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Die ominöse Herdenimmunität

Ist die Pandemie nach der Impfkampagne beendet?

Mit zunehmender Dauer der Corona-Pandemie kommt immer mehr die Frage nach der sogenannten Herdenimmunität auf. Wann endlich sind so viele geimpft bzw. von der Infektion genesen, dass eine weitere Ausbreitung des Virus ausgeschlossen werden kann? Oft werden für die Herdenimmunität Zahlen von 60 %, 67 % oder 70 % genannt. Doch gibt es eine Grenze bezüglich der Anzahl der Genesenen bzw. Geimpften, ab welcher keine Infektionsgefahr mehr besteht? Ist die Herdenimmunität eine scharfe epidemiologische Grenze? Kommt es zu keinen weiteren Neuinfektionen mehr, wenn 70 % oder 80 % geimpft sind?

Dazu später. Zunächst wollen wir die Zusammenhänge beleuchten und die Größe der Herdenimmunität ableiten.

Wie breitet sich das Virus aus?

Sei \(N\) die Größe der Population. Der Wert \(q\) steht für die Wahrscheinlichkeit, dass beim Kontakt mit einem Virusträger eine Übertragung stattfindet (was nur innerhalb der begrenzten Infektionszeit von ca. 7 bis 14 Tagen möglich ist). Ferner sei \(k\) die durchschnittliche Anzahl der Kontaktpersonen und \(k_{n}\) die durchschnittliche Anzahl der nicht infizierten Kontaktpersonen eines Erkrankten. Die Anzahl der Neuinfizierten im Intervall  bezeichnen wir mit \(a_{n}\). Die Gesamtanzahl aller bis zum Intervall \(n\) bereits Erkrankten in der Population nennen wir \(s_{n} \). Es gilt \(s_{n} = \sum_{i=0}^{n} a_{i} \).

Für die Anzahl der Neuinfizierten im Intervall \(n+1\)  erhalten wir nun:

\begin{equation} a_{n+1} = q \cdot k_{n} \cdot a_{n} \end{equation}

Wie kommen wir hierin zum Wert von \(k_{n}\)? Ganz einfach: Die Wahrscheinlich dafür, dass eine zufällig aus der Gesamtpopulation gewählte Kontaktperson noch nicht infiziert ist, können wir leicht bestimmen. Es ist der Quotient \(\frac{N-s_{n}}{N} \). Demnach gilt

\begin{equation} k_{n} = \frac{N-s_{n}}{N} \cdot k \end{equation}

Zusammengefasst erhalten wir also

\begin{equation} a_{n+1} = q \cdot k \cdot \left (1 – \frac{s_{n}}{N} \right ) \cdot a_{n} \end{equation}

Das Produkt aus Kontaktanzahl und Infektionswahrscheinlichkeit wird oft auch als Reproduktionsfaktor oder R-Wert bezeichnet. Damit erhalten wir die Entwicklungsformel

\begin{equation} a_{n+1} = R \cdot \left (1 – \frac{s_{n}}{N} \right ) \cdot a_{n} \end{equation}

Bestimmung der Herdenimmunität

Mittels des Modells kann man leicht bestimmen, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit die Anzahl der Neuinfektionen ab einem bestimmten Zeitintervall nicht weiter ansteigt. Dies ist dann der Fall, wenn \(\frac {a_{n+1}}{a_{n}}  \le 1\) ist, wenn also gilt, \( R \left (1 – \frac{s_{n}}{N} \right ) \le 1\). Daher lautet die Bedingung

\begin{equation} \frac{s_{n}} {N} \ge 1 – \frac{1}{R} \end{equation}

Wenn also der relative Anteil \(\frac{s_{n}} {N}\) der Genesenen (bzw. Geimpften, also der Immunisierten) an der Gesamtpopulation erstmals den Wert \(1-\frac{1}{R}\) übersteigt, gehen die Neuinfektionen zurück. Diese Grenze markiert den Wert der sogenannten Herdenimmunität \(H\) und es gilt demnach

\begin{equation} H = 1 – \frac{1}{R} \end{equation}

In Abb. 1 ist der Zusammenhang zwischen \(H\) und \(R\) grafisch dargestellt.

Theoretische Herdenimmunität in Abhängigkeit vom Reproduktionsfaktor (R-Wert).

Abbildung 1: Theoretische Herdenimmunität in Abhängigkeit vom Reproduktionsfaktor (R-Wert).

Mathematisch gesehen bestimmt \(H\) das Maximum im Kurvenverlauf der Neuinfektionen. Wenn der Anteil der Infizierten unterhalb der Grenze \(H\) liegt, dann steigen die Neuinfektionszahlen exponentiell, liegt sie oberhalb, dann fallen sie exponentiell. \(H\) ist damit zugleich der Wendepunkt im Kurvenverlauf der Gesamtanzahl der Infizierten: Wenn der Anteil der Infizierten \(\le H\) ist, wachsen die Infektionszahlen immer schneller an. Sobald die Grenze \(H\) überschritten wird, steigen die Infektionszahlen zwar immer noch, aber der Verlauf wird immer flacher: Es gibt kein exponentielles Wachstum mehr. Der Wert von \(H\) definiert also die Grenze, ab welcher die exponentielle Ausbreitung des Virus bei einem gegebenem Reproduktionsfaktor \(R\) eingedämmt ist.

Exemplarische Entwicklung der Infektionszahlen

Die prinzipiellen Zusammenhänge für einen Reproduktionsfaktor \(R = 1.5\) (entsprechend einer Herdenimmunität von 33 % bzw. 27,5 Mio. Menschen) sind in Abb. 2 visualisiert.

Verlauf der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Immunisierten (hier: Genesene) auf Basis eines Reproduktionsfaktors R = 1,5 unter der Annahme von 1000 Neuinfektionen in der ersten Woche des Betrachtungszeitraums.

Abbildung 2: Verlauf der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Immunisierten (hier: Genesene) auf Basis eines Reproduktionsfaktors R = 1,5 unter der Annahme von 1000 Neuinfektionen in der ersten Woche des Betrachtungszeitraums. Dieser R-Wert entspricht einem Wert für die Grenze der Herdenimmunität von 33 % bzw. 27,5 Mio. Menschen (grün gestrichelte horizontale Linie). Der Anteil der Genesenen überschreitet in der 25. Woche die Grenze der Herdenimmunität (grün gestrichelte vertikale Linie). Ab diesem Zeitpunkt geht die Anzahl der Neuinfektionen exponentiell zurück. Die Infektionszahlen steigen aber weiter an und erreichen über 51 Mio. Menschen.

Wie man der vorstehenden Ableitung entnimmt, handelt es sich bei der Herdenimmunität nicht um eine feste Grenze, sondern um einen von der Kontakthäufigkeit und der Infektionswahrscheinlichkeit bzw. vom Reproduktionsfaktor R abhängigen theoretischen Schwellwert.

Wenn der entsprechende Anteil der Population infiziert ist, kommt es zu keinem weiteren exponentiellen Wachstum mehr, vorausgesetzt, die Kontakthäufigkeit und die Infektionswahrscheinlichkeit erhöhen sich nicht. Bei einem Reproduktionsfaktor von 3 (also z.B. durchschnittlich 3 Kontakte mit einer Infektionswahrscheinlichkeit von q=100 %, oder 30 Kontakte mit q=10 %, liegt der Schwellwert für die Herdenimmunität bei exakt 2/3 bzw. 67 %. Erhöht sich aber der R-Wert auf 3,5, so ändert sich der Schwellwert des exponentiellen Wachstums auf 71 %. Bei R-Werten von 4 oder 5 liegt die Grenze entsprechend bei 75 % bzw. 80 %.

Was passiert mit den Infektionszahlen bei einer Erhöhung des R-Wertes?

Wir beleuchten die Fragestellung anhand eines Beispiels. In Abbildung 3 sind die Kurvenverläufe für die Neuinfektionen und die Gesamtanzahl der Infizierten für den exemplarischen Fall der Änderung des R-Wertes von 3 auf 4 aufgetragen. Ausgangsbasis für die Rechnung ist die bereits erreichte Herdenimmunität von 67 % bei einem Reproduktionsfaktor von 3. Es wird angenommen, dass sich der R-Wert in der ersten Woche des Betrachtungszeitraums auf 4 erhöht und zugleich 1000 Neuinfektionen stattfinden. Höhere R-Werte können temporär durchaus entstehen, z.B. aufgrund von Massenveranstaltungen.

Wenn der R-Wert (theoretisch) für 1 Jahr konstant bei 4 bleibt, steigen die Neuinfektionen in der Folge bis zur 30. Woche exponentiell an und erreichen dort ihr Maximum mit fast 1 Mio. Neuinfizierten. Danach nimmt die Anzahl der Neuinfektionen rapide ab und liegt nach einem Jahr wieder auf dem Niveau des Ausgangswertes. Die Gesamtanzahl der Immunisierten (Infizierte bzw. Geimpfte) steigt im gleichen Zeitraum aufgrund der Neuinfektionen von 67 % (ca. 55,6 Mio.) um 12,6 Mio. auf 82 % (68,2 Mio.).

Zwar liegt die Herdenimmunität bei einem R-Wert von 4 nur bei 75 % (62,5 Mio.), dennoch steigt die Gesamtanzahl der Infizierten weit über diese Summe hinaus, weil beim Erreichen der Immunitätsgrenze in der 30. Woche noch Hundertausende Neuinfektionen vorliegen, die über weitere 20 Wochen die Anzahl der Infizierten noch zusätzlich um fast 6 Mio. steigen lassen. In Abb. 3 sind die Zusammenhänge detailliert dargestellt.

Verlauf der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Immunisierten (Genesene bzw. Geimpfte) ausgehend von einem Immunisierungsgrad von 67 % (entsprechend knapp 56 Mio. Immunisierten).

Abbildung 3: Verlauf der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Immunisierten (Genesene bzw. Geimpfte) ausgehend von einem Immunisierungsgrad von 67 % (entsprechend knapp 56 Mio. Immunisierten). Grundlage für die Modellrechnung sind 1000 Neuinfektionen in der ersten Woche des Betrachtungszeitraums bei einem von 3 auf 4 erhöhten Reproduktionsfaktor. Der Anteil der Genesenen überschreitet in der 30. Woche die Grenze der aus dem R-Wert von 4 resultierenden theoretischen Herdenimmunität von 75 %. Ab diesem Zeitpunkt geht die Anzahl der Neuinfektionen exponentiell zurück. Die Infektionszahlen steigen aber weiter an und erreichen über 68 Mio. Menschen, das sind etwa 12,6 Mio. mehr als zu Beginn des Ausbruchs.

Abschätzung zur Anzahl der Neuinfektionen bei einer Erhöhung des R-Wertes

Wir haben gesehen, dass es bei einer Erhöhung des R-Werts einen Überschwingeffekt gibt. Die Gesamtanzahl der der Immunisierten (Genesene bzw. Geimpfte) klettert bei einem erneuten Ausbruch mit größerem R-Wert aus dem stabilen Zustand mit dem Immunisierungsgrad \(p_{i}\) nicht nur auf den entsprechenden höheren Wert der Herdenimmunität, sondern geht weit darüber hinaus. Die Anzahl der Neuinfizierten \(Infektionen_{neu}\) bei ungebremster Infektion mit dem erhöhten R-Wert kann man näherungsweise zu

\begin{equation} Infektionen_{neu} \approx 2N \cdot \left(1 – \frac{1}{R}-p_{i}\right) \end{equation}

bestimmen. Im vorangegangenen Beispiel (s. Abb. 3) kommt man so auf die Abschätzung \(Infektionen_{neu} \approx 2\cdot 83000000 \cdot \left(1–\frac{1}{4}–0.67\right) = 13.28 \cdot 10^{6}\).

Bestimmung des effektiven R-Wertes

Ausgehend von einer stabilen Situation mit einem Immunisierungsgrad in Höhe der Herdenimmunität verlaufen die Infektionszahlen bei einer Erhöhung des R-Wertes dem Augenschein nach in etwa so, wie man es in einer Population ohne Immunisierte erwarten würde. Das kann man Abb. 3 unmittelbar entnehmen. Bei genauer Betrachtung erkennt man indes, dass die Geschwindigkeit der Ausbreitung deutlich reduziert ist. Im Ergebnis beobachten wir unmittelbar nach dem Ausbruch ein Wachstum bei der Anzahl der Neuinfektionen mit einem effektiven Reproduktionsfaktor von

\begin{equation}R_{eff} = R \cdot \left(1 -p_{i}\right) \end{equation}

Wenn wir die Fälle mit \(p_{i} \lt 1 -\frac{1}{R}\) betrachten (also \(p_{i} \lt Herdenimmunität\)), ergibt sich dabei stets ein effektiver R-Wert \(\gt 1\), also exponentielles Wachstum. Daher müssen wir immer mit einer exponentiellen Ausbreitung von Neuinfektionen rechnen, sofern der aktuelle Immunisierungsgrad kleiner als die aus dem vorliegenden R-Wert resultierende theoretische Herdenimmunität ist.

In der Situation von Abb. 3 haben wir initial stabile Verhältnisse, da der erreichte Immunisierungsgrad von 67 % dem unterstellten R-Wert von etwa 3 entspricht. Aufgrund der Erhöhung des R-Werts auf 4 führt die induzierte Infektion von 1000 Personen zu einem exponentiellen Anstieg der Neuinfektionen. Der anfängliche effektive Reproduktionsfaktor (R-Wert) beläuft sich hierbei nach obiger Formel auf \(R_{eff} = 4 \cdot \left(1-0.67\right) = 1.32\).

Analyse des Infektionsgeschehens in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad

Nun haben wir oben ein Extrembeispiel betrachtet. In der Realität wird man einen solchen Ausbruch nicht dauerhaft geschehen lassen und Gegenmaßnahmen zur Eindämmung der Ausbreitung ergreifen (Kontaktreduzierung, Impfung). Die Anzahl der Neuinfizierten ist abhängig vom R-Wert, dem jeweils erreichten Immunisierungsgrad (Anteil der Immunisierten in der Population, entweder durch Impfung oder durch Genesung), von der initialen Inzidenz beim erneuten Ausbruch und von der Dauer der Ausbreitung mit dem erhöhten R-Wert.

Zunächst betrachten wir die Abhängigkeit des Infektionsgeschehens vom Immunisierungsgrad (s. Abb. 4).

Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Blau: Anteil der Immunisierten (Immunisierungsgrad); Rot: Anteil der Neuinfizierten nach einem Ausbruch mit einer initialen 7-Tage-Inzidenz von 50 im Verlauf von 12 Wochen; Grün: Verbleibender Anteil der Nicht-Infizierten.

Abbildung 4: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Blau: Anteil der Immunisierten (Immunisierungsgrad); Rot: Anteil der Neuinfizierten nach einem Ausbruch mit einer initialen 7-Tage-Inzidenz von 50 im Verlauf von 12 Wochen; Grün: Verbleibender Anteil der Nicht-Infizierten. Beispiel: Balken bei x = 0,55: Immunisierungsgrad = 55 % (blaue Säule); Anteil der sich neu Infizierenden im Verlauf der nächsten 12 Wochen = 5 % (rote Säule bei x = 0,55); Anteil der nicht Infizierten im Verlauf der nächsten 12 Wochen = 40 % (grüne Säule bei x = 0,55);

Man entnimmt der Darstellung unmittelbar, dass der Anteil der Neuinfizierten (rote Säulen) bei höheren Immunisierungsgraden sehr schnell geringer wird. Im Beispiel von Abb. 4 ist die rote Säule für Immunisierungsgrade über 70 % im Diagramm nicht mehr erkennbar. Diese 70 % entsprechen in diesem Fall (R = 3) in etwa der theoretischen Herdenimmunität von 67 %.

