeit nach einer Infektion offensichtlich in allen Altersgruppen zurückgegangen, wenn auch nur geringfügig. Für die Altersgruppen ab 60 liegt die Letalität in 2021 aber immer noch höher als 1%, zum Teil drastisch höher. Die anderen Altersgruppen, also alle unter 60, weisen hingegen viel kleinere Sterblichkeitsraten p.a. auf. Unter-40-Jährige liegen bei max. 0,03%. Im Diagramm sind diese Säulen skalierungsbedingt daher nicht mehr sichtbar.

Der Grund für den Rückgang der durchschnittlichen Sterblichkeit (nach einer Corona-Infektion) über alle Altersgruppen in 2021 liegt i. W. in den hohen Infektionszahlen bei den Jüngeren, wie sie oben dokumentiert wurden. Sie sind wenig von schweren Verläufen und Tod betroffen und tragen daher kaum zu den Todesfällen bei. Es ist also im Wesentlichen ein statistischer Effekt. Um das an einem Beispiel plausibel zu machen: Wenn sich die Infektionszahlen in der Altersgruppe 0-39 verdoppeln, dann hat dies auf die Todesfallzahlen keinen nennenswerten Einfluss. Allenfalls werden die Beträge in Summe um einige 100 Fälle steigen. Prozentual würde das weniger als ein Prozent ausmachen. Zugleich würden aber die Infektionszahlen insgesamt um mehr als 50% steigen. Im Ergebnis würde daher die Sterblichkeitsrate p.a. nach Corona-Infektion auf etwa Zweidrittel (1/1,5) des aktuellen Wertes sinken (also -33%). Und dies völlig ohne irgendeine steuernde Maßnahme, wie z.B. eine Impfpflicht. Genau diesen Effekt kann man in 2021 im Vergleich zu 2020 beobachten, wie wir oben gesehen haben (s. Abb. 3 und 4).

Covid-19-Letalität (Sterblichkeit nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 in ausgewählten Altersgruppen im Vergleic

Abbildung 9: Covid-19-Letalität (Sterblichkeit nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 in ausgewählten Altersgruppen im Vergleich. In der Relation erkennt man in allen Altersgruppen den Rückgang der Sterblichkeit nach einer Infektion. Die mittlere Sterblichkeit über alle Altersgruppen. hat sich von 2,47% in 2020 auf 1,16% in 2021 mehr als halbiert. Die Abnahme der Sterblichkeit bei den Altersgruppen 60-79 und 80+ ist mit großer Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis der prioritären Impfung seit Anfang 2021. Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Die Verminderung der Letalitätswerte gegenüber 2020 ist erwähnenswert, vor allem in der Altersgruppe 60-79, sie bleibt aber letztlich doch schwach ausgeprägt. Genau wie in der Altersgruppe 80+ dürfte dieser Rückgang auf die Wirkung der Impfung zurückzuführen sein. Dazu mehr weiter unten bei der Untersuchung der Sterblichkeitsraten für Geimpfte und Ungeimpfte. Die Letalität in den Altersgruppen 60-79 und 80+ bleibt aber dennoch auf hohem Niveau. Auffällig sind die extremen Unterschiede in den Letalitätsraten beim Vergleich zwischen den Älteren und den Jüngeren. Diesbezüglich hat sich zwischen 2020 und 2021 nahezu nichts geändert. Die Säulen für die Altersgruppen 0-19 (0,004%, also ein Fall pro 25.000 Infizierten) und 20-59 (0,013%, also 1 Fall pro 770 Infizierten) sind im Diagramm nicht bzw. gerade noch ansatzweise sichtbar.

Kurvenverlauf der Covid-19-Letalität (Sterblichkeit nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 in Abhängigkeit vom Alter.

Abbildung 10: Kurvenverlauf der Covid-19-Letalität (Sterblichkeit nach einer Corona-Infektion) für 2020 und 2021 in Abhängigkeit vom Alter. Um die großen Unterschiede in den Sterblichkeitsraten zu veranschaulichen, wurde in der Darstellung eine logarithmische Skalierung gewählt. Im Lebensalter bis etwa 25 bewegen wir uns hier bei Letalitätswerten von 0,01% und darunter. Hingegen liegen die Sterblichkeitsraten für Lebensalter oberhalb 80 bei 10% und darüber. In der Relation sind das in beiden Jahren etwa 1000-fach höhere Werte. Die Kurve für 2021 verläuft im oberen Bereich geringfügig flacher, was vermutlich auf die Wirkung der Impfkampagne zurückzuführen ist. Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Der Vergleich der beiden Kurvenverläufe in Abb. 10 zeigt nochmals deutlich, dass sich in 2021 unter dem Gesichtspunkt der Gesamtsterblichkeit bei vorliegender Infektion gegenüber 2020 kaum etwas geändert hat. Letztlich bleiben die Unterschiede jedenfalls gering. Die noch am meisten ins Auge fallenden Abweichungen bei den Unter-30-Jährigen sind in der Gesamtschau belanglos, weil wir hier von sehr niedrigen absoluten Risikoraten um 0,02% und darunter sprechen. Tatsächlich größer (max. 2%-3%) sind die Differenzen bei höherem Alter etwa zwischen 60 und 90. Der ab einem Alter von 60 gegenüber der 2020er Kurve partiell flachere Verlauf der Kurve für 2021 steht für einen geringeren Anstieg der Sterblichkeit in diesem Altersbereich. Auch dies ein Indiz für den positiven Effekt der Impfung. Dabei liegt es auf der Hand: Die Impfung kann vor allem dort einen merklichen Effekt nach sich ziehen, wo das Risiko höher ist. Bei den Jüngeren mit den sehr niedrigen absoluten Risiken bleibt der Einfluss in der Gesamtschau vernachlässigbar.

Mortalität nach Altersgruppen – Vergleich 2020/2021

Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 nach Altersgruppen im Vergleich.

Abbildung 11: Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 nach Altersgruppen im Vergleich. Für 2021 ist jeweils der Mortalitätswert explizit eingetragen. Man sieht, dass die 2021er-Säulen stets etwas höher sind als die 2020er. Die Sterblichkeit aufgrund von Corona ist daher in 2021 gegenüber 2020 angestiegen. Die Größe des Effekts erkennt man anhand der mittleren Sterblichkeit über alle Altersgruppen: Sie hat sich von 0,053% in 2020 auf 0,076% in 2021 in der Relation um 43% erhöht. Diese ungünstige Entwicklung ist auf die stark angewachsenen Infektionszahlen zurückzuführen und spiegelt die Zunahme bei den Todesfallzahlen wider. Durch die im Jahresverlauf ohnehin noch nicht voll wirksame Impfung konnte der Anstieg nicht kompensiert werden (s. Text). Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Wie man Abb. 11 entnimmt, ist die Corona-Sterblichkeit insbesondere in den Altersgruppen ab 50 gewachsen, teilweise durchaus signifikant. Für die Altersgruppen 80-89 liegt die Mortalität in 2021 bei 0,52%, in der Altersgruppe 90+ gar bei 1,42%. Damit hat sich die Sterblichkeit in der Spitze um 0,1% bis 0,2% gegenüber dem Wert für 2020 erhöht. In absoluten Zahlen macht das allein bezüglich der Altersgruppen 80-89 und 90+ fast 7.000 Sterbefälle mehr aus. In den Altersgruppen 40-49 bis hinunter zu 0-9 verbleibt die Mortalität hingegen im Wertebereich zwischen 0,008% und 0,0004% (also 1 Fall pro 12.500 in der Altersgruppe 40-49 bzw. 1 Fall pro 250.000 in der Altersgruppe 0-19). Im Diagramm sind diese Säulen skalierungsbedingt nicht mehr sichtbar.

Die Erhöhung der durchschnittlichen Sterblichkeit über alle Altersgruppen in 2021 ist also i. W. auf die nochmals gestiegenen Todesfallzahlen bei den Älteren zurückzuführen. Die Altersgruppen ab 60 und insbesondere ab 80 tragen zum weit überwiegenden Teil zu den Todesfällen bei. Auch die prioritäre Impfung der Älteren und die erzielte hohe Impfquote in dieser Altersgruppe konnte den beobachteten Anstieg der Mortalität nicht verhindern. Durch die Impfung wurde der Zuwachs zwar abgemildert, dies aber nicht so durchgreifend, wie man das zu Beginn des Jahres wohl erhofft hatte. Ein Grund dafür dürfte die relativ schnell nachlassende Schutzwirkung der Impfung sein. Dies spricht nicht grundsätzlich gegen die Impfung, es relativiert aber den zu erwartenden Effekt.

Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 in ausgewählten Altersgruppen im Vergleich.

Abbildung 12: Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 in ausgewählten Altersgruppen im Vergleich. Für 2021 ist jeweils der Mortalitätswert explizit eingetragen. Die 2021er-Säulen sind stets etwas höher sind als die 2020er. Die Corona-Sterblichkeit ist daher in 2021 gegenüber 2020 angestiegen. Die größten relativen Zuwächse sind bei den Jüngeren zu verzeichnen. Im Hinblick auf die Sterblichkeit dominieren indessen die Altersgruppen 60-79 und 80+ mit riesigem Abstand. Das spiegelt die Erhöhung der absoluten Fallzahlen der Toten in 2021 wider (s. a. Abb. 4). Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Der direkte Vergleich der Säulenhöhen in Abb. 12 zeigt in allen Altersgruppen einen Anstieg der Corona-Sterblichkeit p.a.. Die relative Zunahme der Sterblichkeit ist dabei hinsichtlich der Altersgruppen unter 80 am stärksten ausgeprägt, wobei die Gruppen 0-19 und 20-59 aufgrund des absolut gesehen sehr niedrigen Risikos in Summe nicht ins Gewicht fallen. Anders sieht es aus in der Altersgruppe 60-79. Hier liegt der relative Zuwachs bei über 70%, was in absoluter Höhe immerhin eine Zunahme um fast 0,05% bedeutet. Bezüglich der Todesfallzahlen gehen über 8.000 Tote allein auf dieses Konto. Man kann vermuten, dass durch ein schnelleres Voranschreiten Impfung in der Altersgruppe 60-79 ein gewisser Anteil dieser Fälle hätte vermieden werden können (s. dazu die Diskussion zur weiter unten).

Kurvenverlauf der Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 in Abhängigkeit vom Alter.

Abbildung 13: Kurvenverlauf der Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 in Abhängigkeit vom Alter. Um die großen Unterschiede in den Sterblichkeitsraten zu veranschaulichen, wurde in der Darstellung eine logarithmische Skalierung gewählt. Im Lebensalter bis etwa 25 bewegen wir uns hier bei Mortalitätswerten von 0,001% und darunter. Hingegen liegen die Sterblichkeitsraten für Lebensalter oberhalb 90 bei 1% und darüber. In der Relation sind das in beiden Jahren etwa 1000-fach höhere Werte. Im Vergleich zu 2020 verläuft die Kurve für 2021 insgesamt etwas flacher, was z. T. vermutlich auf die Wirkung der Impfkampagne zurückzuführen ist. Daneben haben aber auch die hohen Infektionszahlen bei den Jüngeren einen markanten Einfluss auf den flacheren Kurvenverlauf in 2021. Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Der Vergleich der beiden Kurvenverläufe in Abb. 13 zeigt nochmals in aller Klarheit, dass in 2021 unter dem Gesichtspunkt der Gesamtsterblichkeit gegenüber 2020 kein wirklicher Fortschritt erzielt wurde. Im Gegenteil: Die Mortalität hat sich durchweg erhöht. Als Verbesserung kann man allenfalls den geringeren relativen Anstieg bei den Älteren konstatieren. Zumindest zum Teil dürfte dieses Resultat auf den risikosenkenden Effekt der Impfung zurückzuführen sein. Ohne die Impfung würde die Mortalität in den Altersgruppe 60+ und damit auch insgesamt sicher höher liegen. Im Rahmen der Diskussion zur Letalität von Geimpften und Ungeimpften wird dieses Szenario näher beleuchtet.

Detailanalyse zur Letalität nach Alter

Die obigen Kurvendarstellungen für die Letalität und die Mortalität über das Alter erlauben aufgrund der über weite Altersbereiche nahezu linearen Verläufe einfache Näherungsdarstellungen oder andere polynomiale Approximationen. In Abb. 14 ist der Kurvenverlauf der Letalität zusammen mit zwei Näherungskurven in Abhängigkeit vom Alter dargestellt. Erfreulicherweise kann man die effektive Letalität für einen weiten Bereich der interessierenden Lebensalter mittels einer (in logarithmischer Darstellung linear erscheinenden) Exponentialfunktion darstellen.

Die lineare Näherung bringt die entscheidende Aussage in aller Deutlichkeit zum Ausdruck:

Die Letalität steigt exponentiell mit dem Lebensalter.

Das Wesen der Corona-Pandemie liegt bei Lichte betrachtet nicht darin, dass das Virus sich exponentiell ausbreiten kann. Für die effektive Bekämpfung viel wichtiger ist die Erkenntnis des mit dem Alter exponentiell steigenden Risikos. Übersetzt heißt dies: Maßnahmen zur Eindämmung der Todesfallzahlen müssen dort ansetzen, wo die Fallzahlen auftreten. Also bei den Alten, nicht bei den Jungen oder gar bei Kindern. Der Hebel bei den Ersteren hat eine bis zu 1000-fache Übersetzung (s.u.). Umgekehrt ist bei Letzteren das Kosten-Nutzen-Verhältnis um denselben Faktor kleiner.

Kurvenverlauf der Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2020 und 2021 in Abhängigkeit vom Alter.

Abbildung 14: Kurvenverlauf der Covid-19-Letalität (Sterblichkeit nach Infektion p.a.) für 2021 in Abhängigkeit vom Alter. Man beachte die logarithmische Darstellung. Zusätzlich eingezeichnet sind zwei Näherungskurven: Eine exponentiell-lineare Näherung (gestrichelte Linie in braun) und eine exponentiell-kubische Näherung (strichpunktierte Linie in grün). Rohdaten zur Letalitätskurve: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Ausgedrückt in Prozentwerten lautet die Formel für die Letalität:

Letalität 0,01% * 10^(Alter-25)/18

Nach vorstehender Approximationsformel verzehnfacht sich der Letalitätswert pro 18 Lebensjahren. Verglichen mit einem 24-Jährigen hat demzufolge ein 42-Jähriger ein 10-fach, ein 60-Jähriger ein 100-fach und ein 78-Jähriger ein 1000-fach höheres Corona-Sterberisiko p.a. bei vorliegender Corona-Infektion. Für die richtige Einordnung sollte man die Höhe des absoluten Risikos nicht unerwähnt lassen. Es liegt bei 0,008% p.a. für 24-Jährige und folglich bei etwa 8% p.a. für 78-Jährige.

Dargestellt als Zweierpotenz besagt die lineare Näherung Letalität ~ 2^(Alter/5,41). Daher kann man auch festhalten, dass sich die Corona-Sterblichkeit p.a. bei vorliegender Infektion pro etwa 5,5 Lebensjahren verdoppelt.

Weiteres s. Anhang.

Detailanalyse zur Mortalität nach Alter

Der Kurvenverlauf der Mortalität ist in Abb. 15 zusammen mit einer linearen Näherung in Abhängigkeit vom Alter dargestellt. Den tatsächlichen Verlauf kann man auch in diesem Falle durch eine Exponentialfunktion gut approximieren. Die lineare Näherung bringt das Grundsätzliche im Mortalitätsverlauf in aller Klarheit zum Ausdruck:

Die Mortalität wächst exponentiell mit dem Lebensalter.

Damit wird die obige Aussage zum Wesen der Corona-Pandemie auch im Hinblick auf die Mortalität unterstrichen. Die effektive Bekämpfung und Überwindung der Pandemie erfordert daher zielgenaue Maßnahmen, weil ansonsten die um mehrere Größenordnungen unterschiedlichen Risiken bei Älteren und Jungen in einen Topf geworfen und gleichartig behandelt werden. So erzielt man nur einen Bruchteil der möglichen Wirkung bei gleichzeitig maximalem Kosteneinsatz.

Kurvenverlauf der Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2021 in Abhängigkeit vom Alter.

Abbildung 15: Kurvenverlauf der Covid-19-Mortalität (Sterblichkeit p.a.) für 2021 in Abhängigkeit vom Alter. Man beachte die logarithmische Darstellung. Zusätzlich eingezeichnet ist eine exponentiell-lineare Näherung (gestrichelte Linie in braun). Rohdaten zur Letalitätskurve: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Ausgedrückt in Prozentwerten lautet die Formel für die Mortalität p.a.:

Mortalität 0,001% * 10^(Alter-25)/22

Nach dieser Approximationsformel verzehnfacht sich der Mortalitätswert p.a. pro 22 Lebensjahren. Verglichen mit einem 18-Jährigen hat demzufolge ein 40-Jähriger ein 10-fach, ein 62-Jähriger ein 100-fach und ein 84-Jähriger ein 1000-fach höheres Corona-Sterberisiko p.a.. Um das richtig einzuordnen muss man erwähnen, dass das absolute Risiko von 18-Jährigen bei etwa 0,0005% liegt, das von 84%-Jährigen bei 0,5%.

Dargestellt als Zweierpotenz besagt die lineare Näherung Mortalität ~ 2^(Alter/6,62). Daher kann man konstatieren, dass sich das Corona-Sterberisiko p.a. bei vorliegender Infektion pro etwa 6,5 Lebensjahren verdoppelt.

Weiteres s. Anhang.

Detailanalyse zum Infektionsrisiko nach Alter

Der Kurvenverlauf des Infektionsrisiko ist in Abb. 16 zusammen mit zwei Näherungskurve in Abhängigkeit vom Alter dargestellt. Der Verlauf kann durch eine lineare Näherung nicht gut approximiert werden. Es geht hier eher darum, das grundsätzliche Verhalten im Verlauf des Infektionsrisikos in eine einfache Formel zu fassen. Für weite Altersbereiche ist die Abweichung von tatsächlichen Verlauf nicht allzu groß. Die kubische Approximation ist insbesondere für die interessierenden Lebensalter ab 50 sehr viel präziser, aber natürlich auch unhandlicher. Das Wesentliche kommt bereits durch die lineare Näherung zum Ausdruck.

Kurvenverlauf des Covid-19-Infektionsrisikos (Infektionswahrscheinlichkeit p.a.) für 2021 in Abhängigkeit vom Alter.

Abbildung 16: Kurvenverlauf des Covid-19-Infektionsrisikos (Infektionswahrscheinlichkeit p.a.) für 2021 in Abhängigkeit vom Alter. Man beachte die logarithmische Darstellung. Zusätzlich eingezeichnet sind zwei Näherungskurven: Eine exponentiell-lineare Näherung (gestrichelte Linie in braun) und eine exponentiell-kubische Näherung (strichpunktierte Linie in grün). Rohdaten zur Letalitätskurve: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Ausgedrückt in Prozentwerten lautet die Formel für das Infektionsrisiko p.a.:

Infektionsrisiko 10% * 1/10^(Alter-25)/100

Im Unterschied sowohl zur Letalität wie auch zur Mortalität, die beide mit zunehmendem Alter exponentiell wachsen, sehen wir bezüglich des Infektionsrisikos ein gegenteiliges Verhalten: Je höher das Alter, desto geringer die Infektionswahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit ist zwar nicht so stark und eindeutig ausgeprägt, sie führt aber dennoch dazu, dass das Infektionsrisiko mit dem Alter signifikant zurückgeht. Vermutlich deswegen, weil die Anzahl der Kontakte gleichfalls sinkt.

Ganz grob kann man sagen, dass sich die Infektionswahrscheinlichkeit p.a. pro 30 Lebensjahren in etwa halbiert. Ein Blick auf die Zweierpotenz-Näherungsformel macht das unmittelbar klar.

Infektionsrisiko 12,5% * 1/2^(Alter-15)/30

Weiteres s. Anhang.

Berechnung der Letalität für Geimpfte und Ungeimpfte nach Altersgruppen

Die Letalitätswerte pro Altersgruppe haben wir oben aus den Daten des RKI abgeleitet und diskutiert. Eine Unterscheidung in Geimpfte und Ungeimpfte kann daraus nicht unmittelbar abgeleitet werden, da die Impfstatus der Infizierten und der Verstorbenen in 2021 nicht konsequent erfasst wurden (jedenfalls wurden diese Zahlen vom RKI nicht veröffentlicht). Über einen kleinen Umweg ist es indessen möglich, die Zahl der infizierten und verstorbenen Geimpften, \( g_{Inf} \) und \( g_{Tod} \), indirekt zu berechnen. Gleiches geht natürlich auch für die Ungeimpften (\( u_{Inf} \) und \(u_{Tod} \)).

Das Rechenverfahren mit der Herleitung der nötigen Formeln wird im Anhang näher dargestellt. Die Datengrundlage für die angenommenen altersgruppenspezifischen Impfquoten und Wirksamkeiten ist in Tab. 1 aufgelistet.

Annahmen zu den altersgruppenspezifischen Impfquoten und den Schutzwirkungen der Impfung im Hinblick auf eine Covid-19-Infektion und Tod (an oder mit Corona).

Tabelle 1: Annahmen zu den altersgruppenspezifischen Impfquoten und den Schutzwirkungen der Impfung im Hinblick auf eine Covid-19-Infektion und Tod (an oder mit Corona). Die durchschnittlichen Impfquoten ergeben sich aus dem Verlauf der Impfkampagne im Jahresverlauf aus den Daten des RKI. Die Annahmen zur Schutzwirkung basieren auf den Infektionszahlen Geimpfter und Ungeimpfter (wurden in der zweiten Jahreshälfte für symptomatisch Erkrankte erfasst). Hinsichtlich des Schutzes vor Tod wurden die Todesfallzahlen des RKI in den Kalenderwochen 40-49/2021 zugrunde gelegt. Ferner wurden Studienaussagen über das Nachlassen der Schutzwirkung in den Monaten nach der zweiten Impfdosis berücksichtigt (s. [8]).

Abbildung 17 zeigt die Ergebnisse der Berechnung auf Basis der angenommenen Jahresmittelwerte für die Impfquoten und die Wirksamkeiten (s. Tab. 1).

Folgende Formeln wurden angewendet (s. Anhang):

Berechnung der Letalität \( L_{g} \) für Geimpfte:

\begin{equation} L_{g} = \frac{1-W_{Tod} } {1-qW_{Tod} } \cdot \frac{1-qW_{Inf} } { 1-W_{Inf} } \cdot L \end{equation}

Berechnung der Letalität \( L_{u} \) für Ungeimpfte:

\begin{equation} L_{u} = \frac{ 1-qW_{Inf} } { 1-qW_{Tod} }\cdot L \end{equation}

Berechnete Covid-19-Letalität (Sterblichkeitsrate nach einer Corona-Infektion) in 2021 für Geimpfte und Ungeimpfte nach Altersgruppen.

Abbildung 17: Berechnete Covid-19-Letalität (Sterblichkeitsrate nach einer Corona-Infektion) in 2021 für Geimpfte und Ungeimpfte nach Altersgruppen. Die grauen Säulen zeigen die mittlere Sterblichkeit pro Altersgruppe. Man erkennt, dass die Sterblichkeitsraten von Geimpften in den interessierenden und am meisten gefährdeten Altersgruppen 60-69, 70-79 80-89 und 90+ gegenüber den jeweiligen Referenzwerten (graue Säulen) gesunken sind. Die Letalität der Ungeimpften liegt dagegen überall höher. Der Unterschied zwischen Geimpften und Ungeimpften macht in der Relation z.T. mehr als 100 % aus. Die mittlere Sterblichkeit über alle Altersgruppen liegt natürlich nach wie vor bei 1,16%. Rohdaten: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Die mittlere Letalität der Geimpften liegt nach den berechneten Daten bei etwa 3,35%, die der Ungeimpften bei 0,81%. Unter den Geimpften ist demnach die Sterblichkeit im Mittel 4-mal höher. Das erscheint auf den ersten Blick paradox und absolut unplausibel. Indessen lässt sich dieser Effekt sehr leicht erklären. Wie man Tab. 1 entnimmt und wie es ja auch der Realität entspricht, war die Impfquote bei den Älteren ab 60 im Jahresmittel deutlich höher als die Impfquote bei den Jüngeren (Altersgruppen, 0-9, 10-19, 20,29, 30-39, sogar 40.49). Die Ungeimpften rekrutieren sich daher zu einem großen Teil aus diesen zwar ungeimpften aber auch absolut ungefährdeten Altersgruppen, die zu den Todesfallzahlen in Summe weniger als 1% beitragen. Umgekehrt sind gerade die vulnerablen Gruppen geimpft –  und sie haben natürlich trotz der Impfung immer noch ein vielfach höheres Corona-Sterberisiko als die jungen Ungeimpften.