Der Einfluss des Reproduktionsfaktors

Wie ändert sich nun die Situation bei Variation des R-Werts? Dazu betrachten wir die nachfolgende Abb. 5. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen und der Nicht-Infizierten in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Exemplarisch wurde eine anfängliche Inzidenz vom 50 Infektionen pro 100.000 Personen zugrunde gelegt und ein Zeitraum von 12 Wochen betrachtet. Man sieht, wie stark der R-Wert in das Verhältnis der Anteile von Immunisierten, Neuinfizierten und Nicht-Infizierten eingeht.

Beispiele: R-Wert = 2,5 (orangefarbene Kurve): Immunisierungsgrad = 0,3 (30 %), Neuinfizierte = 40 % (= 70 % – 30 %), Nicht-Infizierte = 30 % (= 100 % – 70 %); R-Wert = 3 (braune Kurve): Immunisierungsgrad = 0,3 (30 %), Neuinfizierte = 62 % (= 92 % – 30 %), Nicht-Infizierte = 8 % (= 100 % – 92 %); R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 10 % (= 80 % – 70 %), Nicht-Infizierte = 20% (= 100 % – 80 %). Der oben bestimmte Wert für die Herdenimmunität ist näherungsweise der Immunisierungsgrad, bei welchem die entsprechende Kurve der Diagonale (grün) nahekommt und sie scheinbar berührt.

Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen und der Nicht-Infizierten in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad.

Abbildung 5: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen und der Nicht-Infizierten in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Näherungsweise ist die Herdenimmunität der Immunisierungsgrad, bei welchem die entsprechende Kurve der Diagonale (grün) nahekommt und sie scheinbar berührt. Beispiel: R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 10 % (= 80 % – 70 %), Nicht-Infizierte = 20 % (= 100 % – 80 %).

Im vorstehenden Diagramm sind die 3 relevanten Informationen: Immunisierungsgrad, Anteile der Neuinfektionen und Anteil der Nicht-Infizierten in ihrer relativen Größe zueinander dargestellt. Interessiert sind wir indes vor allem am Anteil der resultierenden Neuinfektionen nach einem Ausbruch bei gegebenem Immunisierungsgrad. Diese Info findet sich für dieselbe Parameterkonfiguration unmittelbar in Abb. 6.

Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 6: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Beispiel: R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 10 % der Gesamtbevölkerung.

Infektionsgeschehens bei Immunisierungsgraden in der Nähe der Herdenimmunität

Grundsätzlich erkennt man anhand der Kurvenverläufe in Abb. 6, dass die relativen Neuinfektionszahlen mit wachsendem Immunisierungsgrade sehr schnell kleiner werden. Allerdings verflachen sich die Kurven bei höheren Immunisierungsgraden in der Nähe der theoretischen Herdenimmunität (z.B. 80 % bei R = 5, hellrote Kurve). Um die Verläufe in diesem Bereich sichtbar zu machen, sind die relativen Anteile der Neuinfektionszahlen im Folgenden in logarithmischer Skalierung aufgetragen. Die Reduzierung der Anzahl der Neuinfektionen durch Erhöhung des Immunisierungsgrades ist nun direkt ablesbar.

Beispiel: Bei einem R-Wert von 1,5 und einem Immunisierungsgrad von 0,55 (55 %) entnehmen wir der Grafik einen Wert von 0,1% Neuinfektionen binnen 12 Wochen nach einem Ausbruch mit der anfänglichen Inzidenz von 50 pro 100. 000 Einwohner (s. Abb. 7). Dagegen sind es bei einem R-Wert von 3 im selben Zeitraum bereits 6 % Neuinfektionen bezogen auf die Gesamtbevölkerung.

Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad in logarithmischer Skalierung. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 7: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad in logarithmischer Skalierung. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Beispiel: R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 10 % der Gesamtbevölkerung.

Sensitivitätsanalyse

Bei höheren Inzidenzen verschieben sich die Kurven nach rechts, so dass die die Anzahl der Neuinfektionen nach einem neuerlichen Ausbruch steigt. Bei der gegenüber dem Beispiel oben verdoppelten Inzidenz von 100 pro 100. 000 Einwohnern sind es nun für den R-Wert 1,5 und einem Immunisierungsgrad von 0,55 (55 %) 0,2 % Neuinfektionen binnen 12 Wochen, und bei einem R-Wert von 3 im selben Zeitraum bereits 10 % Neuinfektionen bezogen auf die Gesamtbevölkerung (s. Abb. 8).

Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad in logarithmischer Skalierung. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 8: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad in logarithmischer Skalierung. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Beispiel: R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 16 % der Gesamtbevölkerung; Immunisierungsgrad = 0,8 (80 %), Neuinfizierte = 1 % der Gesamtbevölkerung.

Der einem Neuinfektionsanteil von 1 % entsprechende Immunisierungsgrad stimmt bei einer angenommenen Inzidenz von 100 und einem Betrachtungszeitraum von 12 Wochen in guter Näherung mit dem Wert der theoretischen Herdenimmunität überein (vgl. Abb. 1 und Abb. 8). D. h., sofern der Immunisierungsgrad der Population in etwa dem Wert für die Herdenimmunität entspricht, infizieren sich bei einem Ausbruch mit der Inzidenz 100 binnen 12 Wochen ca. 1 % der Bevölkerung.

Erweitern wir nun die summarische Sensitivitätsanalyse in Richtung der Verlängerung des Betrachtungszeitraums. In erster Näherung nimmt man ähnliche Veränderungen wahr, wie bei einer entsprechenden Vergrößerung der Inzidenz. In Abb. A-1 (s. Anhang) ist die Kurvenschar auf Basis einer initialen 7-Tage-Inzidenz von 50 und einer Dauer von 24 Wochen dargestellt. Im Vergleich zur Situation bei der halben Dauer von 12 Wochen, sind die Infektionszahlen bei niedrigen Immunisierungsgraden deutlich erhöht. Dagegen steigen bei die Infektionszahlen bei hohen Immunisierungsgraden merklich geringer.

Beispiel: R-Wert = 2 (rote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,4 (40 %), Neuinfizierte = 2 % der Gesamtbevölkerung bei einer Dauer von 12 Wochen (s. Abb. 7), aber Neuinfizierte = 10 % bei einer Dauer von 24 Wochen. R-Wert = 2,5 (orange Kurve): Immunisierungsgrad = 0,6 (60 %), Neuinfizierte = 0,6 % der Gesamtbevölkerung bei einer Dauer von 12 Wochen (s. Abb. 7), aber Neuinfizierte = 1 % bei einer Dauer von 24 Wochen.

Absolute Infektionszahlen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad

Im Folgenden bestimmen wir die Höhe der absoluten Infektionszahlen bei gegebenen Immunisierungsgraden und den initialen 7-Tage-Inzidenzen von 50 und 100 sowie den Betrachtungszeiträumen 12 und 24 Wochen.

„Normales“ Leben führt zu R-Werten zwischen 2 und 3 für Personen mit eher geringer Kontakthäufigkeit und R-Werten zwischen 3 und 4 für Personen mit höherer Kontakthäufigkeit und -intensität. Betreffend Massenveranstaltungen muss man teilweise mit Reproduktionsfaktoren deutlich darüber rechnen (bis zu 5, evtl. auch mehr).  

Wir beschränken uns daher auf Reproduktionsfaktoren R = 2 bis 5 und Immunisierungsgrade 50 % bis 80 %. Bei niedrigeren Immunisierungsgraden gehen die Neuinfektionszahlen unter den gegebenen Randbedingungen schnell in die Millionen. Umgekehrt erscheinen Immunisierungsgrade über 80 % in absehbarer Zeit kaum erreichbar.

Die Ergebnisse sind in den Abbildungen 9 und 10 zusammengetragen. Die weitere Sensitivitätsanalyse findet sich im Anhang (s. Abb. A-2 und A-3 sowie Abb. A-4 und A-5).

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 9: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 2,5 (blaue Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 480.000 innerhalb von 12 Wochen.

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 10: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 3,5 (grüne Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 6 Mio. innerhalb von 12 Wochen.

Die vorstehenden Abbildungen zeigen, dass es nicht ausreicht, einfach nur einen Immunisierungsgrad in Höhe der formalen Herdenimmunität anzustreben. Auch dann, wenn z.B. 70 % der Menschen immun sind, führt ein neuerlicher Ausbruch mit einem R-Wert von 3,5, aus einer anfänglichen 7-Tage-Inzidenz von 50 Infektionen pro 100.000 Einwohnern (das wären bundesweit 41.500 Infizierte in 7 Tagen) bereits in 12 Wochen zu 650.000 Neuinfektionen, bei einem R-Wert von 4 gar zu 1,7 Millionen (s. Abb. 10).

Zusammenspiel von R-Wert und Immunisierungsgrad

Es stellt sich die Frage, welche Immunisierungsgrade für die Wiedererlangung unserer gewohnten wirtschaftlichen und gesellschaftlich-kulturellen Freiheiten tatsächlich erreicht werden müssen. Werfen wir dazu einen Blick auf Abb. 11. Diese Darstellung dient uns im Folgenden zur Orientierung. Für jedes Wertepaar von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad finden wir hier die grundlegende Information zur Kritikalität der Wertekombination.

Bei den Wertepaaren innerhalb der rot eingefärbten Fläche breitet sich das Virus nach einer anfänglichen Infektion stets mit exponentieller Geschwindigkeit aus. Der grüne Bereich steht für die Kontrolle über das Infektionsgeschehen, da hier umgekehrt jede Infektion rasch verebbt (exponentielle Reduzierung der Neuinfektionszahlen). Dazwischen liegt ein gelber Bereich mit einem näherungsweise linearen Infektionsgeschehen, d.h., die Anzahl der Neuinfektion bleibt ungefähr konstant. Exakt linear ist das Verhalten auf der blauen Grenzkurve. Im gelben Bereich oberhalb und links davon sinken die Neuinfektionszahlen langsam. Unterhalb und rechts davon steigen sie langsam, aber immer mit der Gefahr des Abrutschens in den roten Bereich.

Pandemie-Orientierungskarte (1). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100).

Abbildung 11: Pandemie-Orientierungskarte (1). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100).

Realistische Zielsetzung

Nach Abb. 12 verbleibt als realistischer Zielbereich das grün-gelbe Ecksegment zwischen den beiden Verbotszonen und der blauen Grenzkurve. Dabei stellt sich aber die Frage, mit welchem Restrisiko wir rechnen müssen.

Pandemie-Orientierungskarte (2). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100). Zusätzlich eingetragen sind die „verbotenen Zonen“

Abbildung 12: Pandemie-Orientierungskarte (2). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100). Zusätzlich eingetragen sind die „verbotenen Zonen“: Immunisierungsgrade, die sehr hohe Impfquoten erfordern (blaue Zone im oberen Bereich) sowie R-Werte unter 1,5, die zwar im Lockdown realisierbar sind, aber mit gravierenden gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Kollateralschäden einhergehen und ein „normales“ Leben nicht erlauben (blaue Zone im linken Bereich).

Restrisiko

Für einige exemplarische Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert sind in Abb. 13 die resultierenden Neuinfektionszahlen auf Basis einer initialen 7-Tage-Inzidenz von 50 Neuinfektionen pro 100.000 Einwohner und einer Ausbreitung über 12 Wochen in die Orientierungskarte eingetragen. Man sieht, dass Kombinationen rechts der blauen Grenzkurve zu Neuinfektionszahlen in 7-stelliger Höhe führen. Im grünen Bereich links davon bleibt man im beherrschbaren 5 bis 6-stelligen Bereich. Auf der Grenzkurve selbst ergeben sich binnen 12 Wochen bereits ca. eine halbe Million Neuinfektionen.

Pandemie-Orientierungskarte (3). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100). Bezugsgrößen für die Zahlenangaben: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 13: Pandemie-Orientierungskarte (3). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100). Bezugsgrößen für die Zahlenangaben: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen. Rechts der blauen Grenzkurve (exponentielles Wachstum) ergeben sich Neuinfektionszahlen in Millionenhöhe. Links davon bleiben die Neuinfektionszahlen im Bereich von einigen Zehntausend bis einigen Hunderttausend.

Die Zahlenwerte folgen aus den Säulendiagrammen in Abb. 9 und 10. Bei Betrachtung niedriger oder höherer Inzidenzen bzw. von kürzeren oder längeren Ausbreitungszeiten ergeben sich andere Neuinfektionszahlen (s. Abb. A-2 bis A-5 im Anhang), teilweise geringere (niedrigere Inzidenz oder kürzere Ausbreitungsdauer), teilweise aber auch höhere (höhere Inzidenz oder längere Ausbreitungsdauer). Nach der obigen Sensitivitätsanalyse (Abb. 5 – 10 und Anhang) bleibt die Grundaussage indessen dieselbe.

Erhöhtes Risiko, sofern die Impfstoffe nicht zu 100 % wirken

Bei den obigen Rechnungen sind wir von einer 100-prozentigen Wirksamkeit der Impfstoffe ausgegangen und haben unterstellt, dass Geimpfte, 1. immun, und 2. nicht infektiös sind. In welchen Umfang und wie lange das für die einzelnen Impfstoffe und gegen eventuell kursierende Virusmutationen zutrifft, ist gegenwärtig noch weitgehend offen. Wenn z.B. die Immunität effektiv nur bei 90% der Geimpften vorliegt, dann hieße das, dass die Impfquote im Hinblick auf dieselbe Schutzwirkung in der Bevölkerung entsprechend höher sein muss. Um einen effektiven Immunisierungsgrad von 70 % zu erreichen, müssten daher in diesem Falle knapp 78 % der Menschen geimpft werden.

Umgekehrt wären bei einer Impfquote von 70 % effektiv nur 63 % immunisiert. Wie man Abb. 9 entnehmen kann, würde man dann in der Beispielrechnung bei einem R-Wert von 3 statt der 261.000 Infizierten (bezogen auf einen Immunisierungsgrad von 70 %) etwa 1 Mio. Infizierte (bezogen auf einen Immunisierungsgrad von 63 %) bekommen.

Die Sensitivität der Fallzahlen bei Variation des Immunisierungsgrads in Bezug auf den theoretischen Bezugswert der Herdenimmunität ist in Abbildung 14 dargestellt.

Sensitivität der Fallzahlen bei Variation des Immunisierungsgrads. Für unterschiedliche R-Werte ist dargestellt, um welchen Faktor (y-Achse) sich die Neuinfektionszahlen bei einer Änderung des Immunisierungsgrads (x-Achse) im Intervall Herdenimmunität – 20 % bis Herdenimmunität + 20 % verändern.

Abbildung 14: Sensitivität der Fallzahlen bei Variation des Immunisierungsgrads. Für unterschiedliche R-Werte ist dargestellt, um welchen Faktor (y-Achse) sich die Neuinfektionszahlen bei einer Änderung des Immunisierungsgrads (x-Achse) im Intervall Herdenimmunität – 20 % bis Herdenimmunität + 20 % verändern. Man beachte die logarithmische Skalierung auf der y-Achse. Bezugswert ist die jeweilige Neuinfektionszahl, die sich bei Übereinstimmung zwischen dem Immunisierungsgrad und der Herdenimmunität ergibt. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 6 Wochen. Beispiel: R-Wert = 4 (blaue Kurve), Immunisierungsgrad = Herdenimmunität – 10 %; dem Diagramm entnimmt man, dass die Anzahl der Neuinfektionen fast 4-mal höher ist als im Falle „Immunisierungsgrad = Herdenimmunität“.