Wir haben oben gesehen, dass sich die Letalität (also die Sterblichkeit bei einer vorliegenden Infektion) pro 18-Lebenjahren verzehnfacht. Wenn nun andererseits die Impfung im Idealfall eine Wirksamkeit von 90% entfaltet, dann wird dieser positive Schutzeffekt im Ergebnis pro 18-Lebensjahren Unterschied aufgezehrt. Demnach hat also z.B. ein 24-Jähriger Ungeimpfter immer noch ein 100-fach geringeres Risiko an Corona zu versterben als ein 78-Jähriger Geimpfter. Tatsächlich ist die Schutzwirkung der Impfung in der Realität gerade für die Ältesten deutlich geringer als 90%, teilweise geht sie eher in Richtung 50%. Deswegen kann es nicht verwundern, dass die Sterblichkeitsrate der Geimpften im Schnitt höher liegt als die der Ungeimpften.

Im Wesentlichen geht es hier um einen statistischen Effekt aufgrund der ungleichen Risikomischung in den beiden Gruppen. Der entscheidende Punkt ist die gewichtete Mittelwertbildung mit den jeweiligen Anteilen unter den Geimpften bzw. Ungeimpften in der Bevölkerung. Vorausgesetzt, die Impfquote in allen Altersgruppen wäre gleich (also gleiche Risikomischung), dann würde die Letalität der Geimpften auch in der Mittelwertbildung über alle Altersgruppen kleiner ausfallen als die der Ungeimpften.

Hypothetische Todesfallzahlen auf Basis der berechneten Letalitätswerte für Geimpfte und Ungeimpfte

Auf Basis der berechneten Letalitätswerte für Geimpfte und Ungeimpfte kann man grob bestimmen, wie hoch die Todesfallzahlen in 2021 gewesen wären, wenn niemand oder alle geimpft gewesen wären. Natürlich ist dieser Ansatz in gewisser Weise spekulativ, weil man nicht sicher vorhersagen kann, welchen Einfluss eine geänderte Impfquote auf die Infektionsfallzahlen gehabt haben würde. Nach allem was wir heute wissen, kann man in erster Näherung davon ausgehen, dass dieser Einfluss eher gering ist. Nach den Daten des RKI zu den symptomatischen Covid-19-Fällen tragen Geimpfte und Ungeimpfte in ähnlichem Grade zum Infektionsgeschehen bei. Geimpfte sind daher, schon wegen ihrer zahlenmäßigen Dominanz, nicht wegzudenkende Treiber der Infektionsdynamik. Unterstellen wir daher in einer ersten Betrachtung, es gebe durch die Impfung keine unmittelbare Rückwirkung auf die Inzidenzen. Wie hoch wären unter dieser Annahme die Todesfallzahlen für 2021 in den beiden Extremszenarien ausgefallen?

In Abb. 18 sind die entsprechenden, auf Basis der berechneten Letalitätswerte und der geschilderten Annahme bestimmten hypothetischen Todesfallzahlen im Vergleich zu den tatsächlichen Fallzahlen nach Altersgruppen getrennt hintereinander dargestellt.

Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen.

Abbildung 18: Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen. Die Reihenfolge der Legende entspricht der Höhe der Säulen von vorne nach hinten. Die grünen Säulen im Vordergrund zeigen die Todesfallzahlen unter der Annahme, alle seien schon zu Beginn des Jahres geimpft (Impfquote 100%) gewesen und würden die Sterblichkeitsrate in Höhe der berechneten Letalität aufgewiesen haben. Im Hintergrund orange dargestellt sind die Säulen für das Alternativszenario ganz ohne Impfung (Impfquote 0%). Die tatsächlichen Fallzahlen werden durch die grauen Säulen aufgezeigt. Zusätzlich dargestellt sind die hypothetischen Fallzahlen unter der gleichfalls nicht abwegigen Annahme, die Letalitätswerte aus 2020 würden auch in 2021 zutreffend gewesen sein (blauen Säulen). Rohdaten für die grauen und blauen Säulen sowie die Berechnungsgrundlage für die grünen und orangefarbenen Säulen: RKI, Datenstand 08.01.2022.

In der Gesamtschau macht Abb. 18 klar, dass die Impfung die Fallzahlen in allen Altersgruppen ab 60 merklich verringert. Umgekehrt würde der völlige Verzicht auf die Impfung in genau diesen Altersgruppen für eine signifikante Erhöhung der Fallzahlen gesorgt haben. Keinen nennenswerten Effekt sieht man bei den Altersgruppen unter 50, einen geringen in der Altersgruppe 50-59.

Die Summenwerte der Todesfallzahlen für die vier Szenarien sind in Abb. 19 dargestellt.

Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 in unterschiedlichen Szenarien.

Abbildung 19: Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 in unterschiedlichen Szenarien. Die Grafik zeigt die Summenwerte der Todesfallzahlen für die vier betrachteten Szenarien. Grün: alle schon zu Beginn des Jahres geimpft (Impfquote 100%), Sterblichkeitsrate in Höhe der berechneten Letalität. Orange: Alternativszenario ganz ohne Impfung (Impfquote 0%). Grau: Tatsächliche Fallzahlen in 2021. Blau: Hypothetische Fallzahlen unter der Annahme, die Letalitätswerte aus 2020 würden auch in 2021 gegolten haben. Rohdaten für die graue und blaue Säule sowie Berechnungsgrundlage für die grüne und orangefarbene Säule: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Das blaue (Sterblichkeit 2020 auch in 2021) und das orange Szenario (berechnete Sterblichkeit für  Ungeimpfte aus den 2021-er Daten) belegen, dass die partielle Impfung in 2021 wohl eine Wirkung entfaltet hat. Jedenfalls würden die Fallzahlen ohne die Impfung mit einiger Wahrscheinlichkeit um einen hohen vierstelligen bis niedrigen 5-stelligen Zahlenwert höher ausgefallen sein. Auch wenn die Szenarien die Realität nicht 1:1 widerspiegeln mögen, so geben sie doch einen validen Hinweis. Das gilt natürlich auch für die Grenzen im Hinblick auf die Höhe des zu erwartenden Resultats.

Die beiden Szenarien „blau“ und „orange“ liegen im Ergebnis nicht allzu weit auseinander. Das stützt die Sinnhaftigkeit des beschriebenen Ansatzes (s. Anhang) zur separaten Ableitung der Letalitätswerte für Geimpfte und Ungeimpfte. Der Vergleich der tatsächlichen Fallzahlen mit dem grünen Szenario zeigt überdies den möglichen Effekt einer hohen Impfquote. Die Fallzahlen gehen sicher nicht auf Null, das ist angesichts der begrenzten und im Zeitverlauf rasch nachlassenden Wirksamkeit der verfügbaren Impfstoffe auch nicht zu erwarten. Dennoch ist die mögliche Reduzierung der Anzahl der Todesfälle durchaus signifikant, wenn auch nicht durchschlagend.

Hypothetische Todesfallzahlen bei Änderung der Impfquote

Im vorstehenden Abschnitt haben wir den Aspekt der Infektionszahlen außer acht gelassen. Deswegen müssen die Ergebnisse zunächst als Fingerzeige gelten. Es ist indessen möglich, die Auswirkungen einer geänderten Impfquote und oder einer anderen Wirksamkeit des Impfstoffen mit einer etwas höheren Präzision aus den Felddaten abzuleiten. Dabei gehen wir von folgenden Überlegungen aus:

Eine Veränderung der Impfquote hat Einfluss auf die Anzahl der Geimpften und Ungeimpften und damit auch auf die Infektionszahlen. Die Sterblichkeit sowohl unter den Geimpften wie auch den Ungeimpften berührt das aber in erster Näherung nicht. Daher erscheint die Annahme konstanter Letalitätswerte pro Altersgruppe plausibel. Anders verhält es sich bezüglich der (Gesamt-)Letalität über alle Infizierten. Wenn die Impfquote modifiziert wird oder sich der Infektionsschutz verändert, dann verschieben sich auch die relativen Anteile der Geimpften und Ungeimpften unter den Infizierten und in der Folge auch das Verhältnis zwischen den Todesfallzahlen. Daher wird die (Gesamt-)Letalität bei der beschriebenen Änderung in der Regel nicht gleich bleiben.

Ausgangspunkt für die Ableitung der Formelbeziehungen ist das Invarianz-Postulat:

  • Die altersgruppenspezifischen Letalitätswerte der Geimpften und der Ungeimpften sind invariant hinsichtlich einer Modifikation der Impfquote und / oder einer Veränderung der Wirksamkeit des Impfstoffs im Hinblick auf den Schutz vor Infektion (vorausgesetzt, der Todesfallschutz bleibt gleich).

Die mathematischen Überlegungen finden sich im Anhang.

Folgende Formeln kommen für die Bestimmung der Todesfallzahlen bei modifizierter Impfquote \(q^{*}\) und/oder Wirksamkeit \( W^{*} \) zur Anwendung.

Anzahl der Fälle unter Ungeimpften pro Altersgruppe:

\begin{align} u_{Tod}^{*} = L \cdot \frac{1-q^{*} }{1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf} \end{align}

Anzahl der Fälle unter Geimpften pro Altersgruppe:

\begin{align} g_{Tod}^{*} = L \cdot q^{*} \cdot \frac{1- W^{*} }{1-W } \cdot \frac{1- W_{Tod} }{1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf} \end{align}

Neue (Gesamt-)Letalität pro Altersgruppe:

\begin{align} L^{*} = L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{1- q^{*} W^{*} } + L_{g} \cdot q^{*} \frac{1-W^{*} }{1- q^{*} W^{*} }  \end{align}

Anzahl der aller Fälle pro Altersgruppe:

\begin{align} a_{Tod}^{*} = L^{*} \cdot \frac{1- q^{*} W^{*} }{1-q W} \cdot a_{Inf}
\end{align}

Sofern die Wirksamkeit unverändert bleibt:

\begin{align} a_{Tod}^{*} = L \cdot \frac{1 – q^{*} W_{Tod} } { 1-qW_{Tod}} \cdot a_{Inf}
\end{align}

Die erzielten Ergebnisse für insgesamt 7 unterschiedliche Szenarien mit altersgruppenspezifisch variierten Impfquoten finden sich in den Abbildungen 20 und 21.

Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen zur Höhe der Impfquote.

Abbildung 20: Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen zur Höhe der Impfquote. Die Grafik zeigt die Summenwerte der Todesfallzahlen für sieben unterschiedliche Szenarien betreffend der Impfquoten über die Altersgruppen. Zum Vergleich sind die tatsächlichen Fallzahlen aus 2021 (Rubrik ganz links) aufgeführt. Die Säulen sind von links nach rechts nach der Höhe der Gesamtimpfquote geordnet. Ganz oben sind die jeweiligen Differenzen der Fallzahlen zum Vergleichswert aus 2021 notiert. Rohdaten sowie Berechnungsgrundlage für Szenarien: RKI, Datenstand 08.01.2022.

Man sieht, dass die Höhe der Impfquote allein nur eine begrenzte Aussagekraft im Hinblick auf die erzielbare Reduzierung der Fallzahlen besitzt. Die zweite Rubrik von rechts steht für eine Impfquote von 85%, dennoch liegen die Todesfallzahlen gleich hoch wie in 2021. Warum? Es sind die Falschen geimpft. Nicht die Alten, sondern die Jungen. Umgekehrt kann man mit einer Impfquote von nur 52% (hellgrüne Säule, vierte Rubrik von links) eine Verringerung der Anzahl der Todesfälle auf einem ähnlichen Niveau erzielen, wie das im Szenario mit 73% Impfquote (dunkelbaue Säule, fünfte Rubrik von links) oder im Szenario mit 90% Impfquote (grüne Säule, Rubrik ganz rechts) möglich ist. Entscheidend ist die Durchimpfung von den höheren zu den niedrigeren Altersgruppen.

In der letzten Grafik wird für die Fallzahlen in den betrachteten Szenarien zusätzlich die Unterscheidung in Geimpfte und Ungeimpfte vorgenommen. Dies wirft noch einmal ein Schlaglicht auf die Grenzen des durch eine hohe Impfquote Erreichbaren im Hinblick auf die am Ende verbleibenden Todesfallzahlen unter Ersteren.

Ohne Zweifel hat eine hohe Impfquote einen bedeutsamen Effekt auf die Verringerung der Fallzahlen. Es bleibt aber immer noch eine beträchtliche und mit den verfügbaren Impfstoffen offenbar nicht weiter reduzierbare Anzahl von Sterbefällen, weil mit der Impfquote natürlich auch die Todesfallzahlen unter den Geimpften ansteigen. In Abb. 21 sieht man das ganz deutlich. Das spricht nicht gegen die Impfung, denn die Corona-Todesfälle insgesamt werden weniger. Es relativiert aber den erwartbaren Erfolg.

Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen (Geimpfte und Ungeimpfte) für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen zur Höhe der Impfquote.

Abbildung 21: Tatsächliche und hypothetische Todesfallzahlen (Geimpfte und Ungeimpfte) für 2021 bei unterschiedlichen Annahmen zur Höhe der Impfquote. Die Grafik zeigt die Summenwerte der Todesfallzahlen für sieben unterschiedliche Szenarien betreffend der Impfquoten über die Altersgruppen. Die Säulen sind von links nach rechts nach der Höhe der Gesamtimpfquote geordnet. Grün: Anzahl der Todesfälle bei Geimpften. Orange: Todesfälle bei Ungeimpften. Orange-weiß: Verringerung der Gesamtfallzahlen im Vergleich zu den tatsächlichen Werten aus 2021 (Rubrik ganz links). Rohdaten sowie Berechnungsgrundlage für die Anteile der Geimpften und Ungeimpften: RKI, Datenstand 08.01.2022.


Mathematischer Anhang

Die altersabhängige Corona-Sterblichkeit bei Infektion (Letalität)

Die Letalität \(L\) pro 100.000 Infizierten kann durch die folgende exponentiell-lineare Näherungsformel ausgedrückt werden:

\begin{align} L \approx 10^{\frac{Alter-7}{18}} \end{align}

Ausgedrückt in Prozentwerten lautet die Formel für die Letalität:

\begin{align} L \approx 0.01\% \cdot 10^{\frac{Alter-25}{18}} \end{align}

Für den Altersbereich 5-80 bleibt der absolute Fehler unter 0,25%. Der relative Fehler liegt für die Altersgruppe 20-80 meist unter 5%. Es gibt zwei Ausreißer mit einer Überschätzung des Risikos für die Altersgruppen 40-49 (30%) und 50-59 (22%).

Nach obiger Approximationsformel verzehnfacht sich der Letalitätswert pro 18 Lebensjahren. Verglichen mit einem 24-Jährigen hat demzufolge ein 42-Jähriger ein 10-fach, ein 60-Jähriger ein 100-fach und ein 78-Jähriger ein 1000-fach höheres Corona-Sterberisiko p.a. bei vorliegender Corona-Infektion. Für die richtige Einordnung sollte man die Höhe des absoluten Risikos nicht unerwähnt lassen. Es liegt bei 0,008% p.a. für 24-Jährige und folglich bei etwa 8% p.a. für 78-Jährige.

Dargestellt als Zweierpotenz ergibt sich \(L \sim 2^{\frac{Alter}{5,41}}\). Daher kann man festhalten, dass sich das Corona-Sterberisiko p.a. bei vorliegender Infektion pro etwa 5,5 Lebensjahren verdoppelt.

Eine bessere Approximation an den Letalitätsverlauf bietet die nachstehende exponentiell-kubische Näherungsformel:

\begin{align} L \approx & \, e^{ax^3+bx^2+cx+d} \\ \notag
&x=\text{Alter} \\ \notag
&a=-2,259115\cdot 10^{-5} \\ \notag
&b=0,003668116 \\ \notag
&c=-0,05681418 \\ \notag
&d=-9,7227406 \\ \notag
\end{align}

Für den Altersbereich 5-95 bleibt der absolute Fehler bis auf zwei Ausnahmen für die Altersgruppe 70-79 (0,65%) und 90+ (2,6%) unter 0,02%. Der relative Fehler ist für die Altersgruppen 20-29, 40-49, 60-69 und 80-89 kleiner als 0,0001%. Für die Altersgruppen 10-19, 30-39, 50-59, 70-79 und 90+ liegt er bei 33%, 19%, 5%, 10% bzw. 11%.

Die altersabhängige Corona-Sterblichkeit (Mortalität)

Eine exponentiell-lineare Näherungsformel für die Mortalität \(M\) pro 100.000 Einwohnern ist durch die folgende Beziehung gegeben:

\begin{align} M \approx 10^{\frac{Alter-25}{22}} \end{align}

Ausgedrückt in Prozentwerten lautet die Formel für die Mortalität p.a.:

\begin{align} M \approx 0.001\% \cdot 10^{\frac{Alter-25}{22}} \end{align}

Für den Altersbereich 5-80 bleibt der absolute Fehler unter 0,005%, für 80-89 und 90+ liegt er bei 0,012% bzw. 0,1%. Der relative Fehler liegt für die Altersgruppe 30-90+ unter 8%. Für die Altersgruppe 20-29 wird das Risiko um 23% überschätzt, für die Altersgruppen 10-19 und 0-9 um 17% bzw. 65% unterschätzt. Das allerdings auf einem sehr niedrigen absoluten Risikoniveau unter 0,0005%.

Nach vorstehender Approximationsformel verzehnfacht sich der Mortalitätswert p.a. pro 22 Lebensjahren. Verglichen mit einem 18-Jährigen hat demzufolge ein 40-Jähriger ein 10-fach, ein 62-Jähriger ein 100-fach und ein 84-Jähriger ein 1000-fach höheres Corona-Sterberisiko p.a.. Um das richtig einzuordnen muss man erwähnen, dass das absolute Risiko von 18-Jährigen bei etwa 0,0005% liegt, das von 84%-Jährigen bei 0,5%.

Wegen \(M \sim 2^{\frac{Alter}{6,62}}\) kann man ebenfalls konstatieren, dass sich das Corona-Sterberisiko p.a. pro etwa 6,5 Lebensjahren verdoppelt.

Das altersabhängige Corona-Infektionsrisiko

Eine passable exponentiell-lineare Näherungsformel für das Infektionsrisiko \( r_{Inf} \) in Prozent kann folgendermaßen formuliert werden:

\begin{align} r_{Inf} \approx 10\% \cdot 10^{-\frac{Alter-25}{100}} \end{align}

Für die Altersgruppen 30-39, 60-69 und 70-79 bleibt der absolute Fehler unter 0,25%, für 50-59 liegt er bei 0,7%, für 10-29 und 80-89 bei max. 2,2%. Etwas größer ist die Abweichung für die Altersgruppen 0-9 (8,5%) und 90+ (4,3%). Der relative Fehler bleibt für die Altersgruppe 10-90 unter 30%.

Die etwas größeren Abweichungen der linearen Näherunsgformel bei den Älteren werden auf Basis der untenstehenden exponentiell-kubischen Approximation vermieden:

\begin{align} r_{Inf} \approx & \, e^{ax^3+bx^2+cx+d} \\ \notag
&x=\text{Alter} \\ \notag
&a=1,98962\cdot 10^{-5} \\ \notag
&b=-0,003143 \\ \notag
&c=0,1284668 \\ \notag
&d=-3,759864 \\ \notag
\end{align}

Für den Altersbereich 40-90+ bleibt der absolute Fehler der kubischen Näherung unter 0,6%. Die Approximation liegt für die Altersgruppen 0-39 um max. 3,3% daneben. Dabei bleibt der relative Fehler zwischen 20% (10-19) und 45% (0-9). Deutlich kleiner ist der relative Fehler für die Altersgruppen 40-59 (max. 2,4%) sowie 60-69 und 80-89 (<1%). Für die Altersgruppen 70-79 und 90+ liegt er bei max. 12,5%.

Im Unterschied sowohl zur Letalität wie auch zur Mortalität, die beide mit zunehmendem Alter exponentiell wachsen, sehen wir bezüglich des Infektionsrisikos ein gegenteiliges Verhalten: Je höher das Alter, desto geringer die Infektionswahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit ist zwar nicht so stark und eindeutig ausgeprägt, sie führt aber dennoch dazu, dass das Infektionsrisiko mit dem Alter signifikant zurückgeht. Vermutlich deswegen, weil die Anzahl der Kontakte gleichfalls sinkt.

Ganz grob kann man sagen, dass sich die Infektionswahrscheinlichkeit p.a. pro 30 Lebensjahren in etwa halbiert. Ein Blick auf die Zweierpotenz-Näherungsformel macht das unmittelbar klar.

\begin{align} r_{Inf} \approx 12,5\% \cdot 2^{-\frac{Alter-15}{30}} \end{align}

Für die Lebensalter 20 – 80 ist die Approximation relativ nahe an der Realität.

Bestimmung der Letalitäten für Geimpfte und Ungeimpfte bei unzureichender Erfassung des Impfstatus

Die Letalität \(L\) für alle Infizierten sowie die Letalitäten für die infizierten Geimpften \( L_{g} \) und Ungeimpften \( L_{u} \) sind folgendermaßen definiert:

\begin{align} L &= \frac{ a_{Tod}} { a_{Inf} } \\
L_{g} &= \frac{ g_{Tod}} { g_{Inf} } \\
L_{u} &= \frac{ u_{Tod}} { u_{Inf} } \end{align}

Der Wert für \(L\) ergibt sich direkt aus den Statistiken des RKI. Da indessen die Impfstatus der Infizierten und der Verstorbenen in 2021 nicht konsequent erfasst wurden (jedenfalls wurden diese Zahlen vom RKI nicht veröffentlicht), können die Letalitätswerte der Geimpften und der Ungeimpften nicht unmittelbar aus dem Datenmaterial des RKI bestimmt werden. Über einen kleinen Umweg ist es indes möglich, die Zahl der infizierten und verstorbenen Geimpften, \( g_{Inf} \) und \( g_{Tod} \), zu berechnen. Gleiches geht natürlich auch für die Ungeimpften (\( u_{Inf} \) und \(u_{Tod} \)).

Bei bekannter Impfquote \(q\) und Wirksamkeit des Impfstoffs greifen wir dazu auf Formel (5) in [11] (Der Effekt der Corona-Impfung auf die Fallzahlen – sumymus blog) zurück und erhalten

\begin{align} g_{Inf} &= \left(1-\frac{1-q} { 1-qW_{Inf} } \right) a_{Inf} \\ \notag
&= q \cdot \frac{1- W_{Inf} } { 1-qW_{Inf} } \cdot a_{Inf} \\
g_{Tod} &= \left(1-\frac{1-q} { 1-qW_{Tod} } \right) a_{Tod} \\ \notag
&= q \cdot \frac{1- W_{Tod} } { 1-qW_{Tod} } \cdot a_{Tod}
\end{align}

Dabei sind \( W_{Inf} \) und \( W_{Tod} \) die entsprechenden Impfstoff-Wirksamkeiten für den Schutz vor Infektion und den Schutz vor Tod.

Für die Anzahl der Ungeimpften ergibt sich analog

\begin{equation} u_{Inf} = \frac{1-q} { 1-qW_{Inf} } \cdot a_{Inf} \end{equation}

\begin{equation} u_{Tod} = \frac{1-q} { 1-qW_{Tod} } \cdot a_{Tod} \end{equation}

Die unbekannten Letalitäten der Geimpften und der Ungeimpften können nun leicht aus den vorstehenden Formeln bestimmt werden:

\begin{align} L_{g} &= \frac{ g_{Tod}} { g_{Inf} } \\ \notag
&= \frac{1-\frac{1-q} { 1-qW_{Tod} } } {1-\frac{1-q} { 1-qW_{Inf} } } \cdot \frac{a_{Tod}} { a_{Inf} } \end{align}

Und somit

\begin{equation} L_{g} = \frac{1-W_{Tod} } {1-qW_{Tod} } \cdot \frac{1-qW_{Inf} } { 1-W_{Inf} } \cdot L
\end{equation}

sowie

\begin{align} L_{u} &= \frac{ u_{Tod}} { u_{Inf} } \\ \notag
&= \frac{\frac{1-q} { 1-qW_{Tod} } } {\frac{1-q} { 1-qW_{Inf} }} \cdot \frac{a_{Tod}} { a_{Inf} } \end{align}

\begin{equation} L_{u} = \frac{ 1-qW_{Inf} } { 1-qW_{Tod} }\cdot L \end{equation}

Das Verhältnis der beiden Letalitäten ergibt sich zu

\begin{equation} \frac{ L_{u} } { L_{g} } = \frac{ 1-W_{Inf} } { 1-W_{Tod} }
\end{equation}

Datengrundlage für die Berechnung der Letalitäten

Die altersgruppenspezifischen Impfquoten und Wirksamkeiten sind grundsätzlich bekannt. Die Impfkampagne begann Anfang 2021, so dass im Hinblick auf die Anwendung der obigen Formel zur Bestimmung der Letalitätswerte für das Gesamtjahr mittlere Impfquoten abgeschätzt werden müssen. Dasselbe gilt für die Wirksamkeiten bezüglich es Infektionsschutzes und des Schutzes vor Tod. Die betreffenden Annahmen sind in Tab. 1 (s.o.) aufgelistet.