Dem Diagramm kann man unschwer entnehmen, wie sensibel die Fallzahlen auf Abweichungen des effektiven Immunisierungsgrads von der theoretischen Herdenimmunität reagieren. Der Referenzwert im Nullpunkt (also Abweichung = x-Wert = 0 %) ist in Bezug auf den jeweiligen R-Wert auf 1 gesetzt. Die initiale Kurvensteigung im Nullpunkt ist proportional zum R-Wert (genauer: -R).

In der linken Hälfte des Diagramms sieht man, wie stark die Fallzahlen steigen, wenn der Immunisierungsgrad die theoretische Herdenimmunität pro R-Wert um einige Prozentpunkte unterschreitet. Auf der rechten Seite des Diagramms erkennt man umgekehrt, dass die Fallzahlen sehr schnell kleiner werden, sofern der (effektive) Immunisierungsgrad den Wert für die Herdenimmunität nennenswert übersteigt.

Die Kurven in Abb. 14 belegen klar die Kritikalität des Immunisierungsgrads in Bezug auf die aus dem R-Wert bestimmte theoretische Herdenimmunität. Ein effektiver Immunisierungsgrad unterhalb der Herdenimmunität bringt noch keine durchgreifende Entlastung bei den Neuinfektionszahlen. Im Hinblick auf die möglicherweise (bzw. wahrscheinlich) nicht 100%-ige Wirksamkeit von Impfungen muss daher die Impfquote signifikant über der jeweiligen Herdenimmunitätsgrenze liegen.

Folgerungen

Als Resümee aus dem Vorhergehenden ergibt sich die folgende Darstellung (s. Abb. 14): Die Immunisierungsgrade müssen Werte in der oberen Hälfte des eingezeichneten grünen Bereichs annehmen. Je weiter entfernt von der blauen Grenzkurve, desto besser. Bei Immunisierungsgraden unter 70 % sind R-Werte über 3 tabu, da die Infektionszahlen ansonsten binnen weniger Wochen 6-stellig werden können (s. Abb. 13). Umgekehrt erfordern R-Werte um 4 Immunisierungsgrade von 80%.

Pandemie-Orientierungskarte (4). Ausgangssituation, gegenwärtiger Status und Zielbereich.

Abbildung 15: Pandemie-Orientierungskarte (4). Ausgangssituation, gegenwärtiger Status und Zielbereich.

In Abbildung 16 sind für die Reproduktionsfaktoren R = 2,5, 3, 4 und 5 jeweils die Werte für die theoretischen Herdenimmunitäten eingetragen. Die grünen Pfeile darüber zeigen die sinnvollen Wertebereiche der dazu passenden Immunisierungsgrade. Nach den vorstehenden Analysen erscheint es zweckmäßig, den Immunisierungsgrad mindestens etwa 5 % über der sich aus dem R-Wert ergebenden theoretischen Herdenimmunität zu wählen. Der entsprechende Bereich ist unten durch die punktierte grüne Line begrenzt. Dies unterstellt, bleiben die Neuinfektionsraten bei der angenommenen initialen Inzidenz von 50 pro 100.000 über einen Zeitraum von 12 Wochen im niedrigen 6-stelligen Bereich (s. Abb. 13), sofern nahezu 100 % der Geimpften tatsächlich immun sind und das Virus nicht weitergeben. Schon wenn die Impfung nur in 1 von 10 Fällen nicht wie erwartet zur Immunisierung führt, was ja immer noch eine hohe Impfwirksamkeit von 90 % wäre, könnten die Neuinfektionen im Betrachtungszeitraum von 12 Wochen die Millionengrenze erreichen und überschreiten.

Nur drei Beispiele dazu: R-Wert = 2,5, Impfquote 60 %, effektive Immunisierung 55 %. Statt der bei einer Immunisierung von 60 % erwarteten Anzahl von 480.000 Neuinfektionen (initiale Inzidenz 50 pro 100.000, 12 Wochen) muss man mit mehr als doppelt so viel rechnen (= 1,09 Mio., vgl. Abb. 9). R-Wert = 3,5, Impfquote 70 %, effektive Immunisierung 65 %. Die bei einer Immunisierung von 70 % erwarteten 650.000 Neuinfektionen (initiale Inzidenz 50 pro 100.000, 12 Wochen) steigen auf die dreifache Anzahl (= 2,05 Mio., vgl. Abb. 10). R-Wert = 4, Impfquote 80 %, effektive Immunisierung 70 %. Gegenüber den bei einer Immunisierung von 80 % zu erwartenden 151.000 Neuinfektionen (initiale Inzidenz 50 pro 100.000, 12 Wochen) könnte sich die Anzahl auf 1,71 Mio. erhöhen (vgl. Abb. 10).

Pandemie-Orientierungskarte (5). Ausgangssituation, gegenwärtiger Status und Zielbereich mit den eingezeichneten minimalen Immunisierungsgraden (punktierte Linie / Startpunkte der grünen Pfeile) bezogen auf die Reproduktionsfaktoren R = 2,5, 3, 3,5 und 4 sowie den entsprechenden Herdenimmunitäten H.

Abbildung 16: Pandemie-Orientierungskarte (5). Ausgangssituation, gegenwärtiger Status und Zielbereich mit den eingezeichneten minimalen Immunisierungsgraden (punktierte Linie / Startpunkte der grünen Pfeile) bezogen auf die Reproduktionsfaktoren R = 2,5, 3, 3,5 und 4 sowie den entsprechenden Herdenimmunitäten H.

Resümee

Nach dem Vorstehenden kann man sich der Erkenntnis nicht verweigern, dass auch bei einer vergleichsweise hohen Impfquote von über 70 % die Pandemie nicht als beendet angesehen werden kann. Unter „normalen“ Bedingungen können die Neuinfektionszahlen selbst bei einem moderaten Ausbruch mit einer 7-Tage-Inzidenz von 50 pro 100.000 Personen in wenigen Wochen Werte von einigen hunderttausend erreichen. Zum Vergleich: In der ersten Corona-Welle waren von Anfang März bis Ende Mai 2020 trotz der Lockdown-Beschränkungen etwa 180.000 Corona-Infektionen zu verzeichnen, und das hat man damals als extrem bedrohlich empfunden. Großveranstaltungen (Sportereignisse, Volksfeste, Karneval, Weihnachtsmärkte) können unter den vor der Pandemie üblichen Bedingungen eine solche Inzidenz fraglos auslösen. Gleichfalls können auch Urlaubsrückkehrer die Quelle für Neuinfektionen sein.

Welchen Schluss kann man daraus ziehen? Impfen bringt nichts? – Keineswegs! Natürlich ist eine hohe Impfquote wichtig, vor allem gilt dies für die vulnerablen Gruppen (insbes. Menschen über 70 oder 80 und Menschen mit Vorerkrankungen). Impfen allein genügt aber nicht. Wir müssen vielmehr lernen, mit dem Corona-Virus zu leben, genau wie wir auch gelernt haben, mit anderen viralen Bedrohungen zurechtzukommen. Diese Aufforderung richtet sich an uns alle, sie geht aber zuvorderst an die politisch Verantwortlichen.

Die Politiker müssen sich der Realität stellen und zu einem wissenschaftlich fundierten, aber eben nicht einseitig am Gesundheitssystem ausgerichteten Krisenmanagement finden. Dazu gehört vor allem die Abkehr von der Inzidenzzahl als dem nahezu einzigen Indikator für die Situationsbeurteilung. Diese Steuergröße ist für die Auslösung von Schutzmaßnahmen denkbar ungeeignet. Ausgehend von der Erwartung, dass die Impfquote in absehbarer Zeit kaum über 70 % steigen wird, legt die vorstehende Analyse nahe, dass die Pandemie noch lange dauern könnte, wenn man ausschließlich auf Inzidenzen schaut.

Es ist nicht die Aufgabe der Politik, jedes Risiko von den Menschen zu nehmen. Und es ist absolut unverhältnismäßig, dem Vorsorgeprinzip alles andere unterzuordnen: Kultur, gesellschaftliche Aktivitäten, Freizeit, ja die gesamt Wirtschaft. Niemand führt Buch über die dergestalt verursachten Kollateralschäden. Freiheitsbeschränkungen sind in der Demokratie höchstens ausnahmsweise und befristet hinnehmbar. Wer das als Politiker anders sieht, sollte sein Amt niederlegen bzw. sich gar nicht erst zur Wahl stellen.

Mündige Staatsbürger brauchen keinen Vormund. Die Eigenverantwortung ist die stärkste Waffe gegen das Corona-Virus. Freiheit und Eigenverantwortung sind die zwei Seiten ein und derselben Medaille. Der Staat trägt Verantwortung nur für diejenigen, die sich nicht selbst schützen können. Darauf muss er sich konzentrieren und soll alles andere der Vernunft, dem Ideenreichtum und dem Gestaltungswillen seiner Staatsbürger überlassen.


Quellen:

[1] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) – 23.03.2021 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Mar_2021/2021-03-23-de.pdf?__blob=publicationFile

[2] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) – 26.01.2021 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Jan_2021/2021-01-26-de.pdf?__blob=publicationFile

[3] Corona-Infektionen (COVID-19) in Deutschland nach Altersgruppe und Geschlecht (Stand: 23. März 2021). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1103904/umfrage/corona-infektionen-covid-19-in-deutschland-nach-altersgruppe/#professional

[4] Todesfälle mit Coronavirus (COVID-19) in Deutschland nach Alter und Geschlecht (Stand: 23. März 2021). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1104173/umfrage/todesfaelle-aufgrund-des-coronavirus-in-deutschland-nach-geschlecht/

[5] Nach Krisengipfel: Virologe mit scharfer Corona-Kritik an Merkel und Söder – „Weit weg von Realität“

https://www.merkur.de/lokales/muenchen/lockdown-corona-bayern-virologe-corona-strategie-merkel-soeder-krise-gipfel-zr-90175293.html

[6] Corona-Lockdown bis Sommer? Just der Wirtschaftsminister schließt nichts aus

https://www.merkur.de/politik/coronavirus-lockdown-verlaengerung-peter-altmaier-deutschland-mutation-cdu-variante-sommer-90186104.html

[7] Scharfe Kritik an Corona-Politik und Experten – „Andere Sichtweisen offenbar unerwünscht“

https://www.merkur.de/politik/corona-deutschland-gipfel-merkel-laender-massnahmen-pandemie-kritik-experten-wissenschaftler-auswahl-90174423.html

[8] Das „Vorsorgeprinzip“ der Kanzlerin in der Pandemie ist einseitig

https://www.handelsblatt.com/meinung/kommentare/kommentar-das-vorsorgeprinzip-der-kanzlerin-in-der-pandemie-ist-einseitig-/26833548.html

[9] Angela Merkel: Unerwarteter Corona-Angriff! Leopoldina attestiert „politischen Missbrauch von Wissenschaft“ | Politik (merkur.de)

https://www.merkur.de/politik/coronavirus-merkel-soeder-wissenschaft-leopoldina-experte-lockdown-missbrauch-politik-90204364.html

[10] NACH DER AUSNAHME KOMMT DIE NORMALITÄT

[11] Das Coronavirus – So schnell breitet es sich aus. Aber wir können etwas tun!

[12] Das Coronavirus: Harmlos? Bedrohlich? Tödlich?

[13] Aktuelles zu Corona

[14] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

[15] CORONA-KRITIKER AUS DEM ETHIKRAT ENTLASSEN


Anhang:

Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen.

Abbildung A-1: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Beispiel: R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 18 % der Gesamtbevölkerung; Immunisierungsgrad = 0,8 (80 %), Neuinfizierte = 1 % der Gesamtbevölkerung.

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung A-2: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 2,5 (blaue Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 925.000 innerhalb von 12 Wochen.

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung A-3: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 3,5 (grüne Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 9,5 Mio. innerhalb von 12 Wochen.

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen.

Abbildung A-4: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 2,5 (blaue Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 878.000 innerhalb von 24 Wochen.

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen.

Abbildung A-5: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 3,5 (grüne Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 17,6 Mio. innerhalb von 24 Wochen.

Das Coronavirus: Harmlos? Bedrohlich? Tödlich?

Für die Politik und die Medien ist die Corona-Pandemie spätestens seit März d. J. das nahezu alles dominierende Thema. Die Gefährlichkeit des Coronavirus stand von Anfang an außer Frage. Deshalb haben die Länder und der Bund im März und April unter fachkundiger Beratung von Virologen und Medizinern schnell drastische Maßnahmen zur Abwendung eines Kollaps des Gesundheitssystems verfügt und einen „Lockdown“ der Wirtschaft und des öffentlichen Lebens beschlossen. Das schien damals die einzige Möglichkeit zu sein, die exponentielle Verbreitung des Virus einzudämmen. Ein richtig harter Lockdown war es nicht, eher ein halbherziger. Obwohl das Virus bereits im November 2019 in China erstmals aufgetaucht war, wusste auch die Wissenschaft zu Beginn des Jahres 2020 noch sehr wenig über das Virus und seine Verbreitungswege. Deswegen war es richtig, vorsorgliche Maßnahmen zu treffen. Besser noch wäre es gewesen, den Lockdown mit größerer Konsequenz durchzuführen.

Nach nahezu täglichen, dramatische Szenarien heraufbeschwörenden Corona-Sondersendungen in ARD und ZDF, war die Mehrheit der Bevölkerung sehr schnell von der Bedrohung durch das Coronavirus überzeugt und stützte den Kurs der Regierung. Mit leichten Einschränkungen gilt das noch heute.

Kritik am Corona-Kurs

Von Anfang an meldeten sich indessen auch Kritiker zu Wort. Den einen waren die Maßnahmen nicht hart und konsequent genug, den anderen gingen sie zu weit, weil sie in vielen Lebensbereichen wirtschaftliche Existenzen zu vernichten drohen. Eine Minderheit von vielleicht 10 – 20 % lehnt die politischen Maßnahmen aus unterschiedlichen Beweggründen heraus vollends ab. Darunter sind Menschen, die ernstliche Sorge um Ihre demokratischen Freiheitsrechte haben. Wieder andere, die gute Gründe zur Relativierung der Corona-Pandemie ins Feld führen und von der Politik zielgenaue und verhältnismäßige Maßnahmen einfordern. Es gibt aber auch eine durchaus nennenswerte Zahl von Wirrköpfen, die sich selbst als „Querdenker“ bezeichnen, dabei aber noch nicht einmal das „Geradeausdenken“ in hinreichendem Maße beherrschen. Wohlgemerkt, das trifft nicht pauschal auf alle „Querdenker“ zu. Dennoch: Die sogenannten Querdenker lehnen die verfügten politischen Maßnahmen rundweg ab. Sie halten das Coronavirus i. W. für harmlos und die Maßnahmen daher schlichtweg für unnötig und schädlich.

Wie fast immer, liegt die Wahrheit in der Mitte. Weder gibt es einen Grund, Katastrophenszenarien heraufzubeschwören, noch darf man die vom Coronavirus ausgehende Gefahr kleinreden.

Wie hoch ist das Risiko?

Unabhängig davon gab und gibt es auch unterschiedliche Einschätzungen zur tatsächlichen Gefährlichkeit des Coronavirus. Einwände kommen dabei nicht nur von „Verschwörungstheoretikern“. Auch eine Minderheit von Medizinern und Virologen gehört dazu, darunter der weltweit renommierteste Epidemiologe, John Ioannidis von der Stanford University. Nach Ioannidis, der dazu eine Reihe von Metastudien ausgewertet hat, liegt die globale Sterblichkeit (Letalität) quer über alle Altersgruppen bei 0,23%. Demnach würde also einer von 450 Infizierten versterben. Das klingt tatsächlich nicht allzu bedrohlich und liegt in der Größenordnung der Letalität einer starken Grippewelle. Indessen ist die Sterblichkeit sehr stark vom Alter der Infizierten und von eventuellen Vorerkrankungen abhängig. Menschen mit Herzerkrankungen, Diabetiker, Raucher, Übergewichtige und alle mit vorgeschädigten Lungen (z.B. aufgrund von Smog) tragen generell ein höheres Risiko.

Betrachten wir im Folgenden die Fakten zu den Infektionszahlen und der resultierenden Sterblichkeit in Deutschland. Per 1. Dezember 2020 gibt es nach Angaben des RKI kumuliert knapp 1,06 Mio. Infizierte (genau 1.057.192), davon sind 16.701 Personen „an oder mit“ Corona verstorben. Daraus können wir leicht eine pauschale Letalität von 1,58% bestimmen. Demnach verstirbt einer von 63 Infizierten. Das ist gewiss nicht wenig und liegt signifikant über der Sterblichkeit der gewöhnlichen Influenza.

Suche nach den richtigen Maßnahmen

Sind also die Maßnahmen der Politik berechtigt? Ist die Corona-Pandemie gar „die größte Herausforderung seit dem zweiten Weltkrieg“, wie Bundeskanzlerin Merkel das formuliert hat? – Letzteres ist definitiv einige Hausnummern zu hoch gegriffen und darf als Beispiel für einen Kakophemismus gelten, also das Gegenteil einer beschönigenden Darstellung. Nur wer diese oberflächliche Faktenanalyse bereits für eine hinreichende Daten- und Entscheidungsgrundlage hält, kann die getroffenen Lockdown-Maßnahmen für sinnvoll und zielführend erachten.

Ebenso wenig wie die absoluten Infektionszahlen erweist sich also auch die o.g. pauschale Letalitätsrate als ungeeignete Messlatte. Wir brauchen mindestens eine differenzierte Betrachtung nach Altersgruppen.

Mortalität

Die Mortalität ist der relative Anteil der an einer bestimmten Krankheit Verstorbenen bezogen auf die Gesamtheit der Bevölkerung oder bezogen auf eine bestimmte Personengruppe (z.B. Menschen eines gegebenen Alters oder die Bevölkerung in einer Region). Beispiel 1: 150 von 1 Million Einwohnern eines Landes sterben infolge einer COVID-19-Erkrankung. Dies entspricht einer (Corona- bzw. COVID-19) Mortalität von 150/1.000.000 = 0,015%. Beispiel 2: 100 von 200.000 Menschen in der Altersgruppe 80+ sterben infolge einer COVID-19-Erkrankung. Dies entspricht einer spezifisch gruppenbezogenen (Corona- bzw. COVID-19) Mortalität von 100/200.000 = 0,5%.

Letalität

Die Letalität ist der relative Anteil der Verstorbenen bezogen auf die Gesamtheit der Infizierten oder die Gesamtheit der Infizierten einer bestimmten Personengruppe. Beispiel 1: 10.000 Personen sind infiziert, davon versterben 150. Dies entspricht einer Letalität von 150/10.000 = 1,5%. Beispiel 2: 2.000 Personen in der Altersgruppe 80+sind infiziert, davon versterben 100. Dies entspricht einer gruppenbezogenen Letalität von 100/2.000 = 5%.

Mortalität und Letalität im Vergleich

Der Unterschied zwischen Mortalität und Letalität besteht darin, dass sich die erste Zahl auf die Gesamtheit der definierten Personengruppe bezieht (Anzahl der Verstorbenen geteilt durch Anzahl der Infizierten bzw. Kranken inklusive Anzahl der Gesunden), während der zweite Wert ausschließlich auf die Untermenge der infizierten Personen abstellt (Anzahl der Verstorbenen geteilt durch Anzahl der Infizierten exklusive Anzahl der Gesunden).

Die Letalität ist somit ein Maß für die Gefährlichkeit einer Infektion bei gegebener Leistungsfähigkeit des Gesundheitssystems und gegebenem Gesundheitszustand des betreffenden Personenkreises. Maßnahmen zum Infektionsschutz haben in erster Näherung keine Auswirkungen auf die Letalität (indirekt aber schon, wenn z.B. besonders gefährdete Gruppen infiziert werden und dadurch die Letalität steigt).

Dagegen misst die Mortalität darüber hinaus das Infektions- bzw. Erkrankungsrisiko. In Bezug auf Corona steckt in der Maßzahl der Mortalität somit auch die Wirksamkeit von Schutzmaßnahmen. Je wirksamer der Infektionsschutz, desto kleiner die Anzahl der Infizierten und demzufolge auch desto geringer die Mortalität. Verkürzt kann man das in folgender Formel zusammenfassen:

Mortalität = Infektionsrisiko * Letalität

Bei 100%-iger Wirksamkeit der Schutzmaßnahmen ist das Infektionsrisiko = 0 und somit die spezifische Mortalität ebenfalls 0. Ohne Schutzmaßnahmen oder mit wenig effektiven Schutzmaßnahmen liegt das Infektionsrisiko in Abhängigkeit von individuellen Faktoren (z.B. Kontakthäufigkeit, Kontaktdauer, Kontaktintensität) irgendwo zwischen 0 und 100%. Im Extremfall, wenn alle Personen der relevanten Bezugsgruppe infiziert sind, ist die Mortalität gleich der Letalität.

Was sind die richtigen Maßnahmen?

Nach dem Vorstehenden kann man die Todesfallzahlen auf zweierlei Weise niedrig halten: 1. Durch die Vermeidung von Infektionen. 2. Durch effektive medizinische Behandlung. Keine Frage, besser ist es allemal, Infektionen ganz zu vermeiden. Dabei kommt es aber darauf an, die Infektionsschutzmaßnahmen dort anzusetzen, wo sie z.B. im Hinblick auf die Reduzierung der Sterbefälle die größtmögliche Wirkung entfalten. Pauschal auf die Gesamtbevölkerung abzielende halbherzige Maßnahmen wie im „Lockdown light“ sind eher ineffektiv, weil sie die große Anzahl der eher wenig gefährdeten Jüngeren unter 60 genauso behandeln, wie die sehr viel stärker bedrohte Personengruppe der über 80-Jährigen.

Wenn man die Infektionszahlen durchgreifend reduzieren will, so dass auch die besonders gefährdeten Altersgruppen 80+ und 60-79 schnell davon profitieren, dann geht das nur mit einem harten Lockdown. Dieser muss so lange dauern, bis die Reproduktionszahl (R-Wert) stabil auf einem Wert deutlich unter 1 verharrt, am besten bei 0,5 bis 0,7. Das ist voraussichtlich nach etwa 3 Wochen der Fall. In der Folge muss der R-Wert dauerhaft unter 1, besser unter 0,9 bleiben. Dafür könnte eine Variante des „Lockdown light“ ausreichen. Für die generelle Diskussion zur Modellbildung s. [27].

Analyse des Datenstandes: Infizierte und Todesfälle

Im Folgenden analysieren wir den Datenstand im gegenwärtigen „Lockdwon light“ per 01.12.2020.

Bevölkerungsanteile pro Altersgruppe (2019). Beispiel: 5,68 Mio. bzw. 6,8% der Menschen sind in der Altersgruppe 80 und darüber.

Abbildung 1: Bevölkerungsanteile pro Altersgruppe (2019). Beispiel: 5,68 Mio. bzw. 6,8% der Menschen sind in der Altersgruppe 80 und darüber.

COVID-19-Infizierte pro Altersgruppe. Per 01.12.2020 waren insgesamt 1.057.192 Menschen infiziert.

Abbildung 2: COVID-19-Infizierte pro Altersgruppe. Per 01.12.2020 waren insgesamt 1.057.192 Menschen infiziert.

Der Anteil der Infizierten in der Altersgruppe 80+ liegt bei 7,2%. Für die Altersgruppe 0-59 haben wir 1.401 Infizierte pro 100.000 Personen. Bei den 60-79-Jährigen ist dies mit 820 Infizierten pro 100.000 Personen signifikant geringer ausgeprägt. Auffallend ist, dass die Altersgruppe 80+ der besonders gefährdeten Menschen wiederum einen deutlich erhöhten Infektionsanteil aufweist (1.341 Infizierte pro 100.000 Personen). Dieser Wert ist fast so hoch wie in der Gruppe der 0-59-Jährigen. Die Zahl liegt sogar über dem Durchschnittswert für die Gesamtbevölkerung (1.271 Infizierte pro 100.000 Einwohner).

Im Folgenden werden die Bevölkerungsanteile und die Infektionszahlen einander gegenübergestellt (s. Abb. 3).

Bevölkerungsanteile vs. COVID-19 Infizierte pro Altersgruppe.

Abbildung 3: Bevölkerungsanteile vs. COVID-19 Infizierte pro Altersgruppe. Der Gegenüberstellung entnimmt man, dass die 0-59-Jährigen und die Menschen in der die Altersgruppe 80+ überproportional häufig infiziert sind (10% bzw. 5% über dem Durchschnitt). Bei den 60-79-Jährigen ist der Anteil der Infizierten signifikant geringer (14,02/21,71 65%, d.h., 35% unter dem Durchschnitt).

Die Darstellung in Abb. 3 macht klar, dass die besonders gefährdete Personengruppe der Über-80-Jährigen durch die verfügten Schutzmaßnahmen nicht in dem Maße vor Infektionen geschützt wird, wie dies angesichts des erhöhten Sterberisikos nötig wäre. Wir werden gleich sehen, welche fatale Auswirkung dies auf die Todesfallzahlen hat. Eine der möglichen Ursachen werden wir weiter unten näher beleuchten. Auf der anderen Seite hat zumindest die Altersgruppe der 60-79-Jährigen ein nennenswert geringeres Infektionsrisiko mit positiver Auswirkung auf die Todesfallzahlen. Der Grund dafür könnte darin bestehen, dass sich die Menschen dieser Gruppe des grundsätzlichen Ansteckungsrisikos äußerst bewusst sind und sich proaktiv selbst schützen. Die Altersgruppe 0-59 hat mehr Kontakte und daher auch ein höheres Infektionsrisiko.

Eher geringer sind die Kontaktzahlen wohl in der Altersgruppe 80+, indessen haben viele Menschen in diesem Alter aufgrund von Pflegebedürftigkeit (häuslich oder stationär im Heim) nicht mehr die volle Kontrolle über ihr eigenes Leben und können sich nicht effektiv schützen, daher die überdurchschnittliche Infektionszahl im Vergleich zum Bevölkerungsanteil. Dieser Missstand schlägt sich unmittelbar auf die Todesfallzahlen nieder. In Abb. 4 sind die entsprechenden Werte bezogen auf 100.000 Einwohner dargestellt.

COVID-19 Todesfälle pro Altersgruppe. Per 01.12.2020 waren kumulativ 16.701 Menschen „an oder mit“ COVID-19 verstorben.

Abbildung 4: COVID-19 Todesfälle pro Altersgruppe. Per 01.12.2020 waren kumulativ 16.701 Menschen „an oder mit“ COVID-19 verstorben.

Der Anteil der Sterbefälle in der Altersgruppe 80+ liegt bei 65,6%. Nur 758 bzw. 4,5% der Toten sind der Altersgruppe 0-59 zugeordnet. Dies entspricht einer Inzidenz von 0,9 Fällen pro 100.000 Einwohner verglichen mit 13,2 Fällen in der Altersgruppe 80+ und weniger halb so viel (6,0) in der Altersgruppe 60-79, die indessen mehr als 3-mal mehr Menschen zählt als die Altersgruppe 80+. Es zeigt sich hier schon, dass die Altersgruppe 80+ ungenügend geschützt wird.

COVID-19 Infizierte vs. Todesfälle pro Altersgruppe.

Abbildung 5: COVID-19 Infizierte vs. Todesfälle pro Altersgruppe. In dieser Gegenüberstellung fällt sofort die extreme Asymmetrie zwischen den Infektionszahlen und den Todesfallzahlen pro Altersgruppe ins Auge.

Auf ca. 79% der Infizierten in der Altersgruppe 0-59 fallen nur etwa 4,5% der an COVID-19 Verstorbenen (1,28 Tote pro 100.000 Personen in der Altersgruppe). Weitere 30% der Todesfälle kommen aus der Gruppe der 60-79-Jährigen, die 14% der Infizierten stellen (27,5 Tote pro 100.000 Personen in der Altersgruppe). Fast Zweidrittel (65,64%) der Toten treten auf in der Altersgruppe 80+, die indessen weniger als 7% der Infizierten stellen (193 Tote pro 100.000 Personen in der Altersgruppe).

Analyse des Datenstandes: COVID-19-Mortalität

Die beiden Säulen in Abb. 5 machen transparent, dass die im Vergleich relativ geringe Anzahl an Infizierten aus der Altersgruppe 80+ dennoch die Sterbefälle dominieren. Man kann dies noch klarer aufzeigen durch die Bezugnahme auf die entsprechenden Bevölkerungsanteile. Dies wird in der nachfolgenden Grafik als spezifische Mortalität pro 100.000 Personen der Altersgruppe demonstriert.

Spezifische COVID-19 Mortalität nach Altersgruppen per 01.12.2020.

Abbildung 6: Spezifische COVID-19 Mortalität nach Altersgruppen per 01.12.2020. Man beachte, dass hier die spezifische Mortalität bezogen auf die Personenzahl der betreffenden Altersgruppe aufgetragen ist. Die gestrichelte Linie markiert die durchschnittliche Mortalität über alle Altersgruppen (Rubrik ganz links).

Der vorstehenden Abb. 6 entnimmt man direkt, wie stark die betrachteten Altersgruppen in unterschiedlicher Weise vom Virus betroffen sind und in der Folge die Fallzahlen treiben. Die Altersgruppe 80+ sticht mit einer Mortalität von 193 Todesfällen pro 100.000 Personen derselben Altersgruppe heraus. Vergleicht man die Inzidenzen, so sieht man z.B., dass Individuen in der Altersgruppe 80+ fast 200-mal stärker gefährdet sind als solche der Altersgruppe 0-59. In der Konsequenz registrieren wir damit für die Altersgruppe 80+ eine fast 200-mal höhere individuelle COVID-19-Sterbewahrscheinlichkeit als für die Altersgruppe 0-59. Die Darstellung macht klar, dass die Reduzierung der Todesfallzahlen genau an dieser Stelle ansetzen muss, weil die Falldichte in dieser Gruppe mit Abstand am größten ist.