Bestimmung der Todesfallzahlen für Geimpfte und Ungeimpfte

Nach obigen Formeln erhalten wir für die Anzahl der verstorbenen Geimpften und Ungeimpften zusammenfassend die folgenden Beziehungen:

\begin{align} g_{Tod} &= L_{g} \cdot g_{Inf} \\ \notag
&= L_{g} \left(1-\frac{1-q} { 1-qW_{Inf} } \right) a_{Inf} \\ \notag
&= L \cdot q \frac{1-W_{Tod} } {1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf} \\ \notag \\
u_{Tod} &= L_{u} \cdot u_{Inf} \\ \notag
&= L_{u} \frac{1-q} { 1-qW_{Inf} } \cdot a_{Inf} \\ \notag
&= L \frac{1-q } {1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf}
\end{align}

Die simple Mathematik zum Effekt von Massenimpfungen

Der Quotient \( \frac{g_{Tod}} { u_{Tod}} \) bringt die Wirkung der Massenimpfung in kompakter Form zum Ausdruck:

\begin{align} \frac{g_{Tod}} {u_{Tod}} = q \cdot \frac{ 1-W_{Tod}} {1-q} \end{align}

Für \(q=0\) und für \( W_{Tod} =1\) gibt es keine verstorbenen Geimpften, für \(q=1\) gibt es keine Ungeimpften.

Das relative Sterberisiko von Geimpften im Vergleich zu Ungeimpften ist \(1 : \frac{1}{1- W_{Tod}}\). Daher sind die Todesfallzahlen bei Geimpften und Ungeimpften gleich hoch, wenn das Zahlenverhältnis zwischen Geimpften und Ungeimpften reziprok proportional zum Verhältnis der Todesfallrisiken ist, wenn also

\begin{align} \frac{q } {1-q} = \frac{1 } {1- W_{Tod} } \end{align}

Die Anzahl der Todesfälle von Ungeimpften überwiegt, sofern die linke Seite kleiner ist. Das ist sicher dann der Fall, wenn die Impfquote die Wirksamkeit nicht übersteigt. Umgekehrt gibt es mehr Todesfälle bei Geimpften, wenn das Zahlenverhältnis zwischen Impfquote und „Nicht-Impfquote“ über den Wert für das Risikoverhältnis auf der rechten Seite hinauswächst.

Der Zusammenhang gilt natürlich auch ganz allgemein für Infizierte oder Hospitalisierte.

\begin{align} \frac{g} { u} = q\cdot \frac{1-W } {1-q} \end{align}

Herleitung der zu erwartenden Infektions- und Todesfallzahlen bei einer geänderten Impfquote und Wirksamkeit des Impfstoffs

Es stellt sich die Frage, wie sich denn die Todesfallzahlen in 2021 entwickelt haben würden, wenn die Imfpquote höher oder niedriger gewesen oder die Wirksamkeit des Impfstoffs eine andere gewesen wäre. Natürlich ist diese Frage spekulativ. Dennoch kann man sich der Antwort nähern und begründete Aussagen zum Effekt solcher Änderungen auf die Todesfallzahlen ableiten. Ausgangspunkt ist das oben formulierte Invarianz-Postulat.

Im Folgenden bestimmen wir die zu erwartenden Infektions- und Todesfallzahlen bei modifizierter Impfquote und Impfstoffwirksamkeit. Das versetzt uns in die Lage, Was-Wäre-Wenn-Analysen durchzuführen.

Grundformeln für Ableitung der hypothetischen Infektions- und Todesfallzahlen

Die modifizierte Impfquote bezeichnen wir mit \(q^{*}\), die geänderte Wirksamkeit für den Schutz vor Infektion nennen wir \(W_{Inf}^{*}\). Der Einfachheit halber verzichten wir dabei auf das Subskript, wenn es aus dem Zusammenhang heraus keine Verwechslungen geben kann; \(W^{*}\) meint also \(W_{Inf}^{*}\).

Wir fragen nach dem formelmäßigen Zusammenhang zwischen den neuen Infektions- und Todesfallzahlen bei der Impfquote \(q^{*}\) und der Infektionsschutz-Wirksamkeit \( W^{*} =W_{Inf}^{*}\) und den Bezugswerten bei der Impfquote \(q^{}\) und der Wirksamkeit \(W =W_{Inf}\). Dabei setzen wir eine unveränderte Wirksamkeit \(W_{Tod}\) bezüglich des Schutzes vor Tod voraus. Die neuen Infektions- und Todesfallzahlen bezeichnen wir mit \( g_{Inf}^{*} = g_{Inf}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\), \( u_{Inf}^{*} = u_{Inf}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\), \( a_{Inf}^{*} = a_{Inf}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\), die Bezugswerte mit \( g_{Inf} = g_{Inf}^{\left(q,W\right)}\), \( u_{Inf} = u_{Inf}^{\left(q,W\right)}\), \( a_{Inf} = a_{Inf}^{\left(q,W\right)}\).

Wir erhalten die folgenden Beziehungen:

\begin{align} \frac{ u_{Inf}^{*}} { u_{Inf}} &= \frac{1-q^{*}}{ 1-q } \\
\frac{ g_{Inf}^{*}} { g_{Inf}} &= \frac{ q^{*}}{q} \frac{ 1-W^{*} }{ 1-W } \\ \frac{ a_{Inf}^{*}} { a_{Inf}} &= \frac{1-q^{*} W^{*} }{1- q W } \end{align}

Erläuterung und Plausibilisierung der Beziehungen

Zur Motivation der Formeln betrachten wir eine Kohorte von 1000 Personen, 400 Geimpften und 600 Ungeimpften. Die Impfquote ist daher 40%. Der Infektionsschutz möge bei 60% liegen. Nehmen wir an, 30 Ungeimpfte seien infiziert. Demnach gibt es nun also \( \small (1-0,6)\cdot \frac{0,4}{1-0,4}\cdot 30 =8\) infizierte Geimpfte. Wenn wir nun die Impfquote auf 70% erhöhen, dann haben wir 700 Geimpfte und nur noch 300 Ungeimpfte. Entsprechend geht die Zahl der infizierten Ungeimpften auf \( \small \frac{300}{600}\cdot 30 = 15 \) zurück. Zugleich steigt die Anzahl der infizierten Geimpften auf \( \small \frac{700}{400}\cdot 8 = 14 \).

Die Anzahl der infizierten Ungeimpften verändert sich demnach proportional zur Quote der Nicht-Geimpften, wie man das intuitiv erwartet. Im Beispiel ist das der Faktor \( \small \frac{1-0,7}{1-0,4} = \frac{0,3}{0,6}\). Auf der anderen Seite wird die Anzahl der infizierten Geimpften entsprechend im Verhältnis der Impfquoten \( \small \frac{0,7}{0,4}\) erhöht.

Wenn sich die Wirksamkeit verändert, hat das offensichtlich keinen Einfluss auf die Anzahl der infizierten Ungeimpften. Doch wie verhält es sich bei den Geimpften? Gehen wir noch einmal zum obigen Beispiel und lassen nun die Impfquote konstant bei 40%, verändern aber die hypothetische Wirksamkeit von 60% auf 80%. Im Ergebnis sinkt die Anzahl der infizierten Geimpften auf \(\small(1-0,8)\cdot \frac{0,4}{1-0,4}\cdot 30 =4\). Ihre Anzahl verändert sich daher proportional zum Verhältnis der Restrisiken. Im Beispiel \( \small \frac{1-0,8}{1- 0,6} \cdot 8 = \frac{0,2}{0,4} \cdot 8 = 4 \). Zugleich sinkt die Gesamtzahl der Infizierten von \( \small 30+8 = 38\) auf \( \small 30+4 = 34\).

Wenn sowohl die Impfquote als auch die Wirksamkeit modifiziert werden, so ändert sich gegenüber den beiden Beispielen nichts bei den Ungeimpften, ihre Zahl geht auf \( \small \frac{1-0,7}{1-0,4}\cdot 30 = 15 \) zurück. Die Zahl der infizierten Geimpften verändert sich dagegen proportional zum Verhältnis \( \small \frac{0.7}{0.4}\cdot \frac{1-0,8}{1-0,6}= \frac{0,7}{0,4} \cdot \frac{0,.2}{0,4} = \frac{7}{8} \) auf \( \frac{7}{8} \cdot 8 = 7 \).

Werfen wir noch einen kurzen Blick auf die Gesamtzahl der Infizierten. Im ersten Beispiel sinkt sie von \( \small 30+8 = 38\) auf \( \small 15+14 = 29\). Das ist das Verhältnis \( \small \frac{1 – 0,7\cdot 0,6}{1- 0,4 \cdot 0,6} = \frac{1 – 0,42}{1-0,24} = \frac{58}{76} = \frac{29}{38}\). Analog im zweiten Beispiel: Die Gesamtzahl der Infizierten verringer sich von \( \small 30+8 = 38\) auf \( \small 30+4 = 34\) und geht damit proportional zum Verhältnis \( \small \frac{1 – 0,4\cdot 0,8}{1- 0,4 \cdot 0,6} = \frac{1 – 0,32}{1-0,24} = \frac{68}{76} = \frac{34}{38}\) zurück. Schließlich stellt sich im dritten Fall bei der gleichzeitigen Veränderung von Impfquote und Wirksamkeit die neue Anzahl der Infizierten, also \( \small 15+7 = 22\), entsprechend dem Verhältnis \( \small \frac{1 – 0,7\cdot 0,8}{1- 0,4 \cdot 0,6} = \frac{1 – 0.56}{1-0.24} = \frac{44}{76} = \frac{22}{38}\) ein.

Formeln für die Bestimmung der Infektionszahlen Geimpfter und Ungeimpfter

Kommen wir zurück zur Berechnung der Anzahl der infizierten Geimpften und Ungeimpften. Für die Infizierten bei Änderung der Impfquote und Wirksamkeit erhalten wir

\begin{align} u_{Inf}^{*} &= \frac{1- q^{*} }{1-q W } \cdot a_{Inf} \\ g_{Inf}^{*} &= q^{*} \frac{1-W^{*} }{1-q W } \cdot a_{Inf} \end{align}

Formeln für die Bestimmung der Todesfallzahlen Geimpfter und Ungeimpfter

Im Weiteren können wir auf Basis obiger Formeln auch die Höhe der zu erwartenden Todesfallzahlen der infizierten Geimpften und Ungeimpften nach einer Modifikation von Impfquote und Wirksamkeit direkt aus aus den Werten für die Gesamtzahl der Infizierten vor der Veränderung errechnen. Wie oben bezeichnen wir die neuen Todesfallzahlen mit \( g_{Tod}^{*} = g_{Tod}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\), \( u_{Tod}^{*} = u_{Tod}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\), \( a_{Tod}^{*} = a_{Tod}^{\left(q^{*},W^{*}\right)}\) und die Bezugswerte mit \( g_{Tod} = g_{Tod}^{\left(q,W\right)}\), \( u_{Tod} = u_{Tod}^{\left(q,W\right)}\), \( a_{Tod} = a_{Tod}^{\left(q,W\right)}\).

\begin{align} u_{Tod}^{*} &= L_{u} \cdot u_{Inf}^{*} \\ \notag
&= L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{ 1-q} \cdot u_{Inf} \\ \notag
&= L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{1-q W} \cdot a_{Inf} \\ \notag
&= L \cdot \frac{1-q^{*} }{1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf}
\end{align}

\begin{align} g_{Tod}^{*} &= L_{g} \cdot g_{Inf}^{*} \\ \notag
&= L_{g} \cdot \frac{ q^{*}}{q} \cdot \frac{ 1-W^{*} }{ 1-W } \cdot g_{Inf} \\ \notag
&= L_{g} \cdot q^{*} \cdot \frac{1-W^{*} }{1-q W} \cdot a_{Inf} \\ \notag
&= L \cdot q^{*} \cdot \frac{1- W^{*} }{1-W } \cdot \frac{1- W_{Tod} }{1-qW_{Tod} } \cdot a_{Inf}
\end{align}

Diese Beziehungen können wir nur deswegen so formulieren, weil sich die Letalitäten für die Geimpften und Ungeimpften im betrachteten Szenario nicht verändern, weil also \(L_{g}^{*} = L_{g} \) und \(L_{u}^{*} = L_{u} \). Für die Gesamtletalität gilt dagegen \(L^{*} \ne L \). Das Invarianzpostulat wurde oben erläutert.

Die Bestimmung der Gesamtletalität bei geänderter Impfquote und Wirksamkeit

Zur Bestimmung von \( L^{*} \) gehen wir aus von

\begin{align} a_{Tod}^{*} &= L^{*} \cdot a_{Inf}^{*} \\ \notag
&= L^{*} \cdot \frac{1- q^{*} W^{*} }{1-q W} \cdot a_{Inf} \\ \notag
\end{align}

Wegen

\begin{align} a_{Tod}^{*} &= u_{Tod}^{*} + g_{Tod}^{*} \\ \notag
&= L_{u} \cdot u_{Inf}^{*} + L_{g} \cdot g_{Inf}^{*} \\ \notag
&= L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{1- q^{*} W^{*} } \cdot a_{Inf}^{*} + \\ \notag
&\quad L_{g} \cdot q^{*} \frac{1-W^{*} }{1- q^{*} W^{*} } \cdot a_{Inf}^{*} \\ \notag
&= \left( L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{1- q^{*} W^{*} } + L_{g} \cdot q^{*} \frac{1-W^{*} }{1- q^{*} W^{*} } \right) \cdot a_{Inf}^{*} \\ \notag
\end{align}

bekommen wir für \(L^{*} \) den Ausdruck

\begin{align} L^{*} &= L_{u} \cdot \frac{1-q^{*} }{1- q^{*} W^{*} } + L_{g} \cdot q^{*} \frac{1-W^{*} }{1- q^{*} W^{*} } \\ \notag
&= L \cdot \frac{1-qW}{1- q^{*} W^{*}} \cdot \\ \notag
& \quad \frac{(1-W) – q^{*} W_{Tod} ( 1-W^{*} )+ q^{*} (W- W^{*} ) } { (1-qW_{Tod}) (1-W)}
\end{align}

Die Gesamtletalität bei geänderter Impfquote und gleicher Wirksamkeit

Für \(W^{*} = W\) vereinfacht sich die \( L^{*} \)-Formel auf

\begin{align} L^{*} = L \cdot \frac{1-qW}{1- q^{*} W^{*}} \cdot \frac{1 – q^{*} W_{Tod} } { 1-qW_{Tod}}
\end{align}

womit sich der Zusammenhang zwischen den nach der Modifikation zu erwartenden Todesfallzahlen \( a_{Tod}^{*} \) und den ursprünglichen Infektionszahlen \( a_{Inf} \) für diesen Spezialfall deutlich kürzer fassen lässt:

\begin{align} a_{Tod}^{*} &= L \cdot \frac{1 – q^{*} W_{Tod} } { 1-qW_{Tod}} \cdot a_{Inf}
\end{align}


Quellen

[1] Robert Koch-Institut, COVID-19_Todesfälle nach Sterbedatum https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Projekte_RKI/COVID-19_Todesfaelle.html

[2] Robert Koch-Institut, COVID-19_Fälle nach Altersgruppe und Meldedatum
RKI – Coronavirus SARS-CoV-2 – COVID-19-Fälle nach Altersgruppe und Meldewoche (Tabelle wird jeden Donnerstag aktualisiert)

[3] Robert Koch-Institut, Coronavirus Situationsberichte, Wochenbericht https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenberichte_Tab.html

[4] Robert Koch-Institut, Coronavirus Inzidenzen und Impfstatus https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Daten/Inzidenz_Impfstatus.html

[5] Robert Koch-Institut, Coronavirus Fallzahlen https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Daten/Fallzahlen_Kum_Tab.html

[6] Robert Koch-Institut, Coronavirus Impfquotenmonitoring https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Daten/Impfquotenmonitoring.html

[7] Robert Koch-Institut, Inzidenzen der symptomatischen und hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Impfstatus https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Daten/Inzidenz_Impfstatus.html

[8] Wie lange schützt der Impfstoff von Biontech, Moderna und Astrazeneca | Spektrum

[9] Das Coronavirus: Harmlos? Bedrohlich? Tödlich? – sumymus blog

[10] Gibt es eine Korrelation zwischen Impfquote und Inzidenz?

[11] Der Effekt der Corona-Impfung auf die Fallzahlen – sumymus blog

[12] Wer treibt die Infektionen? Ungeimpfte oder Geimpfte? – sumymus blog

Wer treibt die Infektionen? Ungeimpfte oder Geimpfte?

Es scheint klar: Infektionstreiber sind die Ungeimpften

In den letzten Wochen gab es vermehrt Diskussionen darüber, wer denn nun hauptverantwortlich für die hohen Inzidenzen sei, die Ungeimpften oder die Geimpften? Für die Medien und die Politik scheint der Fall ziemlich eindeutig: Es sind die Ungeimpften. Tenor: Die Ungeimpften verweigern die Solidarität und gefährden sich und andere. Untermauert wurde das Ganze durch entsprechende Presseberichte und die Veröffentlichung von separaten Inzidenzzahlen für Geimpfte und Ungeimpfte. Dabei kam fast immer heraus: Die Inzidenzen für Ungeimpfte liegen teilweise um den Faktor 10 und mehr höher als bei den Geimpften.

Schnellzugriff

Scheinbar dramatisch hohe Inzidenzen bei Ungeimpften in Bayern
Bayern ist kein Einzelfall: hohe Inzidenzen bei Ungeimpften auch anderswo
Analyse der exemplarischen bayerischen Zahlen
Die Einsicht kommt spät – und sie kommt nur halbherzig
Grundsätzliches zu den Inzidenzen für Ungeimpfte
Beispiel zur Inzidenzberechnung für Ungeimpfte und Geimpfte
Systematische Verzerrung der Inzidenzen
Ungeimpfte versus Geimpfte: Der Blick wird klarer
Was sagt die Wissenschaft zum Anteil der Ungeimpften am Infektionsgeschehen?
Wie entsteht ein mathematisches Modell?
Kurzanalyse zur zentralen Modellaussage
Was sagen die Felddaten?
Welche Folgerungen kann man daraus ziehen?
Ein plausibles Alternativmodell
Anhang

Scheinbar dramatisch hohe Inzidenzen bei Ungeimpften in Bayern

Betrachten wir exemplarisch die Zahlen in Bayern vom 24.11.2021. Laut dem Bayerischen Landesamt für Gesundheit und Lebensmittelsicherheit (LGL) wurden für diesen Tag die folgenden Zahlen ausgewiesen.

Infektionszahlen vom 24.11.2021 in Bayern

Tabelle 1: Infektionszahlen vom 24.11.2021 in Bayern. Quelle: Bayerischen Landesamt für Gesundheit und Lebensmittelsicherheit (LGL).

Inzidenz für Geimpfte 110, für Ungeimpfte aber 1469. – Das ist schon ein eklatanter Unterschied. Und die Differenz war auch an anderen Tagen erheblich. So berichtete die Augsburger Allgemeine am 11.11.2021 unter dem Titel „So viel häufiger stecken sich Ungeimpfte mit Corona an“ unter Berufung auf das LGL von einer noch größeren Divergenz: „Inzidenz der Ungeimpften in Bayern liegt bei 1616 – die der Geimpften bei 103“. Dabei hat man auch nicht vergessen, Impfskeptikern den Segen der Impfung nahezubringen, wo doch die Zahlen so offensichtlich seien. Gleichartig die Süddeutsche Zeitung am 19.11.2021.

Bayern ist kein Einzelfall: hohe Inzidenzen bei Ungeimpften auch anderswo

In anderen Bundesländern ein ähnliches Bild: Hamburg gibt am 24.11.2021 für die Geimpften eine Inzidenz von 223 an, für die Ungeimpften aber 715. Solche Zahlen empören Journalisten im öffentlich rechtlichen Rundfunk, die daraufhin die allgemeine Impfpflicht fordern. Offenbar, weil man ja anders den uneinsichtigen Ungeimpften nicht beikommen kann.

Dann wird das wohl so stimmen, mag der wohlmeinende Bürger dazu sagen. Eine staatliche Behörde wird doch keine Falschmeldungen verbreiten. Und wenn es eine Falschinformation wäre, würden doch nicht nahezu alle Medien solche Zahlen quasi ungeprüft wiederholen. Leider ist genau das eingetreten – zumindest war dies über viele Wochen der Fall. Erst Anfang Dezember ist aufgefallen, dass die Zahlen so nicht stimmen können. Und dies aus mehreren Gründen.

Analyse der exemplarischen bayerischen Zahlen

Kehren wir zurück zum o.g. Beispiel aus Bayern. Bei der Berechnung für den 24. November wurden gut 72 000 Personen als ungeimpft in die Rechnung mit einbezogen. Tatsächlich war aber für mehr als 57 000 davon der Impfstatus unbekannt. Man hat also kurzerhand den Impfstatus dieser Personengruppe auf „ungeimpft“ gesetzt. Natürlich kann dies das Ergebnis massiv verzerren: Die Sieben-Tage-Inzidenz der Geimpften könnte tatsächlich viel höher, die der Ungeimpften deutlich niedriger sein.

Wenn man im Beispiel nur die Personen mit bestätigtem Impfstatus nimmt, dann verbleiben lediglich 15.000 Ungeimpfte. Im Ergebnis reduziert sich die Inzidenz der Ungeimpften von 1469 auf 306 (auch dieser Wert ist noch systematisch überhöht, dazu weiter unten). Diese Zahl liegt jetzt sehr viel näher an dem für die Geimpften angegebenen Wert von 110. Wobei man berücksichtigen muss, dass Geimpfte seltener getestet werden als Ungeimpfte. Und selbstverständlich könnten unter den Personen mit unbekanntem Impfstatus auch viele Geimpfte sein, was die Inzidenz der Geimpften erhöhen würde.

Die Einsicht kommt spät – und sie kommt nur halbherzig

Wie oben schon erwähnt, ist dies leider kein bayerischer Sonderfall. In allen Bundesländern bestehen oder bestanden Ungereimtheiten betreffend der separaten Berechnung von Inzidenzen für Geimpfte und Ungeimpfte. Nachdem das offenbar geworden war, findet man z.T. absurde Ausflüchte. So kontert der bayerische Gesundheitsminister Holetschek die entsprechende Kritik der FDP an der Zurechnung der Personen mit unbekannten Impfstatus zu den Ungeimpften mit dem Satz: „Es handle sich um eine fachliche Frage, über die man aber streiten und diskutieren könne“. Da fehlen einem die Worte.

Das ist in etwa so, als würde sich der Steuerbetrüger damit rechtfertigen, er habe einfach nur eine fachlich andere Ansicht zur Steuerpflicht auf seine Einkünfte gehabt, deswegen handle es sich gar nicht um Steuerhinterziehung.

Ebenso kreativ ist der Erste Bürgermeister der Hansestadt Hamburg. Er nennt einen technischen Fehler, eine „IT-Panne“, als Grund für die scheinbar irrtümlicherweise Ungeimpften zugerechneten Infektionsfälle (s. Focus). „Scheinbar“, also „barer Schein“ und damit nur „dem Schein nach unabsichtlich“ ist an dieser Stelle vermutlich eine sehr treffende Vokabel.

Grundsätzliches zu den Inzidenzen für Ungeimpfte

Wie wir gesehen haben, wurden die offiziell ausgewiesenen Inzidenzzahlen für Ungeimpfte mehr oder weniger absichtsvoll künstlich in die Höhe getrieben. Damit allerdings nicht genug. Es gibt darüber hinaus noch einen weiteren Kritikpunkt, der selbst bei korrekter Zählung der Infektionszahlen nach Impfstatus ins Gewicht fällt und geeignet ist, die Inzidenzen der Ungeimpften gegenüber den Geimpften massiv zu verzerren. 

Es ist Usus, die Inzidenz für die Ungeimpften und die Geimpften jeweils auf 100.000 Ungeimpfte bzw. Geimpfte zu beziehen. Zunächst klingt das durchaus vernünftig. Tatsächlich ist es aber nicht sachgerecht, die Inzidenzen für Geimpfte und Ungeimpfte auf die jeweiligen Gruppengrößen zu beziehen, denn für das Infektionsgeschehen sind die absoluten Zahlen der Neuinfizierten relevant, nichts sonst. Die Infektionsdynamik wird bestimmt durch die Summe der aktuell Infektiösen und offensichtlich nicht durch die Anzahl die Infizierten in einer wie auch immer abgegrenzten Bevölkerungsgruppe. Dennoch wird diese doch eigentlich recht triviale Erkenntnis weitgehend ignoriert.

Gewollt oder ungewollt wird das teilweise noch weiter verschleiert, indem nicht immer scharf zwischen dem Inzidenzwert bezogen auf 100.000 Ungeimpfte und der Inzidenzangabe bezogen auf 100.000 Einwohner unterschieden wird.

Am Beispiel der nachstehenden Grafik von Statista kommt diese Unschärfe erst beim zweiten Blick zum Ausdruck. Dabei sind die Ausgangsdaten des RKI, auf die sich Statista hier bezieht, diesbezüglich unmissverständlich klar.

Statista Infografik – Inzidenzen Ungeimpft vs. Geimpft

Abbildung 1: Höhere Inzidenzen bei Ungeimpften. Symptomatische COVID-19-Fälle nach Impfstatus. Statista Infografik vom 13.12.2021. Anmerkung: Die in der Grafik vermittelte Information ist so nicht richtig. Zur Korrektur s. Abb. 3.

In der Überschrift zur Statista-Grafik ist angegeben: „Symptomatische COVID-19-Fälle pro 100.000 Einwohner:innen“ (Anmerkung: „Einwohner:innen“ ist der Statista-Code für „Einwohner“). Richtig ist aber „Symptomatische COVID-19-Fälle pro 100.000 Ungeimpften bzw. Geimpften der Altersgruppe“. Das macht einen erheblichen Unterschied, wie wir gleich sehen werden.

Beispiel zur Inzidenzberechnung für Ungeimpfte und Geimpfte

Um die Problematik an einem Beispiel plausibel zu machen, nehmen wir eine Stadt mit 100.000 Einwohnern, etwa Siegen, Hildesheim, Gütersloh, Kaiserlautern oder Cottbus. Aktuell seien im 7-Tage-Intervall 500 Menschen als neuinfiziert gemeldet. Offensichtlich sind genau diese 500 Personen kausal für die Ausbreitungsdynamik in der Stadt relevant. Und natürlich haben wir auch eine Inzidenz von 500. Was wird nun offiziell daraus gemacht?

Die Impfquote in der Stadt betrage 75 %. Nehmen wir ferner an, die eine Hälfte der 500 seien geimpft, die andere Hälfte ungeimpft. Für die Inzidenzen der Geimpften erhalten wird jetzt 250/0,75 = 333, und für die Ungeimpften 250/0,25 = 1000. Die Stadt wird also sagen, die Inzidenzen der Ungeimpften liegen dreimal höher als die der Geimpften. Dabei ist es unabweisbar Fakt, dass es in beiden Gruppen gleichviele Infizierte gibt und sie folglich auch gleich stark zur Infektionsdynamik beitragen.

Nehmen wir für ein weiteres kleines Gedankenspiel an, in Deutschland seien alle geimpft bis auf einen kleinen Rest von 100.000. Sofern nun bei diesen Ungeimpften 1000 Personen positiv getestet werden, haben wir also eine spezifische Ungeimpften-Inzidenz von 1000. Das hört sich bedrohlich an. Tatsächlich bedeutet dies, dass die allgemeine auf die Bevölkerung bezogene Inzidenz lediglich 1,2 beträgt. Und es ist nur die letztere Zahl, die für den allgemeinen Corona-Risikostatus von Bedeutung ist.

Systematische Verzerrung der Inzidenzen

Im Grundsatz wird damit das Kernproblem der verzerrten Inzidenzzahlen offenbar. Tatsächlich haben wir derzeit eine allgemeine Impfquote von 67 % – 70 %. Damit erscheinen die Inzidenzen der Ungeimpften ca. um den Faktor 3 vergrößert. Wenn man die Inzidenzen auf Altersgruppen bezieht – was zum Zwecke der Analyse durchaus sinnvoll ist – dann vergrößert sich die Schieflage u. U. noch weiter, da die altersgruppenspezifischen Impfquoten teilweise höher liegen.

Betrachten wir exemplarisch die Altersgruppe 60+. Die hohe Impfquote von 86 % führt hier zu einer Verfälschung der Ungeimpften-Inzidenzen um den Faktor 7 (= 1/(1-0,86)). Statt 50 wird dann z.B. eine Inzidenz von 350 ausgewiesen. Das ist eine ziemlich eindeutige Aussage zuungunsten der Ungeimpften, sozusagen eine Zusatzlast auf ihr Sündenkonto. Der Beitrag der Ungeimpften an der Infektionsdynamik wird so optisch massiv überhöht. Rational ist das nicht. Der Anteil der Ungeimpften liegt in diesem Falle bei einer Inzidenz von 50, und nichts sonst. Angesichts der Stimmungslage ist die Angabe der überhöhten Inzidenz keine objektive und wertfreie Information. M. E. muss man hier die Intention der Meinungsmanipulation unterstellen. Zumindest ist es eine Form von Zahlenmanipulation oder „kreativer Statistik“.

Die korrigierten Zahlen zum obigen Beispiel aus Bayern

Kehren wird zurück zum obigen Beispiel aus Bayern. Nach Abzug der Getesteten mit unbekanntem Impfstatus hatten wir die erwiesene spezifische Inzidenz der Ungeimpften schon auf 306 korrigiert. Wenn man sich nun noch auf 100.000 Personen der Bevölkerung bezieht, dann erhält man auf Basis der bayerischen Impfquote von Ende November (66,5 %) eine weiter reduzierte tatsächliche Ungeimpften-Inzidenz von 306*0,335 = 102,51. Das ist nicht wesentlich mehr als die gleichfalls korrigierte Inzidenz unter den Geimpften, die sich zu 110*0,665 = 73 bestimmt. Aus dem ursprünglich von der Behörde angegebenen Inzidenz-Zahlenverhältnis Ungeimpft : Geimpft von 1468:110 wird nun also 103:72.

Bayerische Inzidenzahlen für Ungeimpfte und Geimpfte vom 24.11.2021

Abbildung 2: Bayerische Inzidenzahlen für Ungeimpfte und Geimpfte vom 24.11.2021, vor (Rubrik links) und nach (mittige Rubrik) der Aufdeckung der Falschzuweisung von Personen mit unbekanntem Impfstatus zu den Ungeimpften. Die Rubrik ganz rechts zeigt die im Hinblick auf die Infektionsdynamik relevanten Inzidenzwerte bezogen auf 100.000 Einwohner. In den Ellipsen ist jeweils das resultierende Verhältnis der Inzidenzen von Ungeimpften und Geimpften eingetragen.

Es soll noch einmal ausdrücklich hervorgehoben werden: Die Wahrheit zum Infektionsgeschehen steckt ausschließlich in der rechten Rubrik des Diagramms von Abb. 2.

Ungeimpfte versus Geimpfte: Der Blick wird klarer

Die in vielen Medien veröffentlichten und von einigen Bundesländern erhobenen Inzidenzen zu Geimpften und Ungeimpften sind, wie man an diesem Beispiel und der obigen Diskussion sieht, offensichtlich nicht vertrauenswürdig. Eher verlässlich sind die vom RKI publizierten Zahlenwerte zu den symptomatischen Inzidenzen. Symptomatisch infiziert heißt, die Betroffenen weisen Symptome auf und sind positiv getestet. Bei diesem Personenkreis wird der Impfstatus erfasst. Jedenfalls trifft das für etwa 84 % der Fälle zu. Es gibt also immer noch eine Unsicherheit, aber sie erscheint tolerabel. Die symptomatischen Inzidenzen sind somit ein vernünftiger Ausgangspunkt für die Beurteilung der Infektionsdynamik im Hinblick auf Geimpfte und Ungeimpfte.

Oben hatten wir auf die nach Altersgruppen aufgesplitteten symptomatischen Inzidenzen für Ungeimpfte und Geimpfte in Kalenderwoche 47 (s. Abb. 1) abgehoben. Es war schon angemerkt worden, dass hier die spezifischen Inzidenzen dargestellt sind (also die Entsprechung zur mittleren Rubrik in Abb. 2). Das werden wir aber gleich korrigieren (s. Abb. 3).

Korrigierte Inzidenzen für Ungeimpfte und Geimpfte zur Statista Infografik

Abbildung 3: Korrigierte Inzidenzen für Ungeimpfte und Geimpfte hinsichtlich symptomatischer COVID-19-Fälle in KW 47 mit ausgewertetem Impfstatus. Korrektur zur eingebetteten Statista Infografik vom 13.12.2021 (s. Abb. 1). Man beachte die eklatanten Unterschiede bezüglich der Verhältnisse der Inzidenzen in den beiden Grafiken (s. Pfeile bei den Altersgruppen 18-59 und 60+).

Wie man Abb. 3 entnimmt, liegen die auf 100.000 Einwohner bezogenen Zahlenwerte deutlich niedriger als die auf die jeweiligen Gruppen bezogenen Inzidenzen (s. Abb. 1). Es zeigt sich eine gänzlich andere Botschaft als die von der Originalgrafik suggerierte. Besonders auffallend ist, dass nun die Inzidenzen der Geimpften höher liegen als die der Ungeimpften. Lediglich in der Altersgruppe 12-17 ist das nicht so, sie ist indes mit ca. 4,5 Mio. Individuen eine relativ kleine Gruppe und schlägt daher in der Gesamtschau (Rubrik rechts: alle) nicht durch. Insgesamt können wir daher festhalten, dass im Hinblick auf die symptomatischen Inzidenzen Ungeimpfte und Geimpfte die Infektionsdynamik in etwa gleicher Stärke bestimmen.

Was sagt die Wissenschaft zum Anteil der Ungeimpften am Infektionsgeschehen?

In einer relativ neuen Studie der Humboldt-Universität Berlin wird deutlich der hohe Anteil der Ungeimpften an der Infektionsdynamik hervorgehoben. Darüber wird z.B. so berichtet:

„Eine neue Studie zeigt, wie Geimpfte auf das Infektionsgeschehen einwirken: Nicht besonders stark“ (SZ).

Ungeimpfte am Großteil der Corona-Neuinfektionen beteiligt“ (SWR).

Oder: „Ungeimpfte an bis zu 90 Prozent aller Infektionen beteiligt“ (ntv).

Die letzte Aussage noch kürzer und prägnanter formuliert „Ungeimpfte (sind) an 8 bis 9 von 10 Neuinfektionen beteiligt“. – Das ist schon eine ziemlich klare Ansage zur Verantwortlichkeit am Infektionsgeschehen. Die Infektionstreiber sind also offenbar die Ungeimpften.

Doch ist das wirklich so eindeutig? Kann man das der Studie tatsächlich entnehmen? Oder werden hier Modellrechnungen überinterpretiert?

Wie entsteht ein mathematisches Modell?

Das grundsätzliche Vorgehen hinsichtlich des Modellaufbaus ist üblicherweise etwa folgendermaßen: Auf der Basis von Annahmen über die Infektionswege, Annahmen über die Kontakthäufigkeit von Ungeimpften und Geimpften, Annahmen über die Wahrscheinlichkeit einer Ansteckung unter Ungeimpften, unter Geimpften und zwischen den beiden Gruppen wird ein mathematisches Modell formuliert, das diese angenommenen Verhältnisse anhand von formelmäßigen Beziehungen adäquat widerspiegelt.

Mittels des Modells wird dann untersucht, ob die beobachteten Inzidenzen und ihre dynamische Entwicklung auf diese Weise nachgebildet werden können. Anschließend werden die Modellannahmen und ggf. die Zusammenhänge so lange verändert, bis sich eine gute Übereinstimmung zwischen den tatsächlichen Infektionszahlen und den vom Modell errechneten Zahlen ergibt.

Sofern dieses Ziel erreicht ist, darf man es in erster Näherung für plausibel halten, dass das aufgestellte mathematische Modell die realen Zusammenhänge angemessen abbildet. Ob es sich indes tatsächlich so verhält ist damit nicht bewiesen. Es ist i. A. sogar absolut unsicher, inwiefern ggf. andere Annahmen oder modifizierte Modellparameter zum selben Ergebnis führen könnten.

Modellrechnung versus Feldbeobachtung

Zunächst einmal muss man festhalten, dass die Aussage der Studie, an 9 von 10 Corona-Ansteckungen seien Ungeimpfte beteiligt, nicht das Ergebnis einer Feldbeobachtung ist. Es handelt sich vielmehr um das Resultat aus einer Modellierung. Ob die Modellaussage richtig oder falsch ist, hängt davon ab, inwiefern die Modellannahmen zutreffend sind.

Insofern im Modell die Annahme getroffen wird, Ungeimpfte seien erheblich ansteckender als Geimpfte, wird das Modell natürlich auch das Ergebnis ausweisen, dass Ungeimpfte deutlich häufiger als Geimpfte Verursacher von Infektionen sind. Im Allgemeinen wird durch die Wahl der Eingangsparameter das Modellverhalten und damit auch das Untersuchungsergebnis wesentlich vorherbestimmt – wäre es anders, brauchte man das Modell nicht.

Modelle haben beschreibenden Charakter, sie können (möglicherweise) mathematisch abbilden, was man beobachtet und können unter Umständen z. B. zur Vorhersage künftiger Entwicklungen eingesetzt werden. Prinzipbedingt kann ein Modell aber keinen Beweis liefern.

Es ist also keineswegs evident, dass „an 9 von 10 Corona-Ansteckungen Ungeimpfte beteiligt sind“, vielleicht ist es lediglich eine mögliche Erklärung für die beobachtete Entwicklung der Infektionszahlen – sofern sonst alles richtig gemacht wurde und – das ist ganz wichtig – die Annahmen in der Realität zutreffen.

Kurzanalyse zur zentralen Modellaussage

Was heißt eigentlich, Ungeimpfte seien „an 9 von 10 Corona-Ansteckungen beteiligt“? Das ist eine etwas spitzfindige Formulierung, denn es wird ja nicht gesagt, dass 9 mal mehr Ungeimpfte als Geimpfte infiziert seien. Es wird damit auch nicht behauptet, Geimpfte seien nur an einer von 10 Ansteckungen beteiligt, obwohl man sicher sein kann, dass nicht wenige genau diesen Schluss daraus ziehen werden.

Wie dem auch sei, die Aussage könnte man etwa folgendermaßen ausdeuten:

(1) Ein Ungeimpfter infiziert 9 Geimpfte, und einer der Geimpften infiziert einen weiteren Geimpften. Dann waren also die Ungeimpften an 9 von 10 Ansteckungen beteiligt. – Das ist die ausgesprochene Botschaft, wie sie sich in den Köpfen festsetzt. Nebenbei bemerkt, aber das geht unter: In diesem Falle sind die Geimpften bei 10 von 10 Übertragungen direkt involviert.

Es könnte aber auch so sein:

(2) Ein Ungeimpfter infiziert 5 andere Ungeimpfte und 4 Geimpfte. Einer der Geimpften infiziert einen weiteren Geimpften. Es gibt 10 Ansteckungen, an 9 davon 10 waren Ungeimpfte beteiligt. Zum Vergleich: Geimpfte waren nur in 5 Ansteckungen involviert.

Oder so:

(3) 5 Geimpfte infizieren 5 Ungeimpfte und einen Geimpften. Vier Ungeimpfte infizieren 4 andere Ungeimpfte. Wieder sind Ungeimpfte an 9 von 10 Ansteckungen beteilig, Geimpfte an 6 von 10.

Vielleicht auch so:

(4) 10 Geimpfte infizieren 9 Ungeimpfte und einen weiteren Geimpften. An 9 von 10 Ansteckungen waren wieder Ungeimpfte beteiligt, Geimpfte aber an 10.

Oder gar so:

(5) Ein Geimpfter infiziert einen anderen Geimpften und 9 Ungeimpfte. Dann waren also die Ungeimpften ebenso an 9 von 10 Ansteckungen beteiligt, Geimpfte waren immer dabei. – Diese Lesart drängt sich nicht auf, sie steht aber nicht im Widerspruch zur zentralen Aussage.

Was sagen die Felddaten?

Unabhängig von der vorstehenden – zugegebenermaßen sophistischen – Relativierung der Studienaussage, darf man ernsthafte Zweifel an eben diesem zentralen Resultat, Ungeimpfte seien „an 9 von 10 Corona-Ansteckungen beteiligt“, anmelden. Ein Befund, der insbesondere in dieser zugespitzten Form geeignet ist, die einseitige Schuldzuweisung an Ungeimpfte weiter zu verfestigen. So als sei diese Gruppe sozusagen alleinverantwortlich für die teilweise hohen Inzidenzen. Und dies ohne wirklich belastbare Belege.

Nach Meinung des Autors legen die Fakten eine andere Sicht nahe.

Laut Daten des RKI wurden z.B. für die Kalenderwoche 45 insgesamt 84.000 Fälle mit symptomatischer Erkrankung an Covid-19 gemeldet, davon 41.500 Ungeimpfte und 42.500 Geimpfte. Diverse Feldstudien belegen, dass sich bei etwa einem Drittel der Infizierten eine Symptomatik ausbildet. Demnach kann die Anzahl der infizierten Ungeimpften in KW 45 auf ca. 125.000 taxiert werden. Wenn man nun davon ausgeht, dass Geimpfte einen mindestens 50-prozentigen Schutz vor einer symptomatischen Erkrankung aufweisen, dann müssen ursprünglich sogar 255.000 (= 42.500*3*2) Geimpfte als Infizierte gezählt werden. Mithin entfallen auf einen infizierten Ungeimpften zwei infizierte Geimpfte.

Das ist ein ganz anders Bild als das aus dem Modell abgeleitete. Abbildung 4 zeigt den aus den genannten RKI-Daten resultierenden Inzidenzverlauf für Geimpfte und Ungeimpfte über mehrere Wochen hinweg. Man erkennt, dass die Inzidenzen für Geimpfte und Ungeimpfte bis zu KW 40 nicht wesentlich voneinander abweichen. Danach steigen die Inzidenzen der Geimpften stärker an und liegen aktuell knapp doppelt so hoch wie die der Ungeimpften.

Korrigierte Inzidenzen für Ungeimpfte und Geimpfte errechnet auf Basis der symptomatischen COVID-19-Fälle nach Daten des RKI

Abbildung 4: Korrigierte Inzidenzen für Ungeimpfte und Geimpfte errechnet auf Basis der  symptomatischen COVID-19-Fälle nach Daten des RKI von KW 28 bis KW 47. Die angegebenen Inzidenzwerte sind ggf. höher als die jeweils veröffentlichten Infektionszahlen. Das rührt daher, dass die vorliegenden Inzidenzen hochgerechnet sind und daher auch Anteile der Dunkelziffer an Infektionen enthalten können.

Welche Folgerungen kann man daraus ziehen?

Die aus den Daten des RKI bestimmte Relation zwischen der Anzahl der infizierten Ungeimpften und Geimpften entspricht bei der gegenwärtigen Impfquote in etwa dem Zahlenverhältnis zwischen Ungeimpften und Geimpften in der Bevölkerung (etwa 1:2).

Wenn also die absolute Zahl der infektiösen Geimpften doppelt so groß ist wie die Zahl der infektiösen Ungeimpften, dann darf man davon ausgehen, dass in der Realität, also abseits der oben exemplifizierten Kasuistik, Geimpfte im Vergleich zu den Ungeimpften auch einen entsprechend hohen Anteil am Infektionsgeschehen haben. Das ist jedenfalls plausibel. Es ist kaum vorstellbar, dass die Kausalität für diese hohe Infektionszahl bei den Geimpften zu fast 90 % auf Ungeimpfte zurückzuführen sein sollte. Sofern dies zuträfe, müsste sich dies auch in extrem hohen Inzidenzen der Ungeimpften zeigen.

Auch im internationalen Vergleich gibt es nach derzeitigem Stand keine greifbare Wechselbeziehung zwischen Inzidenzahlen und Impfquoten (s. [20]). Würde es eine Korrelation geben, dann müssten Länder mit hoher Impfquote, also zahlenmäßig wenigen Ungeimpften, i.A. niedrige Inzidenzen aufweisen. Das ist nicht der Fall.

Ein plausibles Alternativmodell

Eigene Modellüberlegungen (s. Anhang) basierend auf einem differenzierten Ansatz nach Altersgruppen und Impfstatus deuten auf eine in etwa ausgeglichene Kausalität der Ansteckungen zwischen Geimpften und Ungeimpften hin. Jedenfalls dann, wenn man von der Annahme ausgeht, infizierte Geimpfte seien um 50 % weniger ansteckend als Ungeimpfte und ihrerseits im Vergleich zu Ungeimpften um 50 % vor einer Ansteckung geschützt. Die Ergebnisse dazu finden sich in Abb. 5.

Aus Modellanalysen abgeleitete relative Häufigkeiten der Übertragungswege Ungeimpft-Ungeimpft (U-U), Ungeimpft-Geimpft (U-G), Geimpft-Ungeimpft (G-U) und Geimpft-Geimpft (G-G)

Abbildung 5: Aus Modellanalysen abgeleitete relative Häufigkeiten der Übertragungswege Ungeimpft-Ungeimpft (U-U), Ungeimpft-Geimpft (U-G), Geimpft-Ungeimpft (G-U) und Geimpft-Geimpft (G-G). Diese Verhältnisse stellen sich weitgehend unabhängig von der initialen Inzidenzverteilung ein. Annahmen: (1) infizierte Geimpfte sind um 50 % weniger ansteckend als Ungeimpfte; (2) Geimpfte sind gegenüber Ungeimpften um 50 % vor einer Ansteckung geschützt. (3) Betrachtungsdauer min. 3 Monate.

Natürlich ist auch das kein Beweis. Indes leuchtet das Resultat unmittelbar ein: Es gibt unter den Geimpften zwar doppelt so viele Infizierte (aufgrund der zweifachen Anzahl an Geimpften), da sie aber nur halb so infektiös sind, gleicht sich das in der Infektionsdynamik wieder aus. Analoges gilt auch für den umgekehrten Infektionsweg: halb so viele infektiöse Ungeimpfte, allerdings mit der doppelt so hohen Ansteckungsgefahr.

Das ist eine Momentaufnahme basierend auf der gegenwärtigen Impfquote. Mit steigender Impfquote wachsen erwartbar die Anteile der Geimpften und sinkt der Einfluss der Ungeimpften. Auf die absoluten Inzidenzzahlen hat das voraussichtlich keine durchschlagende Auswirkung (s. [20]).

Weitere Plausibilisierung

In Großbritannien hat man in einer großangelegten Studie über einige Monate hinweg PCR-Tests gleichermaßen für Ungeimpfte und Geimpfte durchgeführt. Dabei hat sich Folgendes ergeben: Die dort ebenfalls etwa doppelt so große Gruppe der Geimpften wies im Vergleich zur Gruppe der Ungeimpften eine doppelt so hohe Infektionszahl auf. D. h., die spezifischen Inzidenzen in den beiden Gruppen waren also gleich.

Dieses Ergebnis deckt sich mit der oben aus den vorliegenden Felddaten der symptomatischen Inzidenzen abgeleiteten Aussage für Deutschland. Es liegt daher nahe, dass die Ungeimpften und die Geimpften gleichermaßen und in etwa gemäß ihrem Anteil in der Bevölkerung die Infektionsdynamik bestimmen. Der wesentliche Unterschied besteht allerdings darin, dass die Ungeimpften, und darunter insbesondere die Älteren, die Intensivstationen überproportional belasten. Das aber ist ein ganz anderes Thema.

Es soll nicht unerwähnt bleiben, dass die Aussage zur in derselben Weise bestehenden Verantwortlichkeit sowohl der Ungeimpften wie auch der Geimpften nicht das bloße Ergebnis aus einer Modelluntersuchung ist, sondern vielmehr durch Feldbeobachtungen (Daten des RKI zu symptomatisch Infizierten, s. [18], Studie des UK Health Service, s. [19]) untermauert wird.


Anhang

Kurzbeschreibung des mathematischen Modells

\(N\) = Größe der Population.