Es ist wichtig, den Unterschied zwischen dem Kreisdiagramm nach Abb.4 und der Darstellung nach Abb. 6 zu erkennen. Im ersteren Fall sind die Todesfälle der Altersgruppe bezogen auf die Gesamtbevölkerung dargestellt. Es wird also aufgezeigt, welche Altersgruppe wie stark zur gesamten Todesfallzahl beiträgt. Da die Gruppen unterschiedlich groß sind ist damit noch nichts über den Pro-Kopf-Beitrag gesagt. Diese Info, also das individuelle Sterberisiko in den Altersgruppen findet sich in Abb. 6.

Die größte Sensitivität zur Reduzierung der Todesfallzahlen besteht offensichtlich dort, wo der Pro-Kopf-Beitrag zu den Inzidenzen am höchsten ist. Das ist die Altersgruppe 80+ und deshalb muss auch dort der Stellhebel ansetzen. Wenn man es schafft, 100.000 Menschen aus der Altersgruppe 0-59 infektionsfrei zu halten, senkt man damit die Todesfallzahl summarisch um 1. Die gleiche Anzahl infektionsfreier Menschen in der Altersgruppe 80+ reduziert die Fallzahl statistisch bereits um 193 Tote.

Nach Abb. 6 ist es unabweisbar, dass die Fokussierung auf die summarischen Infektionszahlen im Hinblick auf die Eindämmung der Todesfälle wenig bis nichts bringt, weil dadurch vorrangig die (Infektions-) Fallzahlen bei der großen Gruppe der 0-59-Jährigen (59 Mio., s. Abb. 1) reduziert werden. Der Hebel zur Verringerung der Infektionszahlen bei der relativ kleinen Gruppe der Über-80-Jährigen (5,7 Mio., s. Abb. 1)) ist sozusagen zu kurz. Es kommt also darauf an, die gefährdete Altersgruppe 80+ durch direkt wirksame Maßnahmen vor Ansteckung zu schützen. Die getroffenen Maßnahmen können das evident nicht leisten.

Nur zwei Zahlenbeispiele: Wenn in der Altersgruppe 0-59 die Hälfte aller Infektionen vermieden wird, dann resultiert das zunächst einmal nur in einer Reduzierung der Todesfallzahlen um etwa 380 (50% von 758, s. Abb. 4). Dieselbe relative Vermeidung von Infektionen in der Altersgruppe 80+ führt zu einer Verringerung der Sterbefälle um ca. 5.500 (50% von 10.952, s. Abb. 4). Natürlich sind die Infektionszahlen in den diversen Altersgruppen im Allgemeinen nicht völlig unabhängig voneinander, dennoch wird klar, dass die gegenwärtigen Maßnahmen einen effektiven Schutz nicht gewährleisten können, weil sie nach dem Gießkannenprinzip arbeiten und gerade nicht dort ansetzen, wo die größtmögliche Wirkung zu erwarten ist.

Ein Vergleich: Wenn Hochwasser droht, kann man den Damm überall gleichmäßig um einen Meter erhöhen. Das verursacht einen großen Aufwand, ändert aber nichts daran, dass die alte Schwachstelle auch die neue Schwachstelle bleibt. Ist es da nicht viel sinnvoller, den Damm vor allem dort zu stärken, wo er dem Wasser den geringsten Widerstand entgegensetzt? Die schwächste Stelle zu schützen erfordert weniger Aufwand, ist schneller erledigt und hat erwartbar den größten Effekt.

Alter als Risikofaktor

Diesen Aspekt wollen wir im Folgenden vertiefen. Dazu betrachten wir die Letalität in den drei Altersgruppen.

COVID-19-Letalität nach Altersgruppen. Datenstand per 01.12.2020.

Abbildung 7: COVID-19-Letalität nach Altersgruppen. Datenstand per 01.12.2020.

In der Altersgruppe 80+ versterben mehr als 14% der Infizierten. Gut 3% sind es in der Altersgruppe 60-79 und nur 0,09% in der Altersgruppe 0-59. Diese Maßzahlen beschreiben direkt das pauschale Sterberisiko für Individuen in den entsprechenden Gruppen bei einer bereits manifesten Infektion.

Wie Abb. 7 zu entnehmen ist, sind die Über-80-Jährigen mit großem Abstand die am stärksten gefährdete Gruppe. Umso wichtiger ist es, Infektionen in dieser Altersgruppe zu vermeiden. Unterstellt, wir hätten für alle Gruppen dasselbe Infektionsrisiko, müssen, ganz plakativ formuliert, Personen aus der Altersgruppe 80+ um den Faktor 4 ( 14,39/3,36) besser vor Infektionen geschützt werden, als die Menschen aus der Altersgruppe 60-79, und 160-mal besser als die Altersgruppe 0-59 (160 14,39/0,09). Offenbar gelingt dies nicht, wie wir bereits in Abb. 3 gesehen haben.

Wie oben erläutert, steckt im Zahlenwert für die Mortalität u.a. die Wirksamkeit der Schutzmaßnahmen gegen Infektionen, während die Letalität das Sterberisiko bei vorliegender Infektion misst. Abb. 7 können wir entnehmen, dass die Gesamtanzahl der Todesfälle nur auf dem Wege der Senkung der Infektionszahlen in der Altersgruppe der 80+ (Priorität 1) und 60-79 (Priorität 2) gelingen kann. Undifferenzierte Maßnahmen zur allgemeinen Reduzierung der Infektionszahlen wie wir sie gegenwärtig im „Lockdown light“ erleben, sind diesbezüglich nahezu wirkungslos und haben allenfalls einen mittelbaren Effekt.

Heimunterbringung als größter Risikofaktor

Eine besondere Problematik besteht bezüglich der Unterbringung von Betagten in Pflege- und Altenheimen. Dazu folgendes Zitat aus der hessenschau vom 20.11.2020 (s. [19]):

„Wohnen im Altenheim ist derzeit der größte Risikofaktor für einen Tod durch oder mit Covid-19. Das zeigen die November-Zahlen des Landes.“

In Abb. 8 ist die Situation in Hessen plakativ dargestellt.

COVID-19 Sterbefälle in Hessen (Periode 02. – 18. November 2020).

Abbildung 8: COVID-19 Sterbefälle in Hessen (Periode 02. – 18. November 2020)

Es ist auffallend, dass in Hessen fast 2/3 aller COVID-19 Todesfälle im betrachteten Zeitraum unter den Bewohnern von Pflege- und Altenheimen auftraten. Nun kann man diese exemplarischen Zahlen aus Hessen sicher nicht ohne weiteres verallgemeinern. Aktuelle bundesweite Zahlen liegen dem Verfasser nicht vor. Es gibt aber eine Zahl zu den kumulierten Coronatoten bis zum 15. November 2020 für das gesamt Bundesgebiet. Danach wurden 4.170 der bis dahin erfassten insgesamt 12.400 Todesfälle in Pflege- und Altenheimen gezählt. Das ist in der Relation deutlich weniger (33,6%). Also doch kein Corona-Problem in Pflege- und Altenheimen? Leider doch!

Wenn wir die vorstehenden für den 15.11. genannten Zahlen weiter fortschreiben, dann müssen wir damit rechnen, dass per 01.12.2020 anteilig ebenfalls 33,6% der o.g. 16.700 Coronatoten, also 5.600, in Pflege- und Altenheimen verstorben sind. In der Jahreskumulation wurden bislang (per 01.12.2020) 10.962 Coronatote in der Altersgruppe 80+ gezählt, das sind 65% aller COVID-19 Todesfälle. Der Anteil der „an oder mit“ COVID-19 Verstorbenen in Pflege- und Altenheimen unter allen COVID-19-Sterbefällen in der Altersgruppe 80+ liegt also bei 5.600/10.962, das sind ca. 51%. Dabei haben wir unterstellt, dass nahezu alle Bewohner von Pflege- und Altenheimen der Altersgruppe 80+ zuzurechnen sind.

COVID-19 Mortalität nach Altersgruppen per 01.12.2020. Die gestrichelte Linie markiert die Mortalität über alle Altersgruppen (Rubrik ganz links).

Abbildung 9: COVID-19 Mortalität nach Altersgruppen per 01.12.2020. Die gestrichelte Linie markiert die Mortalität über alle Altersgruppen (Rubrik ganz links). Für die Altersgruppe 80+ ergibt sich eine spezifische Mortalität von 0,193% = 193/100.000 (gewichteter Mittelwert aus den beiden Rubriken ganz rechts, s. a. Abb. 6). Im Diagramm ist diese Gruppe gesplittet in zwei Untergruppen in und außerhalb von Pflegeeinrichtungen. Die Zahlenwerte für die betreffenden Mortalitäten in diesen beiden Untergruppen wurden auf Basis obiger Überlegungen abgeschätzt und sind daher mit Unsicherheit behaftet (relativer Fehler etwa ±20%). Die grundlegende Aussage des Diagramms wird dadurch nicht tangiert.

Insgesamt leben etwa 850.000 Menschen in Pflege- und Altenheimen (2015 waren es 783 Tsd., 2017 818 Tsd.). Demzufolge sind in 2020 bislang etwa 5.600 von 850.000 oder 0,66% der Menschen in solchen Einrichtungen „an oder mit“ COVID-19 verstorben. Außerhalb von Heimen waren es ca. 5.400 von knapp 5 Mio. Menschen, also 0,11% die „an oder mit“ COVID-19 gestorben sind. Das pauschale Corona-Sterberisiko ist demzufolge für die Altersgruppe 80+ in Pflege- und Altenheimen 6-mal höher als außerhalb. In Abb. 9 ist das im Vergleich mit den anderen Altersgruppen zusammenfassend dargestellt.

Im Hinblick auf das Vorstehende kann man die Botschaft nach Abb. 9 auch so formulieren: Die COVID-19-Sterbefälle werden zu einem erheblichen Anteil von den Bewohnern von Pflege- und Altenheimen getrieben. Die Hälfte aller Todesfälle der Altersgruppe 80+ tritt auf in dieser gut abgrenzbaren Gruppe von etwa 850.000 Menschen. Wenn man die Gefahr durch Corona wirklich ernst nimmt, dann muss man zuallererst bei den Pflege- und Altenheimen ansetzen. Dort haben zielgenau adaptierte Corona-Maßnahmen den größtmöglichen Effekt. Die gegenwärtigen Maßnahmen sind zu pauschal und undifferenziert für einen nachhaltigen Erfolg. Schlimmer noch, sie verursachen höchst schädliche gesellschaftliche und wirtschaftliche Nebenwirkungen. Man ist gebannt von den pauschalen Infektionszahlen und 7-Tage-Inzidenzen, anstatt gezielt die leicht identifizierbare Gruppe zu schützen, die am meisten gefährdet ist und die die Fallzahlen in die Höhe treibt.

Was man gegenwärtig tut, ist etwa so, als würde man im heißen Sommer alle Freibäder, Hallenbäder und sonstigen Gewässer schließen, um damit sicherzustellen, dass KEIN Nichtschwimmer ertrinkt.

Problemfall Pflege- und Altenheime

Wollen die Verantwortlichen die offensichtlich bestehende Problematik bei den Pflege- und Altenheimen ganz bewusst nicht angehen, weil es da unterm Strich letzten Endes nichts zu gewinnen gibt? Warum ist da nichts zu gewinnen? Wir haben doch gerade eben dargelegt, dass die genannte Gruppe von 850.000 Menschen eine 33-fach höhere Corona-Mortalität im Vergleich zur Gesamtbevölkerung aufweist (33 659/20).

Man darf davon ausgehen, dass der allgemeine Gesundheitszustand der Bewohner von Pflege- und Altenheimen i. d. R. schlechter ist als der Gesundheitszustand von Menschen der gleichen Altersgruppe in häuslicher Pflege oder außerhalb der Pflege. Die Aufnahme in die stationäre Pflege ist ja mit Sicherheit nicht grundlos erfolgt. Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit sind diese Personen teilweise schon gebrechlich, haben Vorerkrankungen und werden medikamentös behandelt. Nicht selten geht dies mit einem geschwächten Immunsystem einher. Dieser Personenkreis trägt also ein besonderes Risiko.

Vermutlich ist es also doch nicht so einfach, das Leben dieser Menschen zu retten. Auch in der Vor-Corona-Zeit sind z.B. 25% aller Bewohner von Pflegeheimen der Stadt Mannheim bereits nach weniger als 3 Monaten stationärer Pflege verstorben. Gar 45% haben die ersten 12 Monate nach Aufnahme nicht überlebt [22]. Wir reden hier also aller Wahrscheinlichkeit nach von einer sehr fragilen Gruppe. Diesen Personenkreis konsequent in allen 11.000 Pflege- und Altenheimen wirksam zu schützen, erfordert einen hohen Aufwand und verspricht trotzdem nur einen geringen Erfolg im Hinblick auf eine dauerhafte Stabilisierung des individuellen Gesundheitszustandes und damit einer effektiven Lebensverlängerung. Es war vor Corona nicht möglich und ist mit Corona nicht einfacher geworden. Ein im Einzelfall wirksamer Infektionsschutz entlastet daher wohl die Corona-Statistik der Todesfallzahlen, nicht aber die Sterbefallzahlen insgesamt. Wir müssen erkennen: Die Grenzen medizinischer Machbarkeit können mit vernünftigem Aufwand nicht beliebig verschoben werden.

Verstorben „an oder mit“ Corona

Fatal ist dabei, dass im Falle des Ablebens in vielen Fällen nach wie vor die tatsächliche Todesursache nicht festgestellt wird und daher, so ist zu vermuten, die mögliche Kausalität des Coronavirus fälschlicherweise als tatsächliche verstanden wird. Durch die Wendung „an oder mit COVID-19 verstorben“ wird das nur scheinbar transparent gemacht. „An oder mit Corona“ heißt nichts anderes als „an Corona oder auch nicht“, noch deutlicher, „an Corona oder an irgendeiner anderen Ursache verstorben“. In den Medien zählen alle diese Fälle als Coronatote und sie werden auch von der Politik in diesem Sinne verwendet sowie ganz selbstverständlich als Argumentationshilfe für die Begründung von Maßnahmen herangezogen. Das ist etwa so, als würde man bei einem Mordfall ohne großes Aufhebens den Mit-Bewohner des Opfers verhaften und der Einfachheit halber kurzerhand schuldig sprechen.

Wie bitte ist eine vernünftige Analyse, Einschätzung und Steuerung in der Corona-Pandemie überhaupt nur denkbar, wenn die notwendige Datengrundlage dazu nicht existiert und offensichtlich auch nicht wirklich vermisst wird? Das ist einer aufgeklärten Wissensgesellschaft unwürdig. Insbesondere bezüglich der Altersgruppe 80+ ist die Todeskausalität eine entscheidende Information, aus dem ganz einfachen Grunde, weil die individuelle Sterbewahrscheinlichkeit auch unabhängig von Corona schon relativ hoch ist und teilweise sogar die Höhe der COVID-19-Letalität übersteigt. Z. B. liegt das durchschnittliche allgemeine Sterberisiko (unabhängig von Corona) in der Altersgruppe 80+ bei 11,5% p.a. (d.h., 11,5% der Über-80-Jährigen versterben innerhalb der nächsten 12 Monate), ist also nur unwesentlich geringer als das Sterberisiko (Letalität) von 14,4% bei einer bereits vorliegenden Corona-Infektion. Neunzigjährige haben mit einem durchschnittlichen allgemeinen Sterberisiko von 18,2% p.a. (unabhängig von Corona) bereits eine höhere Ablebenswahrscheinlichkeit als der durchschnittliche Über-80-Jährige mit Corona-Infektion (14,4%).

Sterberisiko ohne und mit Corona

Im Folgenden vergleichen wir die Sterberisiken ohne und mit Corona.

Allgemeine Mortalität vs. COVID-19 Letalität nach Altersgruppen per 01.12.2020.

Abbildung 10: Allgemeine Mortalität vs. COVID-19 Letalität nach Altersgruppen per 01.12.2020. Zur Interpretation: Gänzlich unabhängig von Corona versterben 11,47% der Individuen aus der Altersgruppe 80+ innerhalb der nächsten 12 Monate. 14,39% der Infizierten versterben infolge ihrer COVID-19-Erkrankung.

Natürlich sind die vorstehend genannten Zahlen statistische Durchschnittswerte. Im Einzelfall gibt es die Spreizung in beide Richtungen. Personen in der Altersgruppe 80+ mit Vorerkrankungen oder gesundheitlichen Einschränkungen (und davon gibt es nicht wenige, immerhin sind 3,4 Mio. in stationärer oder häuslicher Pflege) weisen eher ein höheres durchschnittliches Sterberisiko als die genannten 11,5% auf. Wir haben oben (s. Abb. 8 ff) gesehen, dass ein erheblicher Anteil der Corona-Todesfälle genau dieser problematischen Gruppe zuzurechnen ist (Altersgruppe 80+ in Pflege- und Altenheimen). Teilweise kann das individuelle von Corona unabhängige Sterberisiko für das laufende Jahr oder gar die nächsten Monate leicht in Richtung 100% gehen. Beim Exitus eines solchen Infizierten vermerkt man sodann routinemäßig „an oder mit COVID-19 verstorben“, obwohl doch die Vermutung einer anderen Kausalität nicht von der Hand zu weisen ist.

Zugegeben, hier geht es zunächst nur um die statistische Klarheit. In einem Exempel wurde oben für 24% der Bewohner von Pflegeheimen eine mittlere Verweildauer bis zum Ableben von weniger als 3 Monaten genannt. Für diese Personengruppe ist das Sterberisiko damit also bereits so hoch, dass spezifische Corona-Schutzmaßnahmen zwar in der Statistik die Fallzahlen senken, das Leben der Menschen aber nicht retten können: bei einem wirksamen Schutz sterben sie nicht an COVID-19, sind aber dennoch binnen weniger Wochen oder Monate tot.

Krisenmanagement: ohne Strategie

Nach der vorstehenden Analyse zu den Infektions- und Todesfallzahlen sowie den abgeleiteten Sterbewahrscheinlichkeiten ohne und mit Corona ist vor allem eines klar: Das Management der Corona-Krise ist ein Fiasko. Was wir in der politischen Kommunikation und der Medienberichterstattung zu Corona sehen und hören sind vor allem vordergründige Effekte. Es gibt keine Strategie für eine nachhaltige Senkung der Todesfallzahlen im Einklang mit der Aufrechterhaltung des gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Lebens. Politik und Medien lassen sich leiten vom Prinzip Hoffnung, Hoffnung auf einen Impfstoff. Der mag im Laufe der nächsten Monate kommen, dennoch braucht man einen Plan für ein vernünftiges Krisenmanagement. Zu allererst gehört dazu eine klare Kommunikation und die Abkehr von der Politik der Angst- und Panikmache.

Das Coronavirus ist nicht ungefährlich und muss ernst genommen werden, es ist aber auch nicht Pest und Cholera zugleich. Als Pandemie gehört die Coronakrise alles in allem eher noch zu den weniger bedrohlichen Vertretern ihrer Art. Pandemie heißt ja auch nicht, dass es jetzt besonders gefährlich wird (in diesem Sinne wird das Wort gerne von Politikern verwendet), sondern dass die Epidemie nicht regional begrenzt und global verbreitet ist, also „überall“ (pan = griechisch für umfassend, total, ganz). Sie ist gefährlicher als die üblichen jährlichen Grippewellen, die ja ebenfalls nicht regional begrenzt sind. Bislang ist sie aber noch mit sehr großem Abstand harmloser als die spanische Grippe von 1918/19, die nach unterschiedlichen Schätzungen 20 bis 50 Millionen Leben oft junger Menschen forderte und damit insgesamt bis zu 3% der damaligen Weltbevölkerung dahinraffte.

Kommunikation in der Pandemie

Das bereits oben zitierte Gerede von der Corona-Pandemie „als der größten Herausforderung seit dem zweiten Weltkrieg“ (Merkel) wird durch die Fakten nicht ansatzweise gedeckt. Dasselbe gilt für das Heraufbeschwören von „Unheil“. Solche Statements passen natürlich in das Programm der Angst- und Panikmache, das den Bürger ziemlich unverblümt nicht als Gesprächspartner auf Augenhöhe sieht und ihn nachgerade wie ein Kleinkind behandelt.

Wieso trotz allem die Entscheidungen der Politik noch von einer überwältigenden Mehrheit gestützt werden, lässt sich nur durch die eilfertige und unkritische Assistenz der großen Mehrheit der Medien und insbesondere des öffentlich-rechtlichen Rundfunks erklären. Es ist auch nicht weiter verwunderlich: Wenn man täglich mit Schreckensmeldungen über Corona-Infektionszahlen, 7-Tage Inzidenzen, Corona-Hotspots, Todesfällen „an und mit Corona“ und COVID-19-Krankengeschichten bombardiert wird, dann geht das am braven Bürger nicht spurlos vorüber. Er nimmt die Meldungen als das, was sie sind und hat kaum die Zeit und die Möglichkeit, sie kritisch zu überprüfen und in Relation zu setzen. Er ist allenfalls gelegentlich irritiert, weil man ihm heute etwas anders erzählt als gestern und die Botschaft morgen absehbar wieder geändert wird. Dabei tut man so, als wisse man sicher, was richtig ist, und was falsch und nennt gerne die Wissenschaft als Zeugen, die indes vielstimmig sich widersprechende Wissensstände zum Besten gibt. Natürlich betreiben die Medien letztlich nur ihr Geschäft nach dem bewährten Motto „nur eine schlechte Nachricht ist eine gute Nachricht“ (… und verkauft sich daher gut).

Diese Kommunikationsstrategie ist ein Problem, nicht Teil der Lösung. Die Mehrheit der blind Folgenden, tut nur für eine gewisse Zeitspanne, was man ihnen sagt. Wenn sich dann aber keine Besserung der Lage einstellt, und genau das beobachten wir derzeit, verliert man nach und nach die Gefolgschaft der Menschen. Die einen gehen in das Lager der rationalen Kritiker, das erschwert zumindest das Regieren, weil dieser Personenkreis, zu Recht, rational überzeugt werden will. Die anderen, und das sind nicht wenige, wenden sich stattdessen Verschwörungstheorien zu. Das macht das Regieren doppelt schwer, weil man mit Verschwörungstheoretikern nicht vernünftig reden kann. Alles in allem bleibt nur, dem Staatsbürger auf Augenhöhe zu begegnen, ihn ernst zu nehmen und für wirksame Maßnahmen basierend auf einer echten Strategie zu werben.

Man kann es den sogenannten Querdenkern kaum vorhalten, dass sie übers Ziel hinausschießen und dem Coronavirus Harmlosigkeit attestieren. Das ist nur die verständliche Reaktion auf die ebenfalls überzeichnete Darstellung zur Gefährlichkeit des Virus seitens der Politik und der Medien.

Zu einer offenen Kommunikation gehört vor allem, die Fakten nicht bedrohlicher darzustellen als sie sind. Die Berichterstattung krankt an einem selektiven Aufmerksamkeitsfokus. Das schürt den Hype, ist aber nicht zielführend.

Wie bedrohlich ist das Virus wirklich?

Nehmen wir einen nüchternen Blick auf die Gefährlichkeit des Virus im Vergleich zu anderen Lebensrisiken. Dazu betrachten wir zunächst die Sterbefälle insgesamt (unabhängig von Corona).

Sterbefälle (unabhängig von Corona) pro Jahr aufgesplittet nach Altersgruppen. Die Zahlen stammen aus 2018,

Abbildung 11: Sterbefälle (unabhängig von Corona) pro Jahr aufgesplittet nach Altersgruppen. Die Zahlen stammen aus 2018, weil es noch keine Statistiken zu 2020 gibt. In 2020 dürften die Gesamtzahlen nicht wesentlich davon abweichen.

Coronatote im Vergleich zu allen Sterbefälle eines Jahres. Die Zahlen zu den gesamten Sterbefällen stammen aus 2018. Die Angaben zu den Coronatoten („an oder mit Corona“) spiegeln den Datenstand 01.12.2020 wider.

Abbildung 12: Coronatote im Vergleich zu allen Sterbefälle eines Jahres. Die Zahlen zu den gesamten Sterbefällen stammen aus 2018. Die Angaben zu den Coronatoten („an oder mit Corona“) spiegeln den Datenstand 01.12.2020 wider. Da das Jahr noch nicht zu Ende ist, wird sich die Anzahl der Coronatoten noch erhöhen. Bei der gegenwärtigen Dynamik der Fallzahlen ist indes eine durchgreifende Änderung nicht mehr zu erwarten. Die Verhältnisse bleiben nach aller Erwartung im Rahmen dessen, was durch das Diagramm plakativ zum Ausdruck gebracht wird.

In der nachfolgenden Abbildung sind die relativen Anteile der Coronatoten im Vergleich zu allen Sterbefällen direkt dargestellt.

Coronatote im Vergleich zu allen Sterbefälle eines Jahres. Bezugsgröße zu den Sterbefällen ist das Jahr 2018, bei den Coronatoten („an oder mit Corona“) der Datenstand per 01.12.2020.

Abbildung 13: Coronatote im Vergleich zu allen Sterbefälle eines Jahres. Bezugsgröße zu den Sterbefällen ist das Jahr 2018, bei den Coronatoten („an oder mit Corona“) der Datenstand per 01.12.2020. Der relative Anteil der „an oder mit“ COVID-19-Vestorbenen liegt im Durchschnitt über alle Altersgruppen bei 1,75% (s. gestrichelte Linie). Ansonsten gilt die Bemerkung zu Abb. 11.

Man entnimmt Abb. 13 unschwer, dass der Anteil der „an oder mit Corona“-Verstorbenen quer über alle Altersgruppen niedrig bleibt. Sogar bei den als „Risikogruppen“ apostrophierten 60-79-Jährigen und den Über-80-Jährigen erreicht der relative Anteil nur 1,5% – 2%. Wobei man natürlich sehen muss, dass in diesen niedrigen Werten, teilweise und bei aller berechtigten Kritik daran, auch die relative Wirksamkeit der Schutzmaßnahmen zum Ausdruck kommt (s. dazu w. u.). Völlig ohne Masken und Kontaktreduzierungen wären die Zahlen mit Sicherheit höher, zumindest in den Altersgruppen 60-79 und 80+.

Dasselbe gilt für die nachfolgende Grafik, in der das allgemeine Sterberisiko p. a. in Bezug gesetzt wird zu dem Risiko, infolge der Corona-Pandemie zu versterben (s. Abb. 14).

Allgemeines Sterberisiko pro Jahr (ohne Corona) und altersgruppenspezifische Corona-Mortalität im Vergleich. Das allgemeine Sterberisiko wurde auf Basis der Sterbetafel 2017/2019 des Statistischen Bundesamtes (s. [9]) altersgruppengerecht berechnet. Die Angaben zur spezifischen Corona-Mortalität spiegeln den Datenstand per 01.12.2020 wider.

Abbildung 14: Allgemeines Sterberisiko pro Jahr (ohne Corona) und altersgruppenspezifische Corona-Mortalität im Vergleich. Das allgemeine Sterberisiko wurde auf Basis der Sterbetafel 2017/2019 des Statistischen Bundesamtes (s. [9]) altersgruppengerecht berechnet. Die Angaben zur spezifischen Corona-Mortalität spiegeln den Datenstand per 01.12.2020 wider. Wie im Text definiert, beschreibt die Mortalität die Höhe des Sterberisikos für die Individuen aus der betreffenden Altersgruppe. Die Bezugsgröße ist dabei der Umfang der jeweiligen Altersgruppe. Die mittlere Corona-Mortalität liegt im Durchschnitt über alle Altersgruppen bei 0,02% (entsprechend 20 Toten pro 100.000 Ew., s. gestrichelte Linie).

Wie ist Abb. 14 zu interpretieren? Betrachten wir zwei Beispiele. Das allgemeine mittlere Sterberisiko für Individuen aus der Altersgruppe 60-79 beträgt 2,32% (s. mittlere Rubrik in Abb. 14). D. h., 2,32% aller 60-79-Jährigen werden im Laufe der nächsten 12 Monate versterben – völlig unabhängig von Corona und nur aufgrund von Alter, Gesundheitszustand und Lebensumständen. Nun kommt die Corona-Pandemie ins Spiel, sie sorgt dafür, dass 0,028% der Menschen aus dieser Altersgruppe infolge einer COVID-19-Infektion sterben werden. Inwiefern diese 0,028% bereits in den 2,32% enthalten sind oder ggf. ein Anteil davon zu addieren ist, darüber kann man derzeit keine verlässliche Auskunft erteilen, weil die Coronatoten ja immer noch mit dem indifferenten Zusatz „an oder mit Corona“ verstorben gezählt werden. Wie dem auch sei, auch dann, wenn die Corona-Mortalität additiv wirkt, wenn also alle diese Toten echte COVID-19-Todesfälle wären, bliebe das Corona-Zusatzrisiko sehr gering.

Gezielte Maßnahmen reduzieren die Todesfallzahlen

Um es noch einmal zu betonen: Teilweise kommt die Infektionsschutzwirkung durch Masken und Kontaktreduzierung in diesen niedrigen Risikozuwächsen zum Ausdruck. Welchen Anteil die Maßnahmen tatsächlich haben, kann man indessen nur abschätzen. Wir haben oben für die Altersgruppe 80+ mit 1341 Infizierten pro 100.000 Ew. ein überdurchschnittliches Infektionsrisiko festgestellt (s. Abb. 2 und 3). Wenn wir nun im Gedankenexperiment die Infektionszahlen in dieser Gruppe durch einen effektiveren Schutz auf den Durchschnittswert über alle Gruppen verringern, also auf 1271 Infizierte pro 100.000 Ew., dann darf man davon ausgehen, dass auch die Todesfallzahlen im gleichen Maße kleiner werden. Demzufolge sinkt auch die Mortalität entsprechend von 0,193% auf 0,183%. Individuell ist das natürlich nur eine marginale Risikominderung, in der Gesamtpopulation der Altersgruppe wären es dann aber immerhin 0,01%*5,68 Mio. = 568 Tote weniger. Und wenn die Altersgruppe 80+ genauso gut vor Infektionen geschützt sein würde wie die Altersgruppe 60-79 (820 Infizierte pro 100.000 Ew.), dann würde die Mortalität gar nur bei 820/1341*0,193% = 0,118% liegen und wir hätten (0,193% – 0,118%)*5,68 Mio. = 4.260 Coronatote weniger. Nach dem Obigen könnten gezielte Maßnahmen zum besonderen Schutz von Heimbewohnern einen großen – statistisch sichtbaren – Beitrag in dieser Richtung leisten.