\(N^{(j)}\) = Anzahl der Individuen in der Altersgruppe \(j\).

\begin{equation} \sum_{j=1}^{m}{ N^{(j)} } = N\end{equation}

\(u_{n}^{(j)}\) = Anzahl infektiöser Ungeimpfter in der Altersgruppe \(j\) und in der Periode \(n\).

\(g_{n}^{(j)}\) = Anzahl infektiöser Geimpfter in der Altersgruppe \(j\) und in der Periode \(n\).

\(U_{init}^{(j)}\) = Anzahl infizierter Ungeimpfter in der Altersgruppe \(j\) zu Begin des Betrachtungszeitraums.

\(G_{init}^{(j)}\) = Anzahl infizierter Geimpfter in der Altersgruppe \(j\) zu Begin des Betrachtungszeitraums.

\(U_{n}^{(j)}\) = Summe der infizierten Ungeimpften in der Altersgruppe \(j\) am Ende der Periode \(n\) .

\(G_{n}^{(j)}\) = Summe der infizierten Geimpften in der Altersgruppe \(j\) am Ende der Periode \(n\) .

\begin{equation} U_{n}^{(j)} = U_{init}^{(j)} + \sum_{k=0}^{n} { u_{k}^{(j)}} \end{equation}

\begin{equation} G_{n}^{(j)} = G_{init}^{(j)} + \sum_{k=0}^{n} { g_{k}^{(j)}} \end{equation}

\(q_{n}^{(j)}\) = Impfquote in der Altersgruppe \(j\) am Ende der Periode \(n\) .

Infizierte nach Impfstatus:

\begin{equation} a _{n} = \begin{pmatrix}
u_{n}^{(1)} \\ g_{n}^{(1)} \\ u_{n}^{(2)} \\ g_{n}^{(2)} \\ \vdots \\ u_{n}^{(m)} \\ g_{n}^{(m)}
\end{pmatrix} \end{equation}

Entwicklungsgesetz:

\begin{equation} a _{n+1} = F_{n} \cdot R \cdot a_{n} \end{equation}

Hierin ist \(F_{n}\) die Transformationsmatrix zur Berücksichtung der Anzahl der bereits Infizierten:

\begin{equation} F_{n} = \begin{pmatrix}
f_{n}^{(1,1)} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & f_{n}^{(2,2)} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & f_{n}^{(2m,2m)}
\end{pmatrix} \end{equation}

Dabei gilt für \( 1 \le j \le 2m \):

\begin{equation} f_{n}^{(j,j)} = \begin{cases}
1 -q_{n}^{(j)} – \frac{ U_{n}^{(j) }} { N^{(j) }}, & j \equiv 1 \mod 2 \\
q_{n}^{(j)} – \frac{ G_{n}^{(j) }} { N^{(j) }}, & j \equiv 0 \mod 2 \\
\end{cases} \end{equation}

Ferner wird die nach Geimpften und Ungeimpften differenziernde \(2m\times 2m \) Reproduktionsmatrix \(R\) eingesetzt, wobei:

\begin{equation} R = \begin{pmatrix}
r^{(1,1)} & r^{(1,2)} & \cdots & r^{(1,2m)} \\
r^{(2,1)} & r^{(2,2)} & \cdots & r^{(2,2m)} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
r^{(2m,1)} & r^{(2m,2)} & \cdots & r^{(2m,2m)}
\end{pmatrix} \end{equation}

Die Matrixelemente sind für \(1 \le i,j \le m\) folgendermaßen definiert:

\begin{equation} \begin{pmatrix}
r^{(2i-1,2j-1)} & r^{(2i-1,2j)} \\
r^{(2i,2j-1)} & r^{(2i,2j)}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
R_{uu}^{(i,j)} & R_{ug}^{(i,j)} \\
R_{gu}^{(i,j)} & R_{gg}^{(i,j)}
\end{pmatrix} \end{equation}

Hierin steht \( R_{uu}^{(i,j)} \) für den Reproduktionsfaktor von infektiösen Ungeimpften der Altersgruppe \(j\) auf Ungeimpfte der Altersgruppe \(i\). Analog steht \( R_{ug}^{(i,j)} \) für den Reproduktionsfaktor von infektiösen Geimpften der Altersgruppe \(j\) auf Ungeimpfte der Altersgruppe \(i\), \( R_{gu}^{(i,j)} \) für den Reproduktionsfaktor von infektiösen Ungeimpften der Altersgruppe \(j\) auf Geimpfte der Altersgruppe \(i\) sowie \( R_{gg}^{(i,j)} \) für den Reproduktionsfaktor von infektiösen Geimpften der Altersgruppe \(j\) auf Geimpfte der Altersgruppe \(i\).

Die Anzahl der Infektionen \(s_{n}^{(y,x)}\) in der Periode \(n\) nach Kausalität \(x \in \left\{ u,g\right\} \) und Ziel \(y \in \left\{ u,g\right\} \) wird wie folgt bestimmt:

\begin{equation} s_{n}^{(y,x)} = \left \lVert {F_{n} \cdot T^{(y)} \cdot R \cdot T^{(x)} \cdot a_{n}} \right \rVert_{1} \end{equation}

Dabei sind die \(2m\times 2m \) Matrizen \( T^{(x)} \), \(x \in \left\{ u,g\right\} \), definiert gemäß

\begin{equation} T^{(u)} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation} T^{(g)} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix} \end{equation}

Aufgelöst erhalten wir:

\begin{equation} s_{n}^{(u,u)} =\sum_{i=1}^{m} \left(\left( 1 – q_{n}^{(i)} – \frac{ U_{n}^{(i) }} { N^{(i)}} \right) \sum_{j=1}^{m} R_{uu}^{(i,j)} u_{n}^{(j)} \right) \end{equation}

\begin{equation} s_{n}^{(g,u)} =\sum_{i=1}^{m} \left(\left( q_{n}^{(i)} – \frac{ G_{n}^{(i) }} { N^{(i)}} \right) \sum_{j=1}^{m} R_{gu}^{(i,j)} u_{n}^{(j)} \right) \end{equation}

\begin{equation} s_{n}^{(u,g)} =\sum_{i=1}^{m} \left(\left( 1 – q_{n}^{(i)} – \frac{ U_{n}^{(i) }} { N^{(i)}} \right) \sum_{j=1}^{m} R_{ug}^{(i,j)} g_{n}^{(j)} \right) \end{equation}

\begin{equation} s_{n}^{(g,g)} =\sum_{i=1}^{m} \left(\left( q_{n}^{(i)} – \frac{ G_{n}^{(i) }} { N^{(i)}} \right) \sum_{j=1}^{m} R_{gg}^{(i,j)} g_{n}^{(j)} \right) \end{equation}

Über den Betrachtungszeitraum von \(n\) Perioden ergeben sich daher mit \(x,y \in \left\{ u,g\right\} \) die folgenden 4 Summen zur Gesamtanzahl der Infektionen in Bezug auf die entsprechenden Übertragungswege:

\begin{equation} S_{n}^{(y,x)} =\sum_{k=1}^{n} s_{n}^{(y,x)} \end{equation}

Für die obige Rechnung wurden drei Altersgruppen angesetzt (also \(m=3\,\)): 12-17, 18-59 und 60+ und ferner die folgenden Annahmen getroffen:

Infektionswahrscheinlichkeiten:

\begin{equation} \begin{pmatrix}
U \leftarrow U & U \leftarrow G \\
G \leftarrow U & G \leftarrow G
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0.2 & 0.1 \\
0.1 & 0.05
\end{pmatrix} \end{equation}

Impfquoten (näherungsweise konstant über den Betrachtungszeitraum):

\begin{equation} \begin{pmatrix}
q_{n}^{(12-17)} \\
q_{n}^{(18-59)} \\
q_{n}^{(60+)}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0.46 \\
0.75 \\
0.86
\end{pmatrix} \end{equation}


Quellen

[1] Ungeimpfte: Inzidenz ist deutlich höher als bei Geimpften in Bayern (augsburger-allgemeine.de)

[2] https://www.sueddeutsche.de/bayern/corona-bayern-archiv-1.5462482

[3] https://www.rtl.de/cms/noch-mehr-druck-auf-ungeimpfte-hamburg-weitet-2g-regel-weiter-aus-4871018.html

[4] https://www.lgl.bayern.de/gesundheit/infektionsschutz/infektionskrankheiten_a_z/coronavirus/karte_coronavirus/archiv.htm

[5] Coronavirus: Erläuterung des LGL zur Berechnung der 7-Tages-Inzidenz Geimpfte und Ungeimpfte (bayern.de)

[6] https://www.merkur.de/bayern/fdp-fordert-wegen-verzerrter-corona-zahlen-konsequenzen-zr-91160947.html

[7] Schlagabtausch wegen Corona-Zahlen: Auch Grüne gegen FDP (merkur.de)

[8] https://www.merkur.de/bayern/fdp-fordert-wegen-verzerrter-corona-zahlen-konsequenzen-zr-91160947.html

[9] https://www.br.de/nachrichten/bayern/wirbel-um-inzidenz-bei-ungeimpften-was-sie-wissen-muessen,Sqob2QX

[10] Corona: Kritik an Bayern und Hamburg wegen Inzidenzberechnung (faz.net)

[11] Datenfehler: Inzidenz für Ungeimpfte in Hamburg massiv zu hoch ausgegeben | STERN.de

[12] Inzidenz in Hamburg: Impfstatus der Infizierten oft unklar | NDR.de – Nachrichten – Hamburg – Coronavirus

[13] https://focus.de/politik/deutschland/zu-hohe-inzidenzen-bei-ungeimpften-falsche-impfstatistik-in-hamburg-vermutlich-durch-technischen-fehler-ausgeloest_id_27709540.html

[14] https://de.statista.com/infografik/26384/inzidenz-nach-impfstatus-und-altersgruppe/

[15] https://www.swr.de/wissen/neue-studie-ungeimpfte-sind-am-grossteil-der-neuinfektionen-beteiligt-100.html

[16] https://www.n-tv.de/wissen/Studie-Ungeimpfte-an-bis-zu-90-Prozent-aller-Infektionen-beteiligt-article22969390.html

[17] https://www.sueddeutsche.de/gesundheit/corona-pandemie-impfung-ungeimpfte-inzidenz-r-zahl-neuinfektionen-1.5476301?reduced=true

[18] Inzidenzen der symptomatischen und hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Impfstatus

[19] UK Health Security Agency: COVID-19 vaccine surveillance report week 42

[20] Gibt es eine Korrelation zwischen Impfquote und Inzidenz?

[21] Der Effekt der Corona-Impfung auf die Fallzahlen – sumymus blog

Der Effekt der Corona-Impfung auf die Fallzahlen

Zuammenfassung

Im Beitrag wird der Begriff der Impfstoff-Wirksamkeit erläutert und mit der Impfquote sowie der Hospitalisierung von Geimpften in Beziehung gesetzt. Auf dieser Basis wird eine Sensitivitätsanalyse der Fallzahlen von Geimpften und Ungeimpften hinsichtlich der Impfquote durchgeführt. Mit Hilfe von Felddaten des RKI werden auf dieser Grundlage ferner Abschätzungen zum Einfluss auf die Belegung der Intensivstationen und die Sterbefälle vorgenommen.

Im Ergebnis bringen höhere Impfquoten eine spürbare Entlastung bezüglich der Hospitalisierung und der Belegung von Intensivbetten. Die Fallzahlen werden merklich gesenkt, sie gehen aber nicht auf Null. Es bleibt ein immer noch hoher Sockelbestand an offenbar durch die Impfung allein – aufgrund von partiellem Impfwirkungsversagen – nicht vermeidbaren Fällen. Die Fallzahlen in der Altersgruppe 60+ überwiegen dabei deutlich.

Bezüglich der Todesfälle ein ähnlicher Befund: In der Altersgruppe 18-59 wird das – allerdings ohnehin schon geringe – Covid-19 Sterberisiko nochmals deutlich reduziert. Auch die Altersgruppe 60+ profitiert, wenn auch bei weitem nicht so stark. Das Covid-19 Sterberisiko der Älteren bleibt – aus ähnlichen Gründen wie oben – auch mit der Impfung auf einem vielfach höheren Niveau als bei den Jüngeren.

In der Gesamtbetrachtung spielt die Altersgruppe 12-17 keine Rolle, da hier nur sehr wenige Fälle von Intensivpflichtigen auftreten und Todesfälle nahezu überhaupt nicht vorkommen.

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Einleitung

Derzeit registrieren wir eine hohe Anzahl von hospitalisierten Geimpften. Viele fragen sich, wie kann das sein, angesichts einer angegebenen Wirksamkeit der Impfstoffe von teilweise 90 % und mehr?

Sicher, wir haben bereits eine hohe Impfquote, insbesondere in der Altersgruppe 60+. Von daher liegt es auf der Hand, dass auch der Anteil der Geimpften unter den an Covid-19 Erkrankten bzw. der intensiv-medizinisch behandelten Patienten wächst und mit steigender Impfquote weiter steigen wird. Die Impfung schützt ja nicht zu 100 % vor einer symptomatischen oder asymptomatischen Infektion und auch nicht zu 100 % vor schweren Krankheitsverläufen. Es ist daher klar: Wenn im Extremfall alle geimpft sind, werden selbstverständlich nur noch Geimpfte erkranken.

Impfdurchbruch versus Impfstoffversagen

Im RKI Wochenbericht vom 25.11.2021 ist der Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten der Altersgruppe 60+ für die Kalenderwochen 43 – 46 mit 56,0 % angegeben. Das ist eine erstaunliche hohe Zahl, wenn man bedenkt, dass zugleich die Impfquote in dieser Altersgruppe bei 86 % liegt.

Das RKI spricht hier übrigens von „Impfdurchbrüchen“. Eine etwas missverständliche Bezeichnung, denn es wird ja kein „Durchbruch“ erzielt, vielmehr handelt es sich um ein Impfstoffversagen. Richtigerweise sollte man daher davon sprechen, dass bei 56,0 % der Hospitalisierten der Altersgruppe 60+ ein Impfwirkungsversagen vorliegt.

Dieser exemplarische Befund mag grundsätzliche Zweifel an der Wirksamkeit der Impfstoffe nähren. Intuitiv vermutet man eine drastisch reduzierte Wirksamkeit der Impfung als Ursache für den hohen Anteil der hospitalisierten Geimpften. Dem ist indessen nicht so. Tatsächlich liegt die Impfwirksamkeit im konkreten Fall bei knapp 80 %. Das ist zwar weniger als die in der Zulassungsstudie bestimmte Zahl von 90 – 95 %, aber immer noch ein vergleichsweise hoher Schutz.

Was heißt eigentlich Wirksamkeit?

Um zu verstehen, wie die Impfwirksamkeit bestimmt wird betrachten wir ein Beispiel. Nehmen wir eine Kohorte von 1000 Geimpften und eine Vergleichsgruppe von 1000 Ungeimpften. Wenn in der Gruppe der Ungeimpften 20 Personen hospitalisiert werden und in der Gruppe der Geimpften nur 3, wie hoch ist dann die Impfwirksamkeit?

Wir unterstellen, dass die Personen in den beiden Gruppen nach Risikofaktoren, Alter und Geschlecht usw. identisch verteilt sind. Daher dürfen wir so tun, als sei die Impfung der einzige Unterschied zwischen den beiden Gruppen. Die Reduzierung um 17 Personen gegenüber den 20 Hospitalisierten in der Gruppe der Ungeimpften ist daher auf die Wirkung der Impfung zurückzuführen. Demnach ist die relative Wirksamkeit der Impfung einfach die Größe dieser Minderung bezogen auf die Anzahl der hospitalisierten Ungeimpften. Im konkreten Fall also (20 – 3) / 20 = 0,85 (= 85 %). Die Versagensquote ist das Komplement davon, also 1 – 0,85 = 0,15 (= 15 %).

Wie bestimmt man die Wirksamkeit?

Normalerweise hat man natürlich keine gleich große Vergleichsgruppe zu Verfügung. Wie sieht es also aus, wenn von 1000 Personen 900 geimpft und 100 ungeimpft sind? Angenommen, in der Gruppe der Ungeimpften treten 20 Erkrankungen auf, in der Gruppe der Geimpften dagegen 27.  Wie hoch ist dann die Impfwirksamkeit? – Die obige Berechnung können wir nun nicht mehr direkt anwenden, weil die Gruppen unterschiedlich groß sind. Wir müssen also die Gruppen gedanklich gleich groß machen, indem wir z.B. die Anzahl der Ungeimpften auf 900 hochskalieren. Entsprechend erhöht sich dann auch die Anzahl der Hospitalisierten um den Faktor 9 auf nun 180 Erkrankte. Diese stehen den 27 erkrankten Geimpften gegenüber. Wie oben erhalten wir die Impfwirksamkeit zu (180 – 27) / 180 = 0,85 (= 85 %).

Obwohl also die Impfwirksamkeit 85 % beträgt, liegen mehr Geimpfte als Ungeimpfte im Krankenhaus. In diesem Beispiel ist es konkret nachvollziehbar, wie das zustande kommt. Wenn aber nur die Impfquote und der Hospitalisierungsgrad der Geimpften bekannt sind erscheint das viel abstrakter. Tatsächlich gelten indessen dieselben Prinzipien. Der allgemeine formelmäßige Zusammenhang zur Bestimmung der Impfwirksamkeit \(W\) ist

\begin{equation} W = \frac{n_{u} \cdot q \, – n_{g} \cdot \left (1 – q \right ) } { n_{u} \cdot q } \end{equation}

Dabei gilt:

\(n_{g} \) = Anzahl der Fälle unter den Geimpften

\(n_{u} \)  = Anzahl der Fälle unter den Ungeimpften

\(q \)  = Impfquote

Gekürzt erhalten wir

\begin{equation} W = 1 – \frac{ 1-q } {q} \cdot \frac{n_{g}} { n_{u} } \end{equation}

Mit \(n_{g} + n_{u} = n \) als Gesamtanzahl der Inzidenzen sowie mit \(g = \frac{n_{g}} { n} \) als Anteil der Geimpften und \(u = \frac{n_{u}} { n} \) als Anteil der Ungeimpften folgt

\begin{equation} W = 1 – \frac{ 1-q } {q} \cdot \frac{g} {u } \end{equation}

Wenn wir \(g + u = n \) berücksichtigen, erhalten wir schließlich die einfache symmetrische Formel

\begin{equation} W = 1 – \frac{ 1-q } {q} \cdot \frac{g} { 1-g } \end{equation}

Analyse der Wirkungsformel

Der resultierende Zusammenhang zwischen der Hospitalisierung Geimpfter und der Wirksamkeit des Impfstoffs ist nachfolgend grafisch gargestellt (s. Abb. 1).

Abbildung 1: Retrograde Bestimmung der Wirksamkeit des Impfstoffs aus der Hospitalisierung Geimpfter für unterschiedliche Impfquoten.

Abbildung 1: Retrograde Bestimmung der Wirksamkeit des Impfstoffs aus der Hospitalisierung Geimpfter für unterschiedliche Impfquoten. Man erkennt, dass bei gegebener Impfquote die resultierende Wirksamkeit mit steigendem Hospitalisierungsgrad erst langsam, dann aber rasch (überproportional schnell) fällt. Beispiel: Bei einer Impfquote von 80 % (dunkelgrüne Kurve) und einem Geimpftenanteil unter den Hospitalisierten von 20 % ergibt sich eine Impfstoffwirksamkeit von 94 %.

Ein Beispiel: Wenn sich bei gleich bleibender Impfquote von 80 % die Hospitalisierung von 20 % auf 50 % erhöht, dann spricht das für eine Reduzierung der Impfstoffwirksamkeit von ca. 94 % auf 75 %.

Solange der Hospitalisierungsgrad kleiner als \( \frac{q}{10-9q} \)  bleibt, liegt die Wirksamkeit noch über 90 %. Bei einer Impfquote von 70 % wird diese Grenze ab einem Geimpften-Hospitalisierungsanteil von knapp 19 % unterschritten. Eine höhere Impfquote von 90 % führt dagegen noch bei einem Hospitalisierungsanteil von Geimpften in Höhe von 47 % zu einer Wirksamkeit von über 90 %. Bei 95 % Impfquote wird die entsprechende Hospitalisierungsgrenze auf etwa 65 % hinausgeschoben.

Grenzbetrachtungen zur Wirkungsformel

Für Hospitalisierungsgrade um Null fällt die Wirksamkeit um \(10\cdot\frac{1-q}{q}\) Prozent für einen Anstieg der Hospitalisierung um 10 Prozent (also z.B. um 10 % bei einer Impfquote von 50 % und um etwa 1 % bei einer Impfquote von 90 %).

Die Wirksamkeit ist Null, wenn der Hospitalisierungsgrad \(g\) bis zur Höhe der Impfquote \(q\) ansteigt. Die Steigung der Kurve ist dabei \(\frac{-1}{q\left(1-q\right)}\), so dass z.B. bei einer Impfquote von \(q=0.5\) die Wirksamkeit pro Erhöhung des Hospitalisierungsgrads um 1 Prozent um 4 % fällt; bei \(q=0.9\) gar um etwa 11 %.

Der Hospitalisierungsanteil Geimpfter aus Impfquote und Wirksamkeit

Eigentlich wollen wir wissen, wie hoch der erwartete Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten bei gegebener Wirksamkeit der Impfung sein wird. Dazu müssen wir die obige Formel nach \(g\) umstellen und erhalten:

\begin{equation} g=1-\frac{1-q}{1-qW} \end{equation}

Analyse der Hospitalisierungsformel

Man entnimmt dem Zusammenhang unmittelbar, dass bei einer Wirksamkeit von \(W = 1\), wie nicht anders zu erwarten, der Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten stets gleich 0 ist. Wenn die Impfquote den Betrag \(\frac{1}{2-W}\) übersteigt, dann liegt der Geimpften-Anteil mindestens bei 50 %. Bei einer Wirksamkeit von 80 % ist das demnach schon bei einer Impfquote von 83 % der Fall. Sofern die Impfquote mindestens gleich der Impfstoff-Wirksamkeit ist, erreicht der Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten knapp 50 %. Das ist es, was wir derzeit angesichts einer Impfquote von 86,1 % in der Altersgruppe 60+ und einer Wirksamkeit in ähnlicher Höhe sehen.

In Abb. 2 ist die Abhängigkeit von der Impfquote für den Geimpften-Anteil unter den Hospitalisierten bei unterschiedlichen Wirksamkeiten grafisch dargestellt.

Abbildung 2: Hospitalisierung Geimpfter in Abhängigkeit von der Impfquote für unterschiedliche Stufen der Wirksamkeit des Impfstoffs.

Abbildung 2: Hospitalisierung Geimpfter in Abhängigkeit von der Impfquote für unterschiedliche Stufen der Wirksamkeit des Impfstoffs. Man erkennt, dass bei gegebener Wirksamkeit des Impfstoffs der Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten mit wachsender Impfquote erst leicht und dann rasch (überproportional) steigt. Beispiel: Bei einer Impfstoffwirksamkeit von 70 % (gelbe Kurve) und einer Impfquote von 70 % ergibt sich der Anteil der hospitalisierten Geimpften zu ca. 40 %.

Wenn die Impfquote bei einer Impfstoffwirksamkeit von 90 % (dunkelgrüne Kurve) von 80 % auf 90 % erhöht wird, dann wächst der Anteil der Geimpften unter den Hospitalisierten bereits um fast 20% von etwa 28 % auf 47 %.

Für Impfquoten gleich der Wirksamkeit oder höher steigt der Anteil der Geimpften für jedes weitere Prozent an höherer Impfquote mindestens um den Prozentbetrag \( \frac{1}{4\left(1-W\right)} \) (also z.B. um > 2,5 % bei einer Steigerung der Impfquote von 90 % auf 91 % und einer Wirksamkeit von 90 %).

Grenzbetrachtungen zur Hospitalisierungsformel

Bei einer Impfquote von Null steigt der Hospitalisierungsgrad bei einer kleinen Änderung der Impfquote \(\Delta q\) um \(\left(1-W\right)\Delta q \) (also z.B. um 5 % bei einer Steigerung der Impfquote von 0 auf 10 % und einer Wirksamkeit von 50 %).

Den steilsten Anstieg registriert man für hohe Impfquoten nahe 100 %. Der Anteil der Geimpften wächst hier um knapp \(\frac{1}{\left(1-W\right)}\) Prozent für jedes weitere Prozent an höherer Impfquote (also z.B. um ca. 10 % bei einer Steigerung der Impfquote von 99 % auf 100 %) und einer Wirksamkeit von 90 %.