Vergleichen heißt nicht verharmlosen

Sind nun die in Abb. 13 eingetragenen Corona-Mortalitäten hoch oder niedrig? Im Kontrast zur allgemeinen und i. W. altersbedingten Mortalität sind die Werte sämtlich relativ klein. Dieser Vergleich ist indessen nicht ganz fair, weil das singulär von Corona ausgehende Risiko mit der Summe aller sonstigen Risiken in Bezug gesetzt wird. Deswegen macht die Gegenüberstellung mit anderen Krankheitsrisiken mehr Sinn (s. dazu das nachfolgende Kreisdiagramm in Abb. 14).

Mortalität und anteilige Sterbefälle verschiedener Krankheiten im Vergleich mit COVID-19. Die Zahl zu Corona reflektiert den Datenstand 01.12.2020, die anderen Werte stammen aus 2018. Für 2020 dürften die Mortalitäten und relativen Anteile nur unwesentlich davon abweichen.

Abbildung 15: Mortalität und anteilige Sterbefälle verschiedener Krankheiten im Vergleich mit COVID-19. Die Zahl zu Corona reflektiert den Datenstand 01.12.2020, die anderen Werte stammen aus 2018. Für 2020 dürften die Mortalitäten und relativen Anteile nur unwesentlich davon abweichen.

Im Vergleich mit den dominierenden Todessursachen Herz-/Kreislauferkrankungen und Krebs mit Mortalitäten von 0,41% bzw. 0,29% nimmt sich die durchschnittliche Corona-Mortalität von 0,02% eher bescheiden aus. Man sieht das auch an den relativen Anteilen unter der Gesamtanzahl der Todesfälle. Natürlich hinkt dieser Vergleich, weil die beiden genannten anderen Ursachen eben keine Infektionskrankheiten sind. Das ist hier aber auch nicht der Punkt. Es geht darum, die tatsächlich bestehende Gefahr und das Risiko für jeden Einzelnen vom Sockel einer sich überschlagenden Berichterstattung und politischen Panikmache zu holen und mit den bestehenden Lebensrisiken in Bezug zu setzen. Nicht um einer unzulässigen Verharmlosung das Wort zu reden, sondern zur Versachlichung der Diskussion. In diese Richtung soll auch die letzte Grafik wirken, in der die Sterbefälle pro Tag nach Todesursachen aufgezeigt sind.

Sterbefälle pro Tag nach Todesursachen. Es handelt sich um gerundete Zahlen aus 2018, sie dürften indessen für 2020 nicht wesentlich abweichen.

Abbildung 16: Sterbefälle pro Tag nach Todesursachen. Es handelt sich um gerundete Zahlen aus 2018, sie dürften indessen für 2020 nicht wesentlich abweichen.

In diesen Tagen werden zum Teil mehr als 500 Coronatote pro Tag gezählt, also Tote, die „an oder mit COVID-19“ verstorben sind. Wenn wir Abb. 16 betrachten, dann erkennen wir, dass andere Todesursachen durchaus noch höheren Tribut fordern. Insgesamt sterben täglich mehr als 2.600 Menschen. Nicht nur jetzt, sondern das ganze Jahr über, Tag für Tag, jahraus, jahrein. Und zwar ohne, dass dies im Fernsehen mit Sondersendungen problematisiert wird.

Keine Frage, dauerhaft 500 Tote täglich aufgrund von Corona, das wäre verheerend. In der aktuellen Entwicklung belegt dies, dass das Virus keineswegs harmlos ist. Dennoch muss man erkennen: Zweidrittel dieser Todesfälle entfallen nach wie vor auf die Altersgruppe 80+ mit einem Bevölkerungsanteil von weniger als 7%. Das Alter der Betroffenen ist der größte Risikofaktor. Auch wenn die Kausalität des Coronavirus im konkreten Falle nachgewiesen werden kann, ist das Alter in vielen Fällen der ausschlaggebende Grund für die fatale Krankheitsentwicklung mit Todesfolge. Diesen Einfluss kann man sogar konkret beziffern: Es ist das Verhältnis der Corona-Letalität der Altersgruppe 80+ zur Letalität der Altersgruppe 0-59. Demnach trägt das Alter bei den Über-80-Jährigen einen 14,39%/0,09% 160-fach höheren Anteil am Tod verglichen mit der Situation bei den 0-59-Jährigen. Diese Sterbefälle sind daher zu einem großen Teil auch altersbedingt, auch wenn als konkreter Auslöser zweifelsfrei das Virus verantwortlich gemacht werden kann. – Nein, das ist weder Zynismus noch Polemik, sondern entspringt der nüchternen Erkenntnis, dass das Leben endlich ist, unabhängig davon, welche Kräfte wir zur Vermeidung des Todes auch immer aufbieten mögen.

Update vom 08.12.2020

Der Anteil der Infizierten und der Todesfälle über 80 steigt weiter. In der Altersgruppe 80+ registrieren wir nun 7,7% der Infizierten und 66,3% der Toten. Dies belegt einmal mehr, dass durch die undifferenzierten Maßnahmen im „Lockdown light“ gerade die am meisten gefährdeten Menschen (z.B. in Pflege- und Altenheimen) eben nicht geschützt werden. Sinnvoller wäre es, sich endlich darum zu kümmern, statt wie gebannt auf Infektions- und Todesfallzahlen zu starren.

Update vom 17.12.2020

Der Anteil der Infizierten und der Todesfälle über 80 steigt weiter. In der Altersgruppe 80+ registrieren wir nun 8,2% der Infizierten und 66,9% der Toten. Der aktuelle Bericht im Münchner Merkur (17.12.2020) über eine Corona-Studie der Ludwig-Maximilians-Universität (LMU) bestätigt die oben getroffenen Aussagen.

Zitate aus dem entsprechenden Bericht:

„3200 der 5156 Coronatoten in Bayern sind über 80 Jahre alt.“

„Die bisherigen Corona-Maßnahmen verfehlen den Schutz der Ältesten“

„Corona-Lockdown: Haben Politiker den Schutz der Alten- und Pflegeheime verschlafen?“

„Es zeigt sich deutlich, dass die ergriffenen Maßnahmen zur Infektionseindämmung für die hoch vulnerable Bevölkerungsgruppe nicht hinreichend zielführend sind.“


Quellen

[1] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) – 24.11.2020 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Nov_2020/2020-11-24-de.pdf?__blob=publicationFile

[2] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) – 01.12.2020 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Dez_2020/2020-12-01-de.pdf?__blob=publicationFile

[3] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) 08.12.2020 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Dez_2020/2020-12-08-de.pdf?__blob=publicationFile

[4] Corona-Infektionen (COVID-19) in Deutschland nach Altersgruppe und Geschlecht (Stand: 01. Dezember 2020). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1103904/umfrage/corona-infektionen-covid-19-in-deutschland-nach-altersgruppe/#professional

[5] Todesfälle mit Coronavirus (COVID-19) in Deutschland nach Alter und Geschlecht (Stand: 01. Dezember 2020). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1104173/umfrage/todesfaelle-aufgrund-des-coronavirus-in-deutschland-nach-geschlecht/

[6] Bevölkerung – Zahl der Einwohner in Deutschland nach Altersgruppen am 31. Dezember 2019. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1112579/umfrage/bevoelkerung-in-deutschland-nach-altersgruppen/

[7] Altersspezifische Sterbewahrscheinlichkeiten der Männer in Deutschland. Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung (BIB)

https://www.bib.bund.de/DE/Fakten/Fakt/S05-Altersspezifische-Sterbewahrscheinlichkeiten-Maenner-ab-1871.html?nn=9992070

[8] Altersspezifische Sterbewahrscheinlichkeiten der Frauen in Deutschland. Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung (BIB)

https://www.bib.bund.de/DE/Fakten/Fakt/S06-Altersspezifische-Sterbewahrscheinlichkeiten-Frauen-ab-1871.html?nn=9992070

[9] Sterbetafel 2017/2019 – Ergebnisse aus der laufenden Berechnung von Periodensterbetafeln für Deutschland und die Bundesländer 2020. DESTATIS – Statistisches Bundesamt

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bevoelkerung/Sterbefaelle-Lebenserwartung/Publikationen/Downloads-Sterbefaelle/periodensterbetafel-erlaeuterung-5126203197004.pdf?__blob=publicationFile

[10] Sonderauswertung zu Sterbefallzahlen des Jahres 2020. DESTATIS – Statistisches Bundesamt

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bevoelkerung/Sterbefaelle-Lebenserwartung/sterbefallzahlen.html

[11] Sterbeziffern nach Alter und Geschlecht in Deutschland im Jahr 2017. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/3057/umfrage/sterbeziffern-nach-alter-und-geschlecht/

[12] Anzahl der Sterbefälle in Deutschland nach Altersgruppe im Jahr 2018. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1013307/umfrage/sterbefaelle-in-deutschland-nach-alter/

[13] Coronavirus: Sterberate in Deutschland niedriger als befürchtet – Übersterblichkeit ist ausgeblieben. RND – Redaktionsnetzwerk Deutschland

https://www.rnd.de/gesundheit/coronavirus-sterberate-in-deutschland-niedriger-als-befurchtet-ubersterblichkeit-ist-ausgeblieben-L4F3KMQP5BGLNJNNMMVDRURP6M.html

[14] Jährliche Todesfälle aufgrund von Krebs und anderen Neubildungen in Deutschland in den Jahren 2000 bis 2018. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/172573/umfrage/krebstote-in-deutschland/

[15] Prävalenz von Krebspatienten auf deutschen Intensivstationen. Springer Medizin

https://www.springermedizin.de/praevalenz-von-krebspatienten-auf-deutschen-intensivstationen/17022898

[16] Todesfälle aufgrund von Herz-Kreislauf-Erkrankungen in Deutschland im Zeitraum der Jahre 1980 bis 2018. Statista

Kreislauf-Erkrankungen – Todesfälle in Deutschland bis 2018 | Statista

[17] Influenza assoziierte Übersterblichkeit (Exzess-Mortalität) in Deutschland für die Saisons von 1984 bis 2019. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/405363/umfrage/influenza-assoziierte-uebersterblichkeit-exzess-mortalitaet-in-deutschland/

[18] Die Grippesaison 2019/20 im Vergleich. Statista

https://de.statista.com/infografik/13040/woechentliche-influenzafaelle-in-deutschland/

[19] Zwei Drittel der Corona-Toten betreffen Altenheime. hessenschau

https://www.hessenschau.de/gesellschaft/zwei-drittel-der-corona-toten-im-november-betreffen-altenheime,corona-altenheim-tote-100.html

[20] Anzahl der zu Hause sowie in Heimen versorgten Pflegebedürftigen in Deutschland in den Jahren 1999 bis 2017. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/36438/umfrage/anzahl-der-zu-hause-sowie-in-heimen-versorgten-pflegebeduerftigen-seit-1999/

[21] Was das Corona-Virus für Pflegekräfte bedeutet (pflegen-online.de).

https://www.pflegen-online.de/corona-fast-4000-intensivpatienten

[22] Demenzkranke in Alten- und Pflegeheimen: Gegenwärtige Situation und Entwicklungstendenzen. Friedrich-Ebert-Stiftung

https://www.fes.de/fulltext/asfo/00234004.htm

[23] Todesursachen – Zahl der Todesfälle. Statistisches Bundesamt

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Gesundheit/Todesursachen/todesfaelle.html

[24] Verteilung der häufigsten Todesursachen in Deutschland im Jahr 2018. Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/240/umfrage/verteilung-der-sterbefaelle-nach-todesursachen/

[25] Corona-Infektionen (COVID-19) in Deutschland nach Altersgruppe und Geschlecht (Stand: 08. Dezember 2020). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1103904/umfrage/corona-infektionen-covid-19-in-deutschland-nach-altersgruppe/#professional

[26] Todesfälle mit Coronavirus (COVID-19) in Deutschland nach Alter und Geschlecht (Stand: 08. Dezember 2020). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1104173/umfrage/todesfaelle-aufgrund-des-coronavirus-in-deutschland-nach-geschlecht/

[27] Das Coronavirus – So schnell breitet es sich aus. Aber wir können etwas tun!

https://www.linkedin.com/pulse/das-coronavirus-so-schnell-breitet-es-sich-aus-aber-fischer/

https://blog.sumymus.de/das-coronavirus-so-schnell-breitet-es-sich-aus-aber-wir-koennen-etwas-tun

[28] Gefahr Corona Virus – Wie groß ist das Risiko wirklich?

https://www.linkedin.com/pulse/gefahr-corona-virus-wie-gro%C3%9F-ist-die-risiko-wirklich-fischer/

https://blog.sumymus.de/gefahr-corona-virus-wie-gross-ist-das-risiko-wirklich

[29] Das objektiv bewertete Corona Risiko

https://www.linkedin.com/pulse/das-objektiv-bewertete-corona-risiko-hieronymus-fischer/

https://blog.sumymus.de/das-objektiv-bewertete-corona-risiko

[30] Aktuelles zu Corona

https://www.linkedin.com/pulse/aktuelles-zu-corona-hieronymus-fischer/

https://blog.sumymus.de/aktuelles-zu-corona

Das Coronavirus – So schnell breitet es sich aus.

Aber wir können etwas dagegen tun!

Zusammenfassung

Es wird ein Modell für die Ausbreitung des Coronavirus entwickelt. Darauf fußend werden die resultierenden Zahlen der Infektionsverläufe prognostiziert (Diagramme) und die Sinnhaftigkeit der Maßnahmen abgeleitet.

Sofern wir die jetzt verfügten Maßnahmen umsetzen und uns alle daran halten, ist mit hoher Wahrscheinlichkeit sichergestellt, dass es nicht wieder zu einem exponentiellen Anstieg der Infektionszahlen und damit zu neuen Ausbreitungswellen kommt. In einer etwas moderateren Form ist das erforderlich bis zur Zulassung und allgemeinen Verfügbarkeit eines Impfstoffs. Erst danach können wir wieder in „alte Verhaltensmuster“ zurückfallen.

Entscheidend ist: Zunächst müssen wir die akut anstehenden drastischen Verhaltensregeln konsequent einhalten und die Einschränkungen geduldig hinnehmen. Dabei wird die Wirtschaft kurzfristig leiden, aber schon nach Überwindung des jetzt noch vor uns liegenden hohen Anstiegs an Neuinfektionen wird in 4 bis 6 Wochen ein durchaus normales Wirtschaftsleben mit einigen kleineren Einschränkungen wieder möglich sein. Die Alternative einer halbherzigen Umsetzung wäre ein dauerhaftes Stagnieren der Wirtschaft, weil immer wieder neue Ansteckungswellen drohen.

Hinweis für den eiligen Leser: Die Abschnitte „ABER: Wirtschaft und Gesellschaft ebenfalls im Auge behalten„, „Validierung der Lösungsstrategie“ und „Schluss und Ausblick“ weiter unten enthalten alles Wesentliche für die erfolgreiche Bewältigung im Hinblick auf die weitere Ausbreitung des Virus.

Einleitung

Am Corona-Virus kommt man in diesen Tagen nicht vorbei. Nahezu alle öffentlichen Veranstaltungen sind abgesagt. Sportstätten, Theater, Museen sind dicht, Fußballspiele finden nicht mehr statt. Clubs geschlossen, Kneipen und Restaurants im reduzierten Abstandsbetrieb. Konferenzen und Messen abgesagt. Mittlerweile sind auch die Grenzen geschlossen. Können wir so die weiter Ausbreitung der Epidemie stoppen oder zumindest den Verlauf und Anstieg der Neuinfektionen verlangsamen? Zumindest kann man diesen Maßnahmen, auch ohne Experte  zu sein, die Vernünftigkeit nicht absprechen. Die Idee dahinter: Wenn die Menschen weniger in Kontakt zueinander treten, dann sollte doch zumindest das Ansteckungsrisiko für die Nichtinfizierten sinken. Das ist einleuchten!