Vertiefte Analyse über den Zusammenhang zwischen Wirksamkeit, Hospitalisierungsanteil und Impfquote

Die Erhöhung der Impfquote zieht bei gleichbleibender oder sinkender Wirksamkeit des Impfstoffs immer auch einen Anstieg beim Anteil der Hospitalisierten unter den Geimpften nach sich. Scheinbar paradoxerweise fällt der Anstieg umso steiler aus, je höher die Impfquote ist.

Für kleine Variationen \(\Delta q\) der Impfquote und kleine Variationen \(\Delta W\) in der Wirksamkeit kann man die resultierende Veränderung der Hospitalisierung mittels des folgenden Differentials bestimmen.

\begin{equation} \Delta g = \frac{ 1-W } { \left(1-qW \right)^{2} } \Delta q \; – \frac{ q\left(1-q\right) } { \left(1-qW \right)^{2} } \Delta W \end{equation}

Die Hospitalisierung bleibt dabei gleich, wenn die kleine Variation der Impfquote bezüglich der Wirksamkeit entsprechend

\begin{equation} \Delta W = \frac{1-W}{q \left(1-q \right)} \Delta q \end{equation}

kompensiert wird. Das gilt natürlich auch umgekehrt für die Impfquote bezüglich einer eventuellen Veränderung in der Wirksamkeit.

Grafische Darstellung als Hospitalisierungs-Heatmap

Das nachfolgende Diagramm (s. Abb. 3) zeigt den Zusammenhang zwischen der Impfquote, der Wirksamkeit des Impfstoffs und dem Anteil der hospitalisierten Geimpften in Form einer Heatmap. Man erkennt hier ganz klar, dass die gewünschten und im Sinne der Pandemiebekämpfung sinnvollen hohen Impfquoten unweigerlich zu einem höheren Anteil der hospitalisierten Geimpften führen. Die von der Sache her auf der Hand liegende Notwendigkeit einer möglichst hohen Wirksamkeit des Impfstoffs wird daraus ebenfalls deutlich.

Wenn der Schutz auf Werte von etwa 75 % zurückgeht (was bei einer länger zurückliegenden Impfung i.d.R. zu erwarten ist), steigt der Anteil der hospitalisierten Geimpften bei Impfquoten über 80 % schnell auf Werte von über 50 %. Derzeit beobachten wird das teilweise im Hinblick auf die Altersgruppe 60+, was die Dringlichkeit der Auffrischungsimpfung insbesondere für die Ältesten nachdrücklich belegt. Umgekehrt bleibt man bei Wirksamkeiten über 90 % sogar noch bei Impfquoten um 90 % im grün-gelben Bereich und damit bei Hospitalisierungsanteilen der Geimpften von unter 50 %.

Abbilddung 3: Zusammenhang zwischen der Impfquote, der Wirksamkeit des Impfstoffs und dem Anteil der hospitalisierten Geimpften in Form einer Heatmap.

Abbilddung 3: Zusammenhang zwischen der Impfquote, der Wirksamkeit des Impfstoffs und dem Anteil der hospitalisierten Geimpften in Form einer Heatmap. Gleiche Farben bedeuten gleiche Hospitalisierungsanteile. Der grüne Bereich steht für Anteile < 40 %, der gelbe für Werte um 50 %, der rote für Hospitalisierungsanteile > 60 %. Für ausgewählte Werte sind die Linien gleicher Hospitalisierung gestrichelt eingetragen. Am Schnittpunkt einer gestrichelten Kurve mit der x-Achse kann der betreffende Hospitalisierungsanteil unmittelbar abgelesen werden. Beispiel: Für eine Impfquote von 70 % und eine Impfstoffwirksamkeit von 80 % entnehmen wir dem Diagramm, dass der Anteil der hospitalisierten Geimpften ca. 30 % beträgt (vierte gestrichelte Kurve von links).

Anwendung auf die erhobenen Zahlenwerte

Mit dem erarbeiteten Rüstzeug können wir nun die eingangs formulierten Fragen zur Wirksamkeit und zur Hospitalisierung im Hinblick auf die aktuellen Felddaten schlüssig klären. Nach den RKI Zahlen liegt die Impfquote für die Altersgruppe 60+ bei \(q=86.1\%\), zugleich ist die Inzidenzquote der Geimpften unter den Hospitalisierten mit \(g=56.0\%\)  angegeben. Daraus errechnen wir die resultierende Impf-Wirksamkeit zu

\begin{equation} W=1-\frac{1-0.861}{0.861}\cdot\frac{0.560}{1-0.560}=0.795 \end{equation}

Felddaten zur Hospitalisierung Geimpfter und Ableitung der Impfstoff-Wirksamkeit

Nachfolgend sind für die Altersgruppen 60+ und 18-59 die Hospitalisierung, die Belegung der Intensivstationen und die Corona-Todesfälle bei Geimpften und Ungeimpften in der Kalenderwoche 43-46 grafisch dargestellt. Aus den entsprechenden Inzidenzen wurden mit obiger Formel die resultierenden Impfwirksamkeiten berechnet, die sämtlich bei um 80 % und teilweise über 90 % liegen und damit die hohe Impfstoff-Wirksamkeit bestätigen.

Abbildung 4: Altersgruppe 60+ – Hospitalisierung, Belegung der Intensivstationen und Corona-Todesfälle bei Geimpften und Ungeimpften in der Kalenderwoche 43-46.

Abbildung 4: Altersgruppe 60+ – Hospitalisierung, Belegung der Intensivstationen und Corona-Todesfälle bei Geimpften und Ungeimpften in der Kalenderwoche 43-46. Die blaue Linie zeigt die resultierende Impfwirksamkeit im Hinblick auf die drei genannten Inzidenzarten. Der relativ große Anteil der Geimpften in allen drei Kategorien steht nicht im Widerspruch zur (im Mittel immer noch) hohen Wirksamkeit der Impfstoffe und erklärt sich vielmehr aufgrund der Impfquote von fast 90 %.

Abbildung 5: Altersgruppe 18-59 – Hospitalisierung, Belegung der Intensivstationen und Corona-Todesfälle bei Geimpften und Ungeimpften in der Kalenderwoche 43-46.

Abbildung 5: Altersgruppe 18-59 – Hospitalisierung, Belegung der Intensivstationen und Corona-Todesfälle bei Geimpften und Ungeimpften in der Kalenderwoche 43-46. Die blaue Linie zeigt die resultierende Impfwirksamkeit im Hinblick auf die drei genannten Inzidenzarten. Der Anteil der Ungeimpften auf den Intensivstationen ist in dieser Altersgruppe mit fast 85 % sehr hoch. Das ist auf die im Vergleich zur Altersgruppe 60+ geringere Impfquote von ca. 75 % zurückzuführen. Die Wirksamkeit der Impfstoffe liegt bei knapp 90 % und darüber.

Aus den vorstehenden Grafiken zeigt sich deutlich, dass es völliger Unsinn ist, von einer „Pandemie der Ungeimpften“ zu sprechen. Zwar betrifft die Mehrzahl der im Krankenhaus behandelten Covid-19-Fälle – insbesondere auch derer auf der Intensivstation – die Ungeimpften, allerdings ist der Anteil der Geimpften mit immerhin 46 % bis 56 % in der Altersgruppe 60+ erheblich.

Analyse der Felddaten nach absoluten Zahlen

Mit Fortschreiten der Impfquote wird der Anteil der geimpften Covid-19-Patienten zwangsläufig weiter steigen, wie wir oben gesehen haben. Entscheidend für die Lage in den Krankenhäusern sind indes die absoluten Fallzahlen, nicht der Impfstatus der Patienten. Dazu betrachten wir die beiden nachfolgenden Grafiken.

Abbildung 6: Absolute Zahlen für die Hospitalisierung von Geimpften und Ungeimpften in den Altersgruppen 18-59 und 60+ im Zeitraum KW 43-46.

Abbildung 6: Absolute Zahlen für die Hospitalisierung von Geimpften und Ungeimpften in den Altersgruppen 18-59 und 60+ im Zeitraum KW 43-46. Die Zahl der ungeimpften Patienten überwiegt deutlich, doch ist die Anzahl der Geimpften erheblich und keinesfalls vernachlässigbar.

Abb. 6 kann man entnehmen, dass die Zahl der ungeimpften Patienten überwiegt, allerdings ist die Anzahl der Geimpften erheblich und keinesfalls vernachlässigbar. Ähnlich ist es bezüglich der Neubelegung von Intensivbetten und der zu verzeichneten Todesfälle, wie wir in Abb. 7 sehen können.

Abbildung 7: Absolute Zahlen für die Neubelegung von Intensivbetten und Todesfällen von Geimpften und Ungeimpften in den Altersgruppen 18-59 und 60+ im Zeitraum KW 43-46.

Abbildung 7: Absolute Zahlen für die Neubelegung von Intensivbetten und Todesfällen von Geimpften und Ungeimpften in den Altersgruppen 18-59 (im Vordergrund mit helleren Farbtönen) und 60+ (im Hintergrund mit dunkleren Farbtönen) im Zeitraum KW 43-46. Auffällig ist die relativ hohe Anzahl von Ungeimpften aus der Altersgruppe 18-59 auf der Intensivstation.

Eine nennenswerte Anzahl von ungeimpften Intensivpflichtigen kommt aus der Altersgruppe 18-59. Insgesamt überwiegen jedoch deutlich die Patienten und Todesfälle aus der Altersgruppe 60+. Damit zeigt sich einmal mehr das schon sein Beginn der Pandemie beobachtete Bild, nachdem insbesondere die Älteren von Covid-19 betroffen sind. Die Verfügbarkeit von Impfstoffen und die in dieser Altersgruppe hohe Impfquote von fast 90 % haben daran nur wenig  geändert.

Theoretische Bestimmung der Fallzahlen

Im Folgenden werden wir untersuchen, wie sich die Änderung der Impfquote auf die absolute Anzahl der Hospitalisierten, der Belegung der Intensivbetten und der Todesfälle auswirkt. Wir können die oben dokumentierte Formel über den Zusammenhang zwischen der Wirksamkeit, der Impfquote und dem Anteil der Geimpften auf die Kohorte der symptomatisch an Coivid-19 Erkrankten anwenden. Im Ergebnis erhalten wir so aus der symptomatischen Wirksamkeit den Anteil der symptomatisch erkrankten Geimpften und entsprechend auch den Anteil der Ungeimpften. Wenn wir also die Gesamtanzahl der symptomatisch Erkrankten kennen, so können wir daraus unmittelbar die absoluten Zahlen der Ungeimpften und Geimpften mit Symptomen bestimmen.

Völlig analog gilt das auch für die hospitalisierten und die intensivpflichtigen Patienten. Sogar die Sterbefälle können wir so bestimmen. Dazu brauchen wir nur noch die entsprechenden Risikofaktoren. Wir müssen also z.B. das Risiko für die Hospitalisierung eines symptomatisch an Covid-19 erkrankten Geimpften oder Ungeimpften kennen. Des weiteren das Risiko eines symptomatisch an Covid-19 erkrankten Geimpften oder Ungeimpften für die Einweisung auf die Intensivstation. Und zuletzt auch das Sterberisiko eines symptomatisch an Covid-19 erkrankten Geimpften oder Ungeimpften.

Nennen wir die Gesamtanzahl der symptomatisch Erkrankten in einem betrachteten Zeitraum \(a_{sympt}\) sowie die Risikofaktoren für die Hospitalisierung \(r_{g_{Hosp}}\) bzw. \(r_{u_{Hosp}}\). Ferner nennen wir die Anzahl der hospitalisierten Geimpften \(g_{Hosp}\) und die der Ungeimpften \(u_{Hosp}\).

\begin{align} g_{Hosp} &= r_{g_{Hosp}} \left(1-\frac{1-q}{1-qW_{sympt}}\right)a_{sympt} \\ u_{Hosp} &= r_{u_{Hosp}} \frac{1-q} {1-qW_{sympt}}\cdot\ a_{sympt} \end{align}

Die resultierende Gesamtanzahl der Hospitalisierten ist folglich

\begin{equation} a_{Hosp} = \left(r_{g_{Hosp}} +\left( r_{u_{Hosp}} – r_{g_{Hosp}} \right) \cdot \\ \qquad \frac{1-q}{1-qW_{sympt}}\right) a_{sympt} \end{equation}

Feinanalyse der Fallzahlen

Für die Bestimmung der Sensitivität bei Änderungen der Impfquote ist es nützlich, die Ableitung nach \(q\) zu betrachten:

\begin{equation} \frac{da_{Hosp}}{dq} = -\left( r_{u_{Hosp}} – r_{g_{Hosp}} \right) \cdot \\ \qquad \qquad \qquad \quad \frac{ 1-W_{sympt} } {\left( 1-qW_{sympt} \right)^{2} } \cdot a_{sympt} \end{equation}

Die relative Änderung der Hospitalisierung bei Änderungen der Impfquote kann auf dieser Basis folgendermaßen errechnet werden:  

\begin{equation} \frac{\frac{da_{Hosp}}{dq}}{a_{Hosp}} = \frac{-\left(\frac{r_{u_{Hosp}}} {r_{g_{Hosp}}}-1\right) \frac{1-W_{sympt}}{1-qW_{sympt}} } {\frac{r_{u_{Hosp}}} {r_{g_{Hosp}}} \left(1-q\right)+q\left(1-W_{sympt}\right)} \end{equation}

Völlig analog ergeben sich auch die entsprechenden Formeln für die Intensivpflichtigen und die Sterbefälle. Dabei verwenden wir die analog benannten Risikofaktoren \(r_{g_{ITS}}\) und \(r_{g_{Sterbe}}\) bzw. \(r_{u_{ITS}}\) und \(r_{u_{Sterbe}}\). Für die Fallzahlen der Geimpften und Ungeimpften schreiben wir \(g_{ITS}\), \(u_{ITS}\), \(a_{ITS}\), \(g_{ Sterbe }\), \(u_{ Sterbe }\) sowie \(a_{ Sterbe }\).

Sensitivitätsanalyse – Überblick

Die aus den Formelbeziehungen resultierenden typischen Abhängigkeiten stellen wir nachfolgend exemplarisch anhand der Belegung von Intensivbetten dar. Es soll dabei zunächst nur um die Sensitivitätsanalyse gehen. Die realen Zahlen aufgesplittet nach Altersgruppen folgen weiter unten. Für die Sensitivitätsanalyse legen wir die folgenden Zahlenwerte zugrunde:

  • Wirksamkeit des Impfstoffs in Bezug auf eine symptomatische Erkrankung = 75 %.
  • Risiko eines symptomatisch an Covid-19 erkrankten Geimpften für die Einweisung auf die Intensivstation = 1,0 %.
  • Risiko eines symptomatisch an Covid-19 erkrankten Ungeimpften für die Einweisung auf die Intensivstation = 4,0 %.

Prinzipielle Abhängigkeit der Fallzahlen von der Impfquote

Basis für die exemplarischen Berechnungen ist die Annahme von insgesamt 10.000 symptomatisch Infizierten (Summe der Geimpften und Ungeimpften).

Abbildung 8: ITS-Neueinweisungen in Abhängigkeit von der Impfquote.

Abbildung 8: ITS-Neueinweisungen in Abhängigkeit von der Impfquote. Als Bezugsgröße wurden 10.000 symptomatisch Infizierte angenommen.

Man sieht, dass mit steigender Impfquote die Fallzahlen für die Ungeimpften (orangefarbene Säulen) kontinuierlich abnehmen. Zugleich steigen die Zahlen für die Geimpften (grüne Säulen). Indessen wird die Zunahme bei Letzteren durch den Rückgang der Einweisungen bei den Ungeimpften überkompensiert, so dass in Summe (gestrichelte Linie) die Fallzahlen sinken. Ein Beispiel für eine Impfquote von 80 %: Die Anzahl der Neueinweisungen von Ungeimpften liegt bei etwa 200 Personen (orange Säule). Entsprechend haben wir hier 50 intensivpflichtige Geimpfte (grüne Säule). Insgesamt beträgt die Fallzahl der neu Intensivpflichtigen somit 250 (gestrichelte Linie bei 80 %).

Änderung der Fallzahlen bei Erhöhung der Impfquote

Je höher die Impfquote, desto größer ist offensichtlich der Effekt auf den weiteren Rückgang der Fallzahlen bei Fortsetzung der Impfkampagne. Der prinzipiell bestehende Zusammenhang wird in Abb. 9 visualisiert.

Abbildung 9: Differenz der ITS-Neueinweisungen bei Erhöhung der Impfquote um 1 %. Als Bezugsgröße wurden 10.000 symptomatisch Infizierte angenommen.

Abbildung 9: Differenz der ITS-Neueinweisungen bei Erhöhung der Impfquote um 1 %. Als Bezugsgröße wurden 10.000 symptomatisch Infizierte angenommen. Der obere Rand der grünen Fläche steht für die Erhöhung der Neubelegung von Intensivbetten mit Geimpften bei einer Steigerung der Impfquote um 1 %. Entsprechend markiert der untere Rand der orangefarbenen Fläche die gleichzeitige Abnahme der Fallzahlen bei den Ungeimpften. Die gestrichelte Linie zeigt die Summe daraus.

Ein Beispiel: Wenn die bestehende Impfquote von 85 % um 1 % erhöht wird, sinkt die Anzahl der Neueinweisungen von Ungeimpften im Mittel um etwa 7,5 Personen (orange Kurve bei 85 %). Zugleich erhöht sich die Anzahl der Neueinweisungen von Geimpften um 2 Personen (grüne Kurve bei 85 %). Insgesamt müssen daher im Mittel ca. 5,5 Personen weniger neu auf die Intensivstation verlegt werden.

Relative Änderung der Fallzahlen bei Erhöhung der Impfquote

In den vorangegangen Betrachtungen wird Bezug genommen auf die zugrundeliegende Inzidenz der symptomatisch Erkrankten. Eine davon unabhängige Sicht bietet Abb. 10. Hier wird der relative Rückgang der Fallzahlen exemplarisch quantifiziert.

Abbildung 10: Relativer Rückgang der ITS-Neueinweisungen bei Erhöhung der Impfquote um 1 %.

Abbildung 10: Relativer Rückgang der ITS-Neueinweisungen bei Erhöhung der Impfquote um 1 %. Die Kurve zeigt an, um wieviel Prozent die Fallzahlen für die neu Intensivpflichtigen bei einer Erhöhung der Impfquote um 1 % zurückgehen. Beispiel: Wenn eine bestehende Impfquote von 65 % um 1 % erhöht wird, sinkt die Gesamtanzahl der Neueinweisungen (von Geimpften und Ungeimpften) im Mittel um etwa 1 %. Bei einer Impfquote von 80 % verdoppelt sich der relative Rückgang bei einer weiteren Erhöhung auf 2 %.

Man erkennt, dass der Effekt auf die Fallzahlen mit steigender Impfquote überproportional schnell wächst. Bei niedrigen Impfquoten bringt die Steigerung der Quote nur einen geringen Gewinn. Je höher die Impfquote, desto größer der resultierende relative Rückgang der Fallzahlen bei einer weiteren Anhebung der Impfquote. Der Maximalwert ist abhängig von den zugrunde gelegten Risikofaktoren. Für die maximal mögliche Steigerung erhält man

\begin{equation} \frac{\frac{da_{Hosp}}{dq}} {a_{Hosp}} = \frac{ \frac{r_{u_{Hosp}}} { r_{g_{Hosp}} } -1} { 1-W_{sympt} } \end{equation}

Zahlenwerte mit näherem Realitätsbezug – Überblick

Nach dieser eher theoretischen Sensitivitätsanalyse kommen wir nun zu den nach Altersgruppen aufgesplitteten Zahlen mit näherem Realitätsbezug. Für die relevanten Risikofaktoren werden die in Tab. 1 aufgelisteten Werte angesetzt.

Tabelle 1: Risikofaktoren

Tabelle 1: Risikofaktoren für Hospitalisierung, Intensivbehandlung und Tod nach einer symptomatischen Erkrankung an Covid-19 für Geimpfte und Ungeimpfte getrennt nach Altersgruppen. Zugrunde gelegt wurden die Rohdaten des RKI aus den Kalenderwochen 41 – 47. Die tatsächlichen Werte schwanken und wurden daher für die Tabelle über 7 Wochen gemittelt und gerundet.

Wir haben im vorangehenden Abschnitt gesehen, welchen grundsätzliche Einfluss die Impfquote auf die Fallzahlen hat. Nun wollen wir fragen, wie sich die entsprechende Steigerung der Quote bzw. die Impfung einer bestimmten Personenanzahl je nach Altersgruppe auf die Fallzahlen auswirkt. Für die drei betrachteten Altersgruppen werden die Wirksamkeiten 90 % (12-17), 75 % (18-59) und 70 % (60+) angesetzt.

Das RKI hat im Wochenbericht vom 02.12.2021 mit 90 % (12-17), 65 % (18-59) und 58 % (60+) etwas geringere Werte genannt (s. [2]). Wir legen dennoch die höheren Wirksamkeiten zugrunde. Begründung: Man kann davon auszugehen, dass die aktuell niedrigeren Zahlen auf einen nur temporär bestehenden größeren Anteil von Personen mit nachlassendem Impfschutz zurückzuführen ist. Sobald die ausstehenden Auffrischungsimpfungen nachgeholt sind, wird sich das aller Voraussicht nach wieder normalisieren. Mit den kleineren Wirksamkeiten wird der Effekt höherer Impfquoten auf die Reduzierung der Fallzahlen abgeschwächt. Hinsichtlich der Sensitivitätsanalyse ändert sich indes nichts Grundsätzliches.

Änderung der Neu-Hospitalisierung bei Erhöhung der Impfquote um 1 %

In Abb. 11 ist der Einfluss einer um 1 % höheren Impfquote auf die Neu-Hospitalisierung pro Altersgruppe dargestellt.

Abbildung 11: Änderung der Neu-Hospitalisierung bei einer um 1% höheren Impfquote.

Abbildung 11: Änderung der Neu-Hospitalisierung bei einer um 1% höheren Impfquote. Annahme: Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 200 / 18-59: 100 / 60+: 50 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 80). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. Darauf beziehen sich die Säulen. Die punktierte Linie mit den Rauten zeigt die relative Änderung der Gesamt-Bettenbelegung (über alle Altersgruppen) an. S. hierzu die rechte Achse.

Die Impfquotenänderung bezieht sich jeweils auf die entsprechende Altersgruppe mit den auf der x-Achse dokumentierten Bezugsgrößen. Je nach Altersgruppe hat die 1-prozentige Erhöhung einen unterschiedlichen Effekt auf die resultierende Gesamtimpfquote. Die Auswirkung ist unten links im Diagramm aufgelistet.

Wie ist das Diagramm zu interpretieren? In der Altersgruppe 12-17 bringt die Steigerung der Impfquote um 1 %  (bei gleicher symptomatischer Inzidenz) nahezu nichts. Man erkennt weiter, dass Impfungen in der Altersgruppe 60+ den größten Ertrag nach sich ziehen, trotz der mit 0,29 % nur etwa halb so hohen Steigerung der Gesamt-Impfquote im Vergleich zur Gruppe der 18-59-Jährigen. Im Beispiel verringert sich die Fallzahl bei den Ungeimpften um 43. Zugleich erhöht sich die Fallzahl um 23 bei den Geimpften. In Summe kommt es zu einer Reduzierung um 20 Personen. In der Altersgruppe 18-59 ist der Effekt in Summe nur halb so stark ausgeprägt.

Änderung der Neu-Hospitalisierung bei 1 Million zusätzlichen Impfungen

Betrachten wir zum Vergleich den Fall von 1 Million zusätzlichen Impfungen in den jeweiligen Altersgruppen (s. Abb. 12). Der Aufwand ist in diesem Fällen stets derselbe. Welchen Nutzen bringt dies?

Abbildung 12: Änderung der Neu-Hospitalisierung bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen.

Abbildung 12: Änderung der Neu-Hospitalisierung bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen. Annahme: Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 200 / 18-59: 100 / 60+: 50 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 80). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. Darauf beziehen sich die Säulen. Die punktierte Linie mit den Rauten zeigt die relative Änderung der Gesamt-Bettenbelegung (über alle Altersgruppen) an. S. hierzu die rechte Achse.