Im Folgenden soll zunächst ein einfaches Modell für die Verbreitung des Virus entwickelt werden. Auf Basis des Modells können wir dann abschätzen, wie die Zahl der Infizierten weiter wachsen wird. Ferner können wir durch Variation der Modellparameter unterschiedliche Szenarien durchspielen und so die Verhaltensmaßregeln der Mediziner (Hygiene, soziale Kontakte, …) im Modell spiegeln. Wir gewinnen so Erkenntnisse über die mutmaßliche Wirksamkeit der Maßnahmen im Hinblick auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Corona-Epidemie und können auf dieser Basis unser eigenes Verhalten daraufhin abstimmen.

Ausgangsbasis für die Modellbildung

Die Inkubationszeit des „COVID-19“ genannten Virus beträgt zwischen 2 und 14 Tagen. Meist werden 7 – 14 Tage angegeben. Das Virus wird vornehmlich durch Tröpfcheninfektion übertragen. Diese kann von direkt von Mensch zu Mensch erfolgen, wenn Virus-haltige Tröpfchen an die Schleimhäute der Atemwege gelangen. Auch eine Übertragung durch Schmierinfektion über die Hände, die mit der Mund- oder Nasenschleimhaut sowie mit der Augenbindehaut in Kontakt gebracht werden, ist prinzipiell nicht ausgeschlossen, spielt aber vermutlich nur eine untergeordnete Rolle. Das Virus ist hoch ansteckend und kann schon innerhalb der Inkubationszeit auf andere übertragen werden. Oft ist es sogar so, dass ein Infizierter noch gar keine Beschwerden verspürt) (s. https://www.infektionsschutz.de/coronavirus-sars-cov-2.html).

Das Robert-Koch-Institut gibt für die  Dauer der Infektiosität einen Zeitraum von bis zu 8 Tagen an. (https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Steckbrief.html#doc13776792bodyText5). Das ist die Zeitspanne, innerhalb derer Patienten, die mit COVID-19 infiziert sind und Symptome aufweisen, das Virus an andere übertragen können. Diese Zahl ist indes unsicher, sie beruht tatsächlich nur auf einer kleinen Studie mit 9 Patienten. Ebenfalls bekannt ist, dass auch Patienten ohne Symptome andere infizieren können, offenbar auch schon innerhalb der Inkubationszeit. Für die Modellbildung entscheidend ist weniger die genaue Größe der Infektiosität, als vielmehr die definitive zeitliche Begrenztheit. Wenn jeder Infizierte dauerhaft Überträger des Virus sein würde, wäre es unausweichlich, dass über kurz oder lang alle Menschen erkrankten. Völlig gleich, welche (realistischen) Schutzmaßnahmen man auch immer ergreifen würde.

Mathematisches Modell für die Beschreibung der Ausbreitung

Sei  \(N\) die Größe der Population. Der Wert \(q\) steht für die Wahrscheinlichkeit, dass beim Kontakt mit einem Virusträger eine Übertragung stattfindet (was nach den obigen Ausführungen nur innerhalb der begrenzten Infektionszeit möglich ist). Ferner sei \(k\) die durchschnittliche Anzahl der Kontaktpersonen und \(k_{n}\) die durchschnittliche Anzahl der nicht infizierten Kontaktpersonen eines Erkrankten. Die Anzahl der Neuinfizierten im Intervall  bezeichnen wir mit \(a_{n}\). Die Gesamtanzahl aller bis zum Intervall \(n\) bereits Erkrankten in der Population nennen wir \(s_{n} \). Offensichtlich gilt \(s_{n} = \sum_{i=0}^{n} a_{i} \).

Für die Anzahl der Neuinfizierten im Intervall \(n+1\)  erhalten wir nun:

\begin{equation} a_{n+1} = q \cdot k_{n} \cdot a_{n} \end{equation}

Wie kommen wir hierin zum Wert von \(k_{n}\)? Ganz einfach: Die Wahrscheinlich dafür, dass eine zufällig aus der Gesamtpopulation gewählte Kontaktperson noch nicht infiziert ist, können wir leicht bestimmen. Es ist der Quotient \(\frac{N-s_{n}}{N} \). Demnach gilt

\begin{equation} k_{n} = \frac{N-s_{n}}{N} \cdot k \end{equation}

Zusammengefasst erhalten wir also

\begin{equation} a_{n+1} = q \cdot k \cdot \left (1 – \frac{s_{n}}{N} \right ) \cdot a_{n} \end{equation}

Oder ausgeschrieben

\begin{equation} a_{n+1} = q \cdot k \cdot \left (1 – \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right ) \cdot a_{n} \end{equation}

Damit sind wir mit der Modellformulierung bereits fertig.

Hinweis: Das Produkt aus Kontaktanzahl und Infektionswahrscheinlichkeit wird oft auch als Reproduktionsfaktor oder R-Wert bezeichnet.

Exemplarische Modellbetrachtung

Was ist ein vernünftiges Intervall in der Modellbeschreibung? Nach dem eingangs zur Inkubationszeit und zur Zeitdauer der Infektiosität Gesagten, erscheint es sinnvoll, als Intervall einen Zeitraum von etwa 7 Tagen zu wählen. Der Index \(n\) steht daher für die fortlaufende Nummer einer Woche. Wir fragen also nach der Anzahl der Neuinfektionen in der \(n\)-ten Woche des Betrachtungszeitraums.

Das RKI (Robert-Koch Institut) gibt an, dass derzeit ein Erkrankter im Mittel 2,4 bis 3,3 weitere Personen infiziert. Im Modell können wir das folgendermaßen abbilden: Wir nehmen z.B. an, die durchschnittliche Anzahl  \(k\) der Kontaktpersonen eines Infizierten liege bei etwa 24 – 33 (pro Woche); gleichzeitig unterstellen wir ein Ansteckungsrisiko von  \(q\) pro Kontaktperson. Im Hinblick auf die Ausbreitung des Virus liefe es im Mittel auf dasselbe hinaus, wenn wir stattdessen von 2,4 bis 3,3 Kontaktpersonen bei einem Ansteckungsrisiko von 100% ausgehen würden oder 48 bis 66 Kontaktpersonen bei einem Ansteckungsrisiko von 5%. Entscheidend ist lediglich das Produkt aus beiden Modellparametern.

Dadurch wird das effektiv von einem Erkrankten ausgehende Risiko bei Einhaltung der Verhaltensregeln (Hygienemaßnahmen, möglichst weitgehende Kontaktreduzierung) beschrieben. Solange noch kein Impfstoff zur Verfügung steht, ist dies die einzige Stellgröße zur Verlangsamung des Anstiegs der Infektionszahlen. In Abb. 1 und 2 sind die gerechneten Verläufe der Neuinfektionen und der Gesamtfallzahlen für Zweitinfektionsraten von 3,3 bzw. 2,4 dargestellt.

Anwendung auf den Status quo

Nachfolgend sind zwei Diagramme dargestellt, die zeigen, wie sich die Infektionszahlen wahrscheinlich entwickeln, wenn man nichts tut.

Abb. 1: Verlauf der Infektionen bei \(q = 10\%\), \(k = 33\) (entsprechend 3,3 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 16. Woche mit ca. 37 Mio. ihr Maximum. Dann sind schon 60 Mio. Einwohner infiziert. Bereits nach 17 Wochen sind nahezu alle 83 Mio. Einwohner erkrankt.

Abb. 2: Verlauf der Infektionen bei \(q = 10\%\), \(k = 24) entsprechend 2,4 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 22. Woche ihr Maximum mit ca. 23,5 Mio. Bis dahin sind bereits über 50 Mio. Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten bleibt nach der 24. Woche mit knapp 80 Mio. konstant. Am Ende werden nur etwa 3 Mio. verschont.

Die aus den aktuell vorherrschenden Zweitinfektionen (2,4 – 3,3) resultierenden Verläufe sind gewiss nicht beherrschbar. Bei 3,3 (s. Abb. 1) erhalten wir 37 Mio. Neuinfektionen bereits in der 16. Ausbreitungswoche. Sogar bei 2,4 (s. Abb. 2) sind es im Maximum immer noch fast 24 Mio. Neuinfektionen, wenn auch erst in der 22. Woche.

Einfache Modellanalyse

Mittels des Modells kann man leicht bestimmen, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit die Anzahl der Neuinfektionen ab einem bestimmten Zeitintervall nicht weiter wächst. Dies ist doch offensichtlich dann der Fall, wenn \(\frac {a_{n+1}}{a_{n}}  \le 1\) ist, wenn also gilt, \( q k \left (1 – \frac{s_{n}}{N} \right ) \le 1\). Demnach lautet die Bedingung

\begin{equation} \frac{s_{n}} {N} \ge 1 – \frac{1}{q k} \end{equation}

Erst dann also, wenn der relative Anteil der Infizierten an der Gesamtpopulation erstmals den Wert \(1 – \frac{1}{q k}\) übersteigt, gehen die Neuinfektionen zurück. Diesen Zusammenhang kann man umgekehrt zur Bestimmung der Gesamtanzahl der Erkrankten bei diesem Wendepunkt nutzen. Im Falle der obigen Werte des RKI (2,4 bis 3,3) liegen die entsprechenden kumulierten Infektionszahlen im Wendepunkt bei \(\frac{s_{N}}{N} = 58\%\) (das sind etwa 48 Mio. Menschen in Woche \(n = 16\)) bzw. \( \frac{s_{N}}{N} = 70\% \) (das sind etwa 58 Mio. Menschen in Woche \(n = 22\)).

In der Literatur wird dieser Wendepunkt oftmals auch als die Grenze der sogenannten Herdenimmunität bezeichnet. Wie man der vorstehenden Ableitung entnimmt, handelt es sich dabei nicht um eine feste Grenze, sondern um einen von der Kontakthäufigkeit und der Infektionswahrscheinlichkeit abhängigen Schwellwert. Wenn der entsprechende Anteil der Population infiziert ist, kommt es zu keinem weiteren exponentiellen Wachstum, vorausgesetzt, die Kontakthäufigkeit und die Infektionswahrscheinlichkeit erhöhen sich nicht. Bei einem Reproduktionsfaktor von 3 (also z.B. durchschnittlich 3 Kontakte mit einer Infektionswahrscheinlichkeit von \(q = 100\%\), oder 30 Kontakte mit \(q = 10\%\), liegt der Schwellwert für die Herdenimmunität bei exakt \(\frac{2}{3}\) bzw. 67%.

Bis zur Erreichung des Wendepunkts wachsen die Neuinfektionen rapide von Woche zu Woche. Anfangs und nahezu bis zum Wendepunkt verläuft der Anstieg exponentiell mit dem Faktor \(q \cdot k\). Bei 3 Zweitinfektionen heißt dies: Woche für Woche verdreifacht sich die Anzahl der Neuinfektionen. Aus nur einer Anfangsinfektion folgen damit 3, 9, 27, 81, 243, 729, … und in drei Monaten (12 Wochen) bereits 531.441 Neuinfektionen. Aber auch dann, wenn sich die Anzahl der Zweitinfektionen mittels drastischer Maßnahmen (bis hin zur Ausgangssperre) auf 1,2 begrenzen lassen, werden wir nach geraumer Zeit hohe Ansteckungsraten bekommen (Beispiel: 250.000 Neuinfektionen in der 68. Woche [5 Quartalen], 1,3 Mio. in der 84. Woche [s. Abb. 9]). Immerhin gewinnt man viel zeitlichen Spielraum für Gegenmaßnahmen.

Nach Erreichen des Wendepunkts sinkt die Anzahl der Neuinfektionen ebenfalls exponentiell, und sogar noch schneller als der vorherige Anstieg (mit einem Faktor \(\lt \frac{1}{q k} \). Die Neuinfektionen gehen folglich sehr schnell zurück.

Variation der Modellparameter

Im Folgenden betrachten wir den Verlauf der Neuinfektionen bei Variation der Zweitinfektionsrate pro Erkranktem von 3 bis hinunter auf 1,1 (s. Abb. 3).

Abb. 3: Verlauf der Neuinfektionen bei Variation der Zweitinfektionsrate pro Erkranktem von 3 bis hinunter auf 1,1 (entsprechend \(q = 10\%\), \(k = 30, 25, 20,\cdots11\) oder jeder anderen Kombination von Ansteckungsrate \(q\) und Anzahl der Kontaktpersonen \(k\) mit dem gleichen Produkt \(q \cdot k\)). Die nicht dargestellten Maxima bei den Kurven für 3, 2,5, 2 und 1,9 Zweitinfektionen liegen bei 37 Mio., 24,5 Mio., 15,5 Mio. und 14 Mio. Neuinfektionen pro Intervall (Woche). Der Höchststand für 1,1 Zweitinfektionen (dunkelgrüne Kurve ganz rechts) liegt weit außerhalb des Betrachtungszeitraums etwa in der 149. Woche mit nur noch 365.000 Neuinfektionen und ist gleichfalls nicht dargestellt.

Wie man der Grafik (s. Abb. 3) entnimmt, verschiebt sich das Maximum der Anzahl der Neuinfektionen bei einer geringeren Anzahl von Zweitinfektionen schnell nach rechts. Man gewinnt durch die Reduktion der Zweitinfektionsrate also auf jeden Fall Zeit, die Leben retten kann. Diese Zeit kann man nutzen, um z.B. einen Impfstoff zu finden und einsatzreif zu machen. Fast noch wichtiger in diesem Zusammenhang: Die Überlastung des Gesundheitssystems wird vermieden, wenn bestimmte Grenzen von Neuinfektionen pro Woche unterschritten werden.

Im Gesundheitssystem handlungsfähig bleiben

In Deutschland verfügen wir über ca. 20.000 Intensivstationen. Wenn wir annehmen, dass die schweren Krankheitsverläufe in etwa 1% der Fälle vorkommen, wären wir folglich in der Lage, im Extremfall bis zu 2 Mio. (= 20.000/0,01) Neuinfektionen pro Woche zu beherrschen. Das entspricht einer Zweitinfektionsrate von 1,2 – 1,3 (s. die beiden entsprechend betitelten grünen Kurven in Abb. 3). Noch besser wäre es freilich indessen, die Anzahl der Zweitinfektionen auf 1,1 zu bringen (dunkelgrüne Kurve ganz rechts in Abb. 3; ihr Maximum ist nicht mehr dargestellt und liegt etwa in der 149. Woche mit nur noch 365.000 Neuinfektionen; s. a. Abb. 10 im Anhang).

Ohne Impfstoff müssen wir die Zweitinfektionen unterhalb von 1,3 halten, andernfalls lässt sich die Überlastung des Gesundheitssystems mit der Konsequenz vieler Todesfälle kaum vermeiden. Wenn das nicht gelingt, werden wir schon bei noch moderaten 1,5 bzw. 1,4 Zweitinfektionen im Maximum 6 Mio. bzw. 4,2 Mio. Neuinfektionen pro Woche sehen. Dies wird dann allerdings erst in der 43. bzw. der 50. Woche auftreten, so dass man immerhin hoffen kann, dass bis dahin ein Impfstoff verfügbar sein wird (s. a. Abb. 8). Mit 1,2 Zweitinfektionen würden wir die Neuinfektionen pro