Die resultierenden Impfquotenänderungen 1 Mio. Impfungen sind unten links im Diagramm aufgelistet. In der kleinsten Gruppe der 12-17-Jährigen macht dies eine um 22 % höhere Impfquote aus. Trotzdem ist der Nutzen in Form der Reduzierung von Fallzahlen null. Die Altersgruppe 18-59 ist die größte, 1 Mio. Impfungen führen hier nur zu einer um 2,2% höheren Impfquote. Immerhin ergibt sich bei 37 weniger hospitalisierten Ungeimpften und 13 mehr hospitalisierten Geimpften in der Bilanz eine Verringerung der Fallzahlen um 24.

Deutlich größer ist wieder der Effekt in der Altersgruppe 60+. Eine Million zusätzliche Impfungen (das entspricht  hier einer um 4,2 % höheren Impfquote) reduzieren die Zahl der neu hospitalisierten Ungeimpften um 180 Personen. Auch wenn dem ein Anstieg bei den neu hospitalisierten Geimpften um 95 Personen entgegensteht, bleibt unterm Strich mit einer Reduzierung der Neubelegung um 85 Personen mit Abstand der größte Gewinn. Es sind mehr als 3-mal soviel, wie in der doppelt so großen Gruppe der 18-59-Jährigen. Das sieht man auch bei der relativen Veränderung der Belegungszahlen (blau gestrichelte Linie). Die Fallzahlen sinken um mehr als 3 %, gegenüber knapp 1 % in der Altersgruppe 18-59.

Änderung der Anzahl der neu Intensivpflichtigen bei 1 Million zusätzlichen Impfungen

Aus vorstehender Abb. 12 wird in der Gesamtschau unmittelbar klar, dass man (zunächst einmal) vorrangig in der Gruppe der Älteren impfen muss. Dieser Schluss wird weiter untermauert, wenn man die Auswirkung auf die Belegung der Intensivbetten und die Todesfallzahlen mit in den Blick nimmt. Die beiden nachfolgenden Abbildungen (Abb. 13 und 14) zeigen dies nachdrücklich.

Aus Abb. 13 geht hervor, dass bezüglich der Neubelegung von Intensivbetten, Impfungen in der Altersgruppe 60+ einen fast 6-mal höheren Nutzen haben als in der Altersgruppe 18-59. Natürlich gilt dieser Befund in der Langfristperspektive nicht mehr, wenn alle Älteren geimpft sind und die Impfquote bei den Jüngeren ebenfalls in die Nähe von 90 % oder darüber kommt. Es trifft aber jedenfalls in der gegenwärtigen Situation zu, wo – trotz der hohen Impfquote von 86 % – noch viele Ältere nicht geimpft sind oder einen nachlassenden Impfschutz aufweisen. Im Kontrast dazu sind Impfungen in der Altersgruppe 12-17 (und erst recht bei Kindern) im Effekt auf die Belegung von Intensivbetten geradezu wirkungslos.

Abbildung 13: Änderung der Neubelegung von Intensivbetten bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen.

Abbildung 13: Änderung der Neubelegung von Intensivbetten bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen. Annahme: Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 200 / 18-59: 100 / 60+: 50 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 80). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. Darauf beziehen sich die Säulen. Die punktierte Linie mit den Rauten zeigt die relative Änderung der Gesamt-Bettenbelegung (über alle Altersgruppen) an. S. hierzu die rechte Achse.

Änderung der neuen Covid-19 Sterbefälle bei 1 Million zusätzlichen Impfungen

In einem nochmals stärkerem Kontrast zeigen sich die Verhältnisse, wenn man auf die Todesfallzahlen blickt (s. Abb. 14). Diesbezüglich nimmt man die größten Unterschiede zwischen den drei Altersgruppen wahr. Es zeigt sich, dass 1 Mio. zusätzliche Impfungen in den Altersgruppen 12-17 oder 18-59 keine nennenswerte Auswirkung auf Fallzahlen haben. Erst wenn man in den Bereich von mehreren Millionen Neu-Impfungen kommt, sieht man einen Effekt. Der Grund dafür liegt auf der Hand: Das Corona-Sterberisiko in den Altersgruppen 12-17 und 18-59 ist mit und ohne Impfung zigfach niedriger als in der Altersgruppe 60+. Unabhängig von der Impfquote bleibt daher die Anzahl der Corona-Toten bei den Jüngeren relativ niedrig. Im Gegensatz dazu verringern sich indes die Todesfallzahlen bei den Über-60-Jährigen trotz der schon vergleichsweise hohen Impfquote von 86 % weiter um mehr als 6 % (-35 Ungeimpfte, +15 Geimpfte, macht -20 in der Bilanz).

Abbildung 14: Änderung der Todesfallzahlen bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen.

Abbildung 14: Änderung der Todesfallzahlen bei 1 Mio. zusätzlichen Impfungen. Annahme: Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 200 / 18-59: 100 / 60+: 50 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 80). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. Darauf beziehen sich die Säulen. Die mit Rauten markierte punktierte Linie zeigt die relative Änderung der Gesamt-Bettenbelegung (über alle Altersgruppen) an. Sie bezieht sich auf die rechte y-Achse.

Belastbarkeit der getroffenen Aussagen

Bezüglich der direkten Auswirkungen auf die Fallzahlen bei zunehmendem Impffortschritt haben wir in der vorstehenden Analyse einen guten Überblick gewonnen. Der Anspruch war und ist dabei aber nicht, exakt vorherzubestimmen, wie sich die Zahlen entwickeln werden. Dafür ist das publizierte Zahlenmaterial des RKI nicht geeignet, weil z.B. der Impfstatus der Getesteten nicht zuverlässig erfasst wird. Die Zusammensetzung der Testkohorte spiegelt lediglich rechtliche Vorgaben wider. Nötig wäre aber eine Orientierung an wissenschaftlichen Grundsätzen. In letzter Konsequenz sind daher die veröffentlichten Inzidenzen nur grobe Schätzungen.

Darüber hinaus gibt es keine Zahlen über die tatsächliche Verbreitung des Virus unter den nicht Getesteten. Um diese Zahl zumindest verlässlich abschätzen zu können, wären regelmäßige anlasslose Tests über einen repräsentativen Bevölkerungsquerschnitt erforderlich. Das alles steht  nicht zur Verfügung, weswegen Vorhersagen über die künftigen Inzidenzen bei höherer Impfquote mit Unsicherheit belastet sind.

Mittelbar bleiben daher auch die Effekte im Hinblick auf die Hospitalisierung, die Belegung von Intensivbetten und letztlich auch die Sterbefälle unsicher. Um diese Unwägbarkeiten ein Stück weit abzumildern, haben wir deshalb die Aussagen auf die Inzidenz betreffend der symptomatisch an Covid-19 Erkrankten bezogen. Je nach Altersgruppe kann die tatsächliche Anzahl der Infizierten (also der positiv Getesteten) um den Faktor 2 bis 5 höher liegen.

Eine Schwäche mag man darin sehen, dass der möglicherweise günstige Einfluss von höheren Impfquoten auf die Infektionszahlen außen vor geblieben ist. Indessen gibt es Gründe für die Annahme einer nur schwachen Korrelation zwischen Inzidenz und Impfquote (s. [11]). Unabhängig von diesen zweifellos bestehenden Unschärfen gibt die vorstehende Analyse nichtsdestotrotz zutreffende Einblicke in die herrschenden Gesetzmäßigkeiten und gibt richtige Hinweise auf die zu präferierenden Handlungsoptionen.

Was können wir bei einer deutlich gesteigerten Impfquote erwarten?

Wir wollen abschließend einen kurzen Blick auf die mittelfristige Zukunft mit einer möglichen Impfquote von 82 % wagen. Als Referenz ist in Abb. 15 die Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 68,5 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 dargestellt. Zum Vergleich findet sich in Abb. 16 die Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 82 % (mit den in der Grafik angegebenen altersgruppenspezifischen Impfquoten).

Abbildung 15: Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 68,5 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100

Abbildung 15: Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 68,5 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. In den 3 Rubriken mit den Altersgruppen ist zudem die zutreffende gruppenspezifische Impfquote genannt.

Abbildung 16: Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 82 %. unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100

Abbildung 16: Neubelegung von Intensivbetten bei einer Gesamt-Impfquote von 82 %. unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Links ist die Änderung in der Bettenbelegung aufgetragen. In den 3 Rubriken mit den Altersgruppen ist zudem die zutreffende gruppenspezifische zukünftige Impfquote genannt.

Impfquoten 68,5 % und 82 % im Vergleich – Neubelegung von Intensivbetten

Unter Verzicht auf die Trennung in Geimpfte und Ungeimpfte zeigt Abb. 17 die direkte Auswirkung der höheren Impfquote: Sowohl in der Altersgruppe 18-59 als auch in der Gruppe 60+ sinken die Neubelegungen bei einer Impfquote von 82 % gegenüber heute signifikant, wenngleich in beiden Gruppen immer noch eine erhebliche Anzahl Intensivpflichtiger verbleibt.

Es soll an dieser Stelle nochmals hervorgehoben werden: Die im Rechenbeispiel unterstellte Impfquote von 82 % bedeutet, dass 95 % aller Erwachsenen geimpft sind.

Abbildung 17: Neubelegung von Intensivbetten – Vergleich Impfquoten 68,5 % und 82 %

Abbildung 17: Neubelegung von Intensivbetten – Vergleich Impfquoten 68,5 % und 82 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Die entsprechenden gruppenspezifischen Impfquoten sind in den beiden Kästchen aufgelistet.

Am Ende kommt es darauf an, die Gesamtbelegung klein zu halten, daher wollen wir in Abb. 18 die Differenzierung nach Altersgruppen beiseite lassen.

Abbildung 18: Summenbetrachtung zur Neubelegung von Intensivbetten – Vergleich der Impfquoten 68,5 % und 82 %

Abbildung 18: Summenbetrachtung zur Neubelegung von Intensivbetten – Vergleich der Impfquoten 68,5 % und 82 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Die entsprechenden gruppenspezifischen Impfquoten sind in den beiden Kästchen aufgelistet.

Wie man dem Säulendiagramm in Abb. 18 entnimmt, verringert sich die Zahl der Neubelegungen knapp um ein Drittel. Zwar sinkt die Anzahl der ungeimpften Patienten deutlich um etwa 60 %, zugleich aber steigt die Zahl der Geimpften Intensivpflichtigen um ca. 40 %. Für diesen Erfolg muss man die Impfquoten in den Altersgruppen 18-59 und 60+ jeweils auf 95 % hochschrauben. Der Anteil der Altersgruppe 12-17 ist so marginal, dass man in nicht näher betrachten muss. Bei einer reduzierten Wirksamkeit des Impfstoffs (s. obige Diskussion) würden hier jeweils die Anteile der Ungeimpften etwas kleiner und die der Geimpften etwas größer ausfallen.

Impfquoten 68,5 % und 82 % im Vergleich – Auswirkung auf die Todesfallzahlen

In Analogie zum vorangehenden Abschnitt betrachten wir noch zwei Grafiken zum Effekt auf die Sterbefälle.

Abbildung 19: Neue Sterbefälle – Vergleich Impfquoten 68,5 % und 82 %

Abbildung 19: Neue Sterbefälle – Vergleich Impfquoten 68,5 % und 82 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Die entsprechenden gruppenspezifischen Impfquoten sind in den beiden Kästchen aufgelistet.

Im Vergleich zu den Werten in der Altersgruppe 60+ sind die Sterbefallzahlen in der Altersgruppe 18-59 drastisch kleiner und werden durch die 95%-Impfquote nochmals halbiert (s. Abb. 19). Die Grafik verdeutlicht aber auch, dass die höhere Impfquote an der Gefährdungslage für die Älteren nichts Grundlegendes ändern kann. Zwar sinken die Fallzahlen, es bleibt jedoch immer noch einer hoher Bestand an Sterbefällen.

Abbildung 20: Summenbetrachtung zu den Todesfallzahlen – Vergleich der Impfquoten 68,5 % und 82 %

Abbildung 20: Summenbetrachtung zu den Todesfallzahlen – Vergleich der Impfquoten 68,5 % und 82 % unter der Annahme einer Inzidenzverteilung nach Altersgruppen gemäß 12-17: 300 / 18-59: 200 / 60+: 100 (entspricht einer Gesamtinzidenz von 154). Die entsprechenden gruppenspezifischen Impfquoten sind in den beiden Kästchen aufgelistet.

In der Summenbetrachtung (s. Abb. 20) wird nochmals herausgestellt, was man von der hohen 95%-Impfquote (betreffend der Erwachsenen) erwarten kann und was nicht. Die Todesfallzahlen gehen signifikant zurück, sie bleiben aber auf hohem Niveau, weil der Anteil der erkrankten Geimpften mit der Impfquote steigt. Der Hauptgrund dafür ist die limitierte Wirksamkeit der Impfstoffe im Hinblick auf den Schutz vor Ansteckung, den Schutz vor schweren Verläufen und den nur begrenzten Schutz vor einem tödlichen Ausgang, insbesondere bei den Älteren. Als Risikofaktor kommt die mit der Zeit offenbar allgemein nachlassende Schutzwirkung erschwerend hinzu.

Resümee

Wie man der vorstehenden Analyse unschwer entnehmen kann, bringen höhere Impfquoten eine spürbare Entlastung bezüglich der Hospitalisierung und der Belegung von Intensivbetten. Die Fallzahlen werden merklich gesenkt, sie gehen aber nicht auf null. Es bleibt ein immer noch hoher Sockelbestand an offenbar durch die Impfung allein – aufgrund von partiellem Impfwirkungsversagen – nicht vermeidbaren Fällen. Die Fallzahlen in der Altersgruppe 60+ überwiegen dabei deutlich.

Bezüglich der Todesfälle ein ähnlicher, teilweise aber differenzierter Befund: In der Altersgruppe 18-59 wird das ohnehin schon vergleichsweise geringe Covid-19 Sterberisiko nochmals deutlich reduziert. Auch die Altersgruppe 60+ profitiert, wenn auch nicht so stark. Das Covid-19 Sterberisiko der Älteren bleibt auch mit der Impfung – aus ähnlichen Gründen wie oben – auf einem vielfach höheren Niveau als bei den Jüngeren.

In der Gesamtbetrachtung spielt die Altersgruppe 12-17 keine Rolle, da hier nur sehr wenige Fälle von Intensivpflichtigen auftreten und Todesfälle nicht bis äußerst selten vorkommen.

Bezüglich der Tragfähigkeit der Aussagen sei an dieser Stelle nochmals auf die Diskussion zum verwendeten Zahlenmaterial verwiesen.


Quellenverzeichnis

[1] RKI-Wochenberichte zu COVID-19
https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenberichte_Tab.html

[2] RKI-Wochenbericht vom 2.12.2021
https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenbericht_2021-12-02.pdf?__blob=publicationFile

[3] RKI-Wochenbericht vom 25.11.2021
https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenbericht_2021-11-25.pdf?__blob=publicationFile

[4] RKI-Wochenbericht vom 18.11.2021 https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenbericht_2021-11-18.pdf?__blob=publicationFile

[5] RKI-Wochenbericht vom 11.11.2021
https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Wochenbericht/Wochenbericht_2021-11-11.pdf?__blob=publicationFile

[6] Inzidenzen der symptomatischen und hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Impfstatus
RKI – Coronavirus SARS-CoV-2 – Inzidenzen der symptomatischen und hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Impfstatus (Tabelle jeden Donnerstag aktualisiert)

[7] 7-Tage-Inzidenzen nach Bundesländern und Kreisen (fixierte Werte) sowie 7-Tage-Inzidenz der hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Bundesländern (fixierte Werte)
RKI – Coronavirus SARS-CoV-2 – 7-Tage-Inzidenzen nach Bundesländern und Kreisen (fixierte Werte) sowie 7-Tage-Inzidenz der hospitalisierten COVID-19-Fälle nach Bundesländern (fixierte Werte), Stand: 6.12.2021

[8] Tabelle mit den gemeldeten Impfungen nach Bundesländern und Impfquoten nach Altersgruppen (6.12.2021, Tabelle wird montags bis freitags aktualisiert)
RKI – Coronavirus SARS-CoV-2 – Tabelle mit den gemeldeten Impfungen nach Bundesländern und Impfquoten nach Altersgruppen (6.12.2021, Tabelle wird montags bis freitags aktualisiert)

[8] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

[9] Die ominöse Herdenimmunität

[10] Paul-Ehrlich-Institut: Corona Sicherheitsbericht

[11] Gibt es eine Korrelation zwischen Impfquote und Inzidenz?

Gibt es eine Korrelation zwischen Impfquote und Inzidenz?

Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz

(Am Ende des Textes finden sich Updates mit Datenstand 01.12.2021, 15.12.2021 und 01.01.2022)

In der Grafik (s. Abb. 1) sind die Impfquoten verschiedener Länder gegen die jeweiligen 7-Tage Inzidenzen aufgetragen. Auf den ersten Blick erkennt man keinen Zusammenhang. Es gibt Länder mit hoher Impfquote und niedriger Inzidenz (z.B. Portugal), sowie solche mit niedriger Impfquote und hoher Inzidenz (z.B. Österreich), so wie man das erwartet. Das Gegenteil sieht man aber auch: Länder mit niedriger Impfquote und niedriger Inzidenz (z.B. Schweden) und solche mit relativ hoher Impfquote und gleichzeitig aber auch höherer Inzidenz (z.B. Island).

Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz in ausgewählten Ländern (x-y-Diagramm) – Datenstand 16.11.2021

Abbildung 1: Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz in ausgewählten Ländern (x-y-Diagramm) – Datenstand 16.11.2021

Ist da überhaupt eine statistische Korrelation?

Idealerweise würde man eine Korrelation von -1 oder nahe daran erwarten, also einen eindeutig negativen Zusammenhang zwischen Impfquote und Inzidenz. Tatsächlich liegt die statistische Korrelation bei einem Koeffizienten von -0,15. Die Korrelation ist also nicht Null, sie ist aber so gering, wie etwa die mögliche Wechselbeziehung zwischen dem Verkauf von Waschpulver in München und den Tageshöchsttemperaturen in Wanne-Eickel. Mit anderen Worten: Es gibt keine Korrelation. Jedenfalls bestand sie nicht zum Zeitpunkt der Datenerhebung.

Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz in ausgewählten Ländern (Säulendiagramm) – Datenstand 16.11.2021

Abbildung 2: Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz in ausgewählten Ländern (Säulendiagramm) – Datenstand 16.11.2021

Welche Folgerungen kann man daraus ableiten?

Natürlich darf man daraus nicht schließen, dass Impfen nichts bringt. Eine direkte Auswirkung auf die Inzidenzen hat die Impfquote aber offensichtlich nicht. Das ist indes nicht verwunderlich! Zwar schützt die Impfung gut vor schweren Verläufen, sie kann aber Infektionen unter Geimpften und zwischen Geimpften und Ungeimpften nicht unterbinden. Hier liegt der Schutz etwa zwischen 70 % und 90 %, das ist sogar weniger, als Masken und Abstand in vielen Situationen gewährleisten können. Die Impfung kann also Masken und Abstand nicht ohne Weiteres ersetzen.

Bei dieser Ausgangslage ist damit klar: Es gibt keine Pandemie der Ungeimpften. Die Pandemie betrifft alle. Das liegt schon in der Bedeutung des Wortes. Die Ungeimpften kann man schlechterdings nicht für den begrenzten Infektionsschutz der Impfung verantwortlich machen – und erst Recht nicht für die über die Zeit nachlassende Impfwirkung.

Schutzwirkung der Impfung

Wie man mittlerweile aus Studien weiß, verringert sich die Schutzwirkung bereits im Verlaufe von einigen Monaten nach der Impfung. In Abhängigkeit vom Impfstoff und dem Alter des Impflings ist der Schutz in vielen Fällen bereits nach 4 – 7 Monaten stark reduziert und mitunter kaum noch vorhanden. Das ist sicher mit ein Grund für die hohe Inzidenz bezüglich der schweren Verläufe und auch für die Todesfälle unter den Geimpften in der Altersgruppe 60+. Rechnerisch ist die Impfquote hier mit 85,6 % sehr hoch, aber die Zweitimpfung liegt vielfach schon mehr als 6 Monate zurück. Insbesondere für die vulnerablen Gruppen gibt es deswegen derzeit keine realistische Alternative zur Auffrischungsimpfung. Genau dies rechtzeitig zu planen und umzusetzen hat die Politik – leider zum wiederholten Male – verabsäumt.

Trotz dieser Fakten wirft man seitens der Politik den Ungeimpften gerne Verantwortungslosigkeit und unsolidarisches Verhalten vor. Man redet mittlerweile gar unverblümt von einer möglichen Impfpflicht.

Sind die Ungeimpften verantwortungslos und unsolidarisch?

Doch trifft dies wirklich zu? Sind die Ungeimpften Schuld daran, wenn die Belegung der Intensivstationen an die Kapazitätsgrenze gerät? Wenn das Pflegepersonal auf den Intensivstationen überlastet wird? Wenn heute weniger Intensivstationen betrieben werden können als noch vor einem Jahr, weil das Pflegepersonal fehlt?

Geimpfte Patienten machen – u.a. aus den o.g. Gründen – zwar bereits 45 %, der Neueinweisungen in der Altersgruppe 60+ aus. Richtig ist aber, dass die Ungeimpften unter den Hospitalisierten einen überproportional hohen Anteil stellen. Deswegen tragen die Ungeimpften zweifellos einen Teil der Verantwortung. In einer ersten unreflektierten Reaktion mag man Ihnen gar die Schuld an der Situation im Krankenhaus zuweisen. Doch ist dies allzu einseitig und greift zu kurz, denn die Ursachen für die relativ hohe Belegung der Intensivstationen und die Belastung des Pflegepersonals liegen tiefer. Die Gründe sind schon seit längerem bekannt. Die Entscheider haben aber nicht gehandelt.

Pandemie der Unfähigen

Im Verlauf der letzten Monate wurde die Bettenkapazität auf Intensivstationen um mindestens 4000 reduziert. Die Begründung dafür lässt aufhorchen: Es fehlen nicht etwa die technischen Geräte, sondern das Pflegepersonal. Und weil das Pflegepersonal knapp ist, müssen die (noch) Einsetzbaren über ihre Belastungsgrenze hinausgehen. Wer trägt dafür die Verantwortung?

Weder die Geimpften noch die Ungeimpften kann man dafür verantwortlich machen. Unabhängig von der pandemischen Lage muss man daher festhalten, dass zuvorderst andere in die Pflicht zu nehmen sind, die es an Solidarität und Verantwortung haben missen lassen. In erster Linie sind da zu nennen:

  • Politiker, die nicht rechtzeitig vorgesorgt haben, sei es durch Planung der Auffrischungsimpfung oder durch Vorgaben an die Gesundheitsinfrastruktur.
  • Krankenhausträger und Krankenhausbetreiber, die die Arbeitsbedingungen für das Pflegepersonal so gestaltet haben, dass jenes die Flucht ergreift.
  • Und nochmals die Politik, die es versäumt hat, praxisgerechte Vorgaben für die Behebung des Pflegenotstands zu  machen.

Die verantwortlichen Politiker haben fahrlässig unzumutbare Arbeitsbedingungen für das Pflegepersonal geschaffen bzw. hingenommen. Das nenne ich wirklich verantwortungslos. Es wird aber offensichtlich klaglos akzeptiert. Die wirtschaftlichen Zwänge erfordern dies, wird dazu gerne gesagt.

Sarkastisch könnte man hinzufügen: Jetzt muss man nur noch die Intensivbettenkapazität um weitere 2.000 Betten reduzieren, dann hat man schon bei einer Inzidenz von 100 die „Katastrophe“. – Mich wundert, wie wenig dies in den Medien thematisiert wird. Besonders perfide finde ich, dass man nun pauschal die Gruppe der Ungeimpften zu Sündenböcken erklärt und damit von den eigenen Versäumnissen ablenkt. Offenbar ist man damit wirklich erfolgreich.

Es ist keine Pandemie der Ungeimpften, sondern eine Pandemie der Unfähigen, der Ignoranten und der Pflichtvergessenen.

Solidarität vs. Individualität

Indem man damit beginnt, das individuelle und im Rahmen demokratischer Freiheitsrechte liegende Verhalten Einzelner als unsolidarisch zu qualifizieren, öffnet man damit die Büchse der Pandora. Wenn wir das tun, sind alsbald auch Raucher, Alkoholtrinker, Autofahrer, (Extrem-) Sportler und Übergewichtige, die direkt oder indirekt für zehntausende Tote p. a. sorgen und das Gesundheitssystem nachweisbar belasten unsolidarisch. Die Liste könnte man noch weiter fortführen, man sieht aber schon daran, dass man in eine Sackgasse gerät.

Allein 330.00 Todesfälle jährlich sind die Folge von Herz-Kreislauferkrankungen – einige 10.000 davon vermeidbar bei halbwegs gesundheitsbewusster Lebensführung. Vor dem Tod steht nicht selten der Krankenhausaufenthalt und damit letztlich eine zumindest teilweise vermeidbare Belegung von Krankenbetten. 

Es ist völlig unangebracht, die Gruppe der Covid-19-Ungeimpften isoliert der Verantwortungslosigkeit zu bezichtigen (auch wenn es sicher einige darunter geben mag, die Kritik verdienen, weil sie sich allzu sorglos verhalten). Solidarität ist immer eine freiwillige Leistung, sie ist keine Bringschuld. Wenn sie zur Pflicht wird, ist es keine Solidarität mehr.

Die Absurdität des an Ungeimpfte gerichteten pauschalen Vorwurfs unsolidarischen Verhaltens ist offenkundig.


Update vom 01.12.2021

In den meisten Ländern sind die Inzidenzzahlen trotz Erhöhung der Impfquote weiter gestiegen. In Portugal und Spanien haben sich die Werte verdoppelt. Der Korrelationskoeffizient beträgt nun -0,09. Die Wechselbeziehung zwischen Impfquote und Inzidenz ist daher nochmals unschärfer als Mitte November (s. Abb. 1.1). Es gibt also keine Korrelation zwischen der Impfquote und den Inzidenzzahlen.

Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz in ausgewählten Ländern (x-y-Diagramm) – Datenstand 01.12.2021

Abbildung 1.1: Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz in ausgewählten Ländern (x-y-Diagramm) – Datenstand 01.12.2021


Update vom 15.12.2021

Die Inzidenzzahlen in Ländern mit vormals niedrigen Infektionszahlen sind weiter gestiegen, in Ländern mit hoher Inzidenz sind sie gefallen. Die Impfquoten-Musterschüler Portugal und Spanien haben es „geschafft“, ihre Inzidenzwerte innerhalb von 4 Wochen um den 3 bzw. 6 zu erhöhen. Zugleich wurde überall weiter geimpft. Der Korrelationskoeffizient liegt nahezu unverändert bei -0,07. Nach wie vor gilt daher: Es gibt keine Korrelation zwischen Impfquote und Inzidenzzahlen.

Was ebenfalls auffällt: Die Panikmache in Deutschland ist beispiellos. Haben vielleicht doch die Recht, die sagen, die Situation in den deutschen Krankenhäusern hat weniger mit Corona, aber viel mit dem hausgemachten und von politischer Seite geduldeten Pflegenotstand zu tun? Im Laufe des Jahres hat man die Kapazität an Intensivbetten um 4000 reduziert („stillgelegt“) und nichts dafür getan, die Arbeitsbedingungen in der Pflege zu verbessern.

Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz in ausgewählten Ländern – Datenstand 15.12.2021

Abbildung 1.2: Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz in ausgewählten Ländern (x-y-Diagramm) – Datenstand 15.12.2021


Update vom 01.01.2022

Der Korrelationskoeffizient liegt nun bei +0,35. Es gibt also eine schwach-positive Korrelation: Je höher die Impfquote, desto größer die Inzidenz (s. Abb. 1.3). Keine Frage, das ist nicht die gewünschte Form der Wechselbeziehung. Es ist definitiv die falsche Richtung. Man kann sich die Realität halt nicht stricken.

Die Impfquoten-Musterschüler Portugal und Spanien sind mittlerweile als Hochrisikogebiete eingestuft. Desgleichen u.a. Frankreich, Italien und Dänemark. Das rigide Corona-Management in Italien und Frankreich konnte ebenfalls nicht verhindern, dass sich dort die Inzidenzzahlen im Verlauf der letzten 6 Wochen vervielfacht haben – trotz gleichzeitig gestiegener Impfquote. Auch in andern Ländern ist das der Fall (s. Abb. 1.4).

Dafür wird man nun wohl Omikron verantwortlich machen. Immer gut, wenn es einen Schuldigen gibt. Nach wie vor gilt natürlich: Inzidenzen sind nur Indizien für ein mögliches Risiko. Eigentlich geht es um die schweren Krankheitsverläufe. Auch wenn die Impfung vor Omikron weniger schützt als vor Delta, es bleibt immerhin noch eine gewisse Schutzwirkung. Insbesondere Gefährdete mit vielen Kontakten können daher ihr eigenes Erkrankungsrisiko mit einer Impfung substanziell reduzieren. Gewiss, ein egoistisches Motiv, aber es kann wirken.

Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz in ausgewählten Ländern – Datenstand 01.01.2022

Abbildung 1.3: Impfquote vs. 7-Tage-Inzidenz in ausgewählten Ländern (x-y-Diagramm) – Datenstand 01.01.2022

Verlauf von Impfquote und Inzidenz über 6 Wochen

Abbildung 1.4: Verlauf von Impfquote und Inzidenz über 6 Wochen. Die Pfeile zeigen, wie sich die Impfquoten und vor allem die Inzidenzen vom 16.11.2021 bis zum 01.01.2022 entwickelt haben. In fast allen Ländern gibt es eine Bewegung hin zu höheren Inzidenzen bei gleichzeitig leicht gestiegenen Impfquoten.


Quellen:

[1] Corona-in-Zahlen für Deutschland und weltweit – aktuelle COVID-19 Kennzahlen

[2] Video: tagesthemen 21:45 Uhr – tagesthemen – ARD | Das Erste

(„Ungeimpfte sind unsolidarisch“ – Kommentar von Sarah Frühauf, MDR: https://www.daserste.de/information/nachrichten-wetter/tagesthemen/videosextern/tagesthemen-21-45-uhr-202.html)

[3] Corona-Impfung: So lange wirken Biontech, Moderna und Co. | BR24

[4] Wie lange schützt der Impfstoff von Biontech, Moderna und Astrazeneca | Spektrum

[5] „Impfen ist ein patriotischer Akt“ – Spahn will den Druck auf Ungeimpfte im Herbst erhöhen

[6] Ärztekammer kritisiert Beschluss zu Kinderimpfungen scharf

[7] Coronavirus: Fakten und Infos | Deutsche Krankenhausgesellschaft e. V. (dkgev.de)

[8] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

[9] Die ominöse Herdenimmunität

[10] Paul-Ehrlich-Institut: Corona Sicherheitsbericht

Corona-Impfung: Nutzen und Risiko

Die Impfung dient dem Selbstschutz

Immer wieder liest man widersprechende Thesen über die Sinnhaftigkeit der Corona-Impfung. Mal wird es als soziale Verpflichtung ausgegeben, weil man damit der Ausbreitung des Virus vermeintlich einen Riegel vorschiebt, mal wird gesagt, es gehe doch vor allem darum, das Risiko von schweren Krankheitsverläufen zu reduzieren. Letzteres gewährleisten die Corona-Impfstoffe mit hoher Wahrscheinlichkeit – jedenfalls gemäß Zulassung.

Die Wirksamkeit darf dabei nicht als eine dem Geimpften individuell zugesicherte Eigenschaft der Impfung missverstanden werden, sie ist vielmehr eine statistische Wahrscheinlichkeit. Der Zahlenwert ergibt sich aus dem Vergleich der Anzahl der Krankheitsfälle in einem Kollektiv von Geimpften mit der Anzahl der Krankheitsfälle in einem Kollektiv von Ungeimpften.

Für Comirnaty (BionTech/Pfizer) und Spikevax (Moderna) werden diesbezüglich 95 % Wirksamkeit angegeben. Die Wirksamkeit der Impfung mit Vaxzevria (AstraZeneca) liegt bei 80 %, während für COVID-19 Vaccine Janssen (Johnson & Johnson) 70 % dokumentiert sind.

Um es an dieser Stelle kurz und knapp auf den Punkt zu bringen: Da die bisher verfügbaren Corona-Vakzine zu keiner sterilen Immunität führen, dient die Impfung vor allem dem Selbstschutz. Nicht ausschließlich, aber doch weit überwiegend. Eine darüber hinausgehende soziale Komponente gibt es nicht wirklich. Die lange Zeit propagierte Herdenimmunität hat sich als Chimäre entpuppt.

Sind Impfkomplikationen bekannt?

Unklarheit herrscht offenbar auch bezüglich der möglichen Nebenwirkungen der Impfung. Manche sprechen von 30 % Impfschäden, andere vertreten die völlig konträre Position und verneinen jegliches Risiko: Noch nie etwas von Impfschäden gehört, das sind doch alles nur Fakes.

Nun, man muss darüber keine Vermutungen anstellen. Es gibt dazu offizielle Zahlen einer Bundesbehörde. Das Bundesinstitut für Impfstoffe und biomedizinische Arzneimittel (Paul-Ehrlich-Institut; www.pei.de) gibt monatlich einen Sicherheitsbericht zu den Corona-Impfreaktionen in Deutschland heraus.

Die Zahlen zum Impfrisiko in aller Kürze

Der aktuelle Bericht ist auf den 19.08.2021 datiert und erstreckt sich über den Zeitraum vom 27.12.2020 bis zum 31.07.2021. In diesen 7 Monaten wurden insgesamt 131.671 Fälle von Impfkomplikationen offiziell an das PEI gemeldet, davon waren 14.027 als „schwerwiegend“ klassifiziert. Betreffend der Dunkelziffer zu den nicht gemeldeten unmittelbaren Nebenwirkungen der Impfung weiß man natürlich nichts. Man kann aber davon ausgehen, dass leichtere Fälle wohl kaum Eingang in die offizielle Statistik finden.

Um die absoluten Zahlen einzuordnen: 14 von 10.000 Impfungen hatten unerwünschte Nebenwirkungen oder sonstige Komplikationen zur Folge, immerhin 2 von 10.000 Fällen führten zu „schwerwiegenden“ Impfkomplikationen. Natürlich weiß man noch nichts über mögliche langfristige Impffolgen.

Sind auch Todesfälle zu verzeichnen?

Was der Bericht ebenfalls dokumentiert: In 1.254 Meldungen aus den letzten 7 Monaten wurde über einen tödlichen Ausgang „in unterschiedlichem zeitlichem Abstand zur Corona-Impfung“ berichtet. Zum Vergleich: Im Verlaufe der 21 Jahre davor waren seit dem Jahr 2000 insgesamt 456 Todesfälle nach Impfungen gemeldet worden (etwa 22 Fälle pro Jahr).

Das zeigt zumindest: Die aktuell verfügbaren Corona-Impfstoffe gehören nicht zu den sichersten und harmlosesten Vakzinen, die je entwickelt wurden. Das ändert indessen nichts daran, dass die Impfung in der weit überwiegenden Anzahl der Fälle vor allem Nutzen stiftet.

Impfentscheidung nach Altersgruppe

Das Risiko von schwerwiegenden Impfkomplikationen oder gar Tod infolge einer Impfung ist in fast allen Altersgruppen signifikant geringer, als das von einer COVID-19-Infektion ausgehende Risiko.

Bei den Über-60-Jährigen ist das Nutzen-Risiko-Verhältnis der Impfung ganz klar positiv. Zu den Jüngeren hin (60 – 40) wird der Unterschied kleiner, die Nutzen-Risiko-Abwägung bleibt aber noch im Plus. Bei den Unter-40-Jährigen nähern sich das Impfrisiko und das COVID-19-Risiko einander an, aber erst bei den ganz Jungen drehen sich die Verhältnisse um, so dass die Impfung für diese Gruppe – im Hinblick auf den erwarteten Selbstschutz – keinen Gewinn bringt.

Beurteilung des Infektionsrisikos

Um das resultierende Risiko für eine Ansteckung bei einer Inzidenz von 100 an einem Beispiel plausibel zu machen: Jemand der 700 zufällig gewählte Personen ohne Schutzvorkehrungen trifft und ihnen dabei so nahe kommt, dass eine Infektion nicht ausgeschlossen werden kann (nach den Maßstäben der Corona-Warn-App heißt dies: 10 Minuten in einem Abstand < 1,5 m), wird sich dabei mit einer Chance von 50 % infizieren. Das tatsächliche Infektionsrisiko ist sogar noch deutlich geringer, weil 1. die Infektiosität aufgrund der ungleichen Virenlast von Positivbefunden sehr unterschiedlich ausgeprägt ist, und 2. die Infektionsgefahr im zugrundeliegenden Zeitraum (7 Tage) nach einem Peak bald wieder abfällt. Daher führt nicht jeder enge und langanhaltende Kontakt mit einem akut infektiösen Virenträger mit Sicherheit zur Übertragung. Wenn wir unterstellen, dass jeder zweite enge und langanhaltende Kontakt mit Sicherheit zur Virenübertragung führt, reduziert sich daher das Infektionsrisiko bei einer Begegnung mit 700 zufällig ausgewählten Personen auf 25 %.

Sofern alle Beteiligten eine Maske tragen und dafür eine Schutzwirkung von 90 % angenommen wird, kann man demnach für dieselbe Infektionswahrscheinlichkeit von 25 % gar mit 7000 Personen in engen Kontakt treten. Da zudem, je nach Alter und Disposition, 80 % – 99 % der Infektionen mehr oder weniger harmlos verlaufen, wird klar, dass für Angst- und Panikmache unter rationalen Gesichtspunkten kein Platz ist. Die besonders von potentiell schweren Verläufen Betroffenen (z.B. spezifisch Vorerkrankte, Übergewichtige, Alte über 70 oder 80) müssen indessen besondere Vorsicht walten lassen. Wie bereits oben gesagt, ist hier die Impfung fraglos eine gute Entscheidung.


[1] Paul-Ehrlich-Institut: Corona Sicherheitsbericht

[2] Ärztekammer kritisiert Beschluss zu Kinderimpfungen scharf

[3] Der Streit um das dritte G – Sollen die drei Gruppen gleich behandelt werden? Bund plant Nachteile für Ungeimpfte

[4] Die Impfung ist hilfreich, der Impfdruck nicht

[5] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

[6] Die ominöse Herdenimmunität

[7] Virologe Stöhr prognostiziert „dramatische Entspannung“: Im Frühjahr soll die Pandemie endgültig vorbei sein | Merkur

Die Impfung ist hilfreich, der Impfdruck nicht

Zwei rationale Perspektiven auf die Impfung

Aus der staatlichen Perspektive der Pandemiebekämpfung macht die Impfung zweifellos Sinn, weil von dieser Warte aus gesehen der gesellschaftliche Nutzen höher gewichtet wird als das von Einzelnen getragene Risiko. Weniger klar ist die Situation aus der Sicht des Individuums. Die Abwägung folgt in diesem Falle zwangsläufig anderen Mechanismen. Dabei sind beide Perspektiven rational und ethisch vertretbar.

Der individuelle Nutzen der Impfung ist direkt abhängig vom bestehenden COVID-19- Erkrankungsrisiko. Für jüngere Personen ist das COVID-19-Risiko gering. Damit bleibt auch der Nutzen der Impfung klein. Völlig anders bei Älteren. Sie tragen teilweise ein vielfach höheres COVID-19-Risiko als z.B. Personen unter 40 und haben daher auch einen entsprechend höheren Nutzen. Auf der anderen Seite muss der individuell unterschiedliche Nutzen mit einem unzweifelhaft bestehenden Impfrisiko bezahlt werden (s.u.).

Das Versicherungsprinzip: Das Risiko auf die Schultern der Vielen verteilen

Bei einer Versicherung wird das Risiko gleichmäßig auf die Mitglieder der Versicherungsgemeinschaft verteilt. Die Versicherten zahlen Prämien in einen gemeinsamen Topf. Das individuelle Pech der wenigen Geschädigten wird von der Versicherung durch Griff in den Topf der angesparten Versicherungsprämien finanziell ausgeglichen.

  • Maxime: Einige profitieren, alle anderen müssen relativ wenig zahlen.

Dieses Prinzip ist bekannt und allgemein akzeptiert. Wer sich nicht in den Schutz der Versicherungsgemeinschaft begibt, muss im Schadenfall die gesamten Kosten selber tragen. Dafür erspart er sich die Versicherungsprämien. Das kann im Einzelfall sinnvoll sein, wenn das individuelle Risiko ungewöhnlich klein ist.

Ganz anders verhält es sich bei der Corona-Impfung. In gewisser Weise kommt es hier zu einer Umkehrung des Versicherungsprinzips.

Das Prinzip der Impfung: Den Nutzen möglichst vielen zugänglich machen

Bei der Corona-Impfkampagne wird nicht das Risiko, sondern der aus der Impfung resultierende Nutzen auf die „Impfgemeinschaft“ verteilt. Potentiell sind alle Geimpften Nutznießer der Impfung. Allerdings tragen nur die wenigen Impfgeschädigten die Kosten dafür.

  • Maxime: Einige müssen relativ viel zahlen, alle anderen profitieren.

Man muss sich klar machen, dass die vorstehende Regelbeziehung den Versicherungsgedanken gewissermaßen umdreht. Auch wenn das Prinzip in dieser prägnanten Form kaum allgemein bekannt sein dürfte, führt das offenbar doch bei vielen zu einer eher skeptischen Haltung und im Ergebnis zu einer geringeren Akzeptanz der Impfkampagne. Impfung und Versicherung sind ungleiche Brüder.

Spiegelbildlich zur obigen Situation gilt: Wer sich für die Impfung entscheidet (sich also in den Schutz der Impfgemeinschaft begibt), muss im Schadenfall die gesamten Kosten selber tragen, denn für Leib und Leben gibt es keinen adäquaten Ersatz. Auf der anderen Seite verzichten die Verweigerer auf den Nutzen der Impfung und nehmen das Erkrankungsrisiko in Kauf. Ähnlich wie oben kann das aber im Einzelfall durchaus rational begründet sein, wenn der individuelle Nutzen eher klein ausfällt, weil auch das Risiko gering ist.

Diese Problematik scheint den Politikern durchaus bewusst zu sein. Indem man Geimpften zusätzliche Freiheiten in Aussicht stellt, erhöht man den persönlichen Nutzen der Impfung. Das mag nicht wenige Skeptiker dazu bringen, ihre individuelle Nutzenbetrachtung zu überdenken. Solche Anreize sind ganz klar sachfremder Natur, weil dadurch ja nicht die eigentlich intendierte Schutzwirkung der Impfung erhöht wird. Vom ethischen Standpunkt aus gesehen ist dieses Vorgehen zumindest fragwürdig. Im Effekt kann das dennoch zum gewünschten Ergebnis der höheren Impfbereitschaft führen. Das gilt jedenfalls dann, wenn der erwartete Zusatznutzen in der persönlichen Bewertung hinreichend hoch ausfällt.

Wie hoch sind die Risiken?

Laut offiziellem Corona-Sicherheitsbericht des Paul-Ehrlich Instituts (der doch auch den verantwortlichen Politikern vorliegen sollte) gibt es in Deutschland für das erste Halbjahr 2021 fast 110.000 an das Institut gemeldete Verdachtsfälle von Nebenwirkungen oder Impfkomplikationen. Viele dieser Meldungen beziehen sich auf letzten Endes vorübergehende Beeinträchtigungen. Es bleiben aber immerhin noch mehr als 10.000 schwerwiegende Fälle, darunter einige hundert Todesfälle und ebenso viele Personen mit bleibenden Schäden.

Wie im Bericht weiter zu lesen ist, führt etwa 1 von 10.000 Impfungen zu ernsthaften Komplikationen. – Ist das wenig? Oder ist das viel?

Die Wahrscheinlichkeit ist jedenfalls in etwa so groß, wie die Chance für 4 Richtige plus Zusatzzahl beim Lotto. Jede Woche gibt es mehr als 2.000 „Gewinner“ mit einer Zahlenkombination in dieser Gewinnklasse.

Verhalten sich Impfzauderer irrational?

Angesichts der dargelegten, objektiv bestehenden Faktenlage ist es völlig unangebracht, Menschen, die derzeit noch zögern sich impfen zu lassen, irrationales Verhalten oder gar Schlimmeres vorzuwerfen. Ihre Zurückhaltung ist vernunftgemäß und verantwortungsvoll. Sie nehmen in ihrer Bewertung die vorbehaltslos legitime und ethisch absolut vertretbare Individualperspektive ein. Das ist in diesem Fall (s. obige Versicherungsanalogie) die Perspektive derer, die nicht bereit sind, für die Gewinne der anderen zu zahlen.

Man kann es auch so formulieren: Impfen ist vernünftig, Nicht-Impfen ebenso!

Eigenverantwortung ist die erste Bürgerpflicht

Das Individuum kann in der freiheitlichen Demokratie weder faktisch noch moralisch dazu verpflichtet werden, seine Entscheidungen sozusagen bedenkenlos einer vermeintlichen Staatsräson unterzuordnen. Die erste Bürgerpflicht heißt Eigenverantwortung, nicht Patriotismus.

Ob man das Impfrisiko in der Abwägung mit dem individuellen Infektions- und COVID-19-Erkrankungsrisiko eingehen mag, das muss jeder für sich selbst entscheiden. Jedenfalls verbietet sich nach der objektiven Sachlage jegliche Bevormundung von politischer Seite. Auch sozialer Druck ist weder rational begründbar noch moralisch angemessen.

Von wissenschaftlicher Seite sind Fakten willkommen – und wie es sich gehört, sollten die Fakten von den persönlichen Meinungen und individuellen Stimmungsbildern getrennt werden. Dies gilt vor allem auch deswegen, weil die wissenschaftlichen Erkenntnisse betreffend Corona sich schon häufig als sehr volatil erwiesen haben und nicht selten neue Einsichten die erst kürzlich von berufener Seite geäußerte Meinung und durchaus begründete Vermutung postwendend widerlegt haben.

Die Herdenimmunität ist eine Chimäre

Der oft gehörte Verweis auf die Herdenimmunität hilft in dieser Sache absolut nicht weiter. Die Herdenimmunität definiert lediglich die mathematische Grenze, ab welcher die exponentielle Ausbreitung des Virus bei einem gegebenem Reproduktionsfaktor eingedämmt ist. Selbst wenn sie erreicht ist, kann sich das Virus immer noch ausbreiten und auch Neuinfektionen in großer Anzahl sind keineswegs ausgeschlossen.

Der Begriff der Immunität bei einer Einzelperson ist nicht derart simpel übertragbar auf die Immunität der Gesellschaft als Ganzes. Es ist irreführend, wenn die Herdenimmunität – leider auch von Wissenschaftlern – immer wieder mit diesem Zungenschlag zitiert wird, um damit für eine höhere Impfbereitschaft zu werben.

Resümee

Durch die Impfung schützt man in Abhängigkeit vom individuellen COVID-19-Risiko vor allem sich selbst, da schwere Krankheitsverläufe unwahrscheinlicher werden. Das ist ein wirklich valides und seriöses Argument Pro Impfung. Ansonsten gilt: Geimpfte können sich infizieren und das Virus weitergeben, in geringerem Umfang zwar, aber doch grundsätzlich ähnlich, wie das auf Ungeimpfte zutrifft. Jedenfalls gilt das für die Delta-Variante.

Ein soziales Argument nach dem Motto: „Wer sich impfen lässt, schützt seine Lieben“ oder „Sich impfen zu lassen ist eine soziale Verantwortung“ hält der kritischen Betrachtung nicht stand und ist in dieser Absolutheit falsch, auch wenn die Infektionswahrscheinlichkeiten tendenziell geringer sind.

Man muss sich dabei immer wieder klar machen, dass auch bei einer Inzidenz von 100 pauschal 99,9% der Menschen nicht infektiös sind. Nur 1 von 1000 ist Virenträger und daher besteht auch nur bei 1 Person von 1000 ein Infektionsrisiko, 999 Menschen sind einfach nur gesund und infektionsfrei.


Quellen

[1] Der Streit um das dritte G – Sollen die drei Gruppen gleich behandelt werden? Bund plant Nachteile für Ungeimpfte

[2] Verschärfungen für Ungeimpfte? SPD gegen Spahns Vorschlag

[3] „Impfen ist ein patriotischer Akt“ – Spahn will den Druck auf Ungeimpfte im Herbst erhöhen

[4] Ärztekammer kritisiert Beschluss zu Kinderimpfungen scharf

[5] Aiwanger: Gesprächsbedarf mit Söder wegen Impf-Drucks

[6] Aiwanger kontert Vorwürfe im Impfstreit

[7] Bis zu 150 Euro Belohnung: Wo Sie für die Corona-Impfung Geld bekommen – auch eine Bratwurst diente als Köder

[8] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

[9] Die ominöse Herdenimmunität

[10] Paul-Ehrlich-Institut: Sicherheitsbericht 27.12.2020 bis 30.06.2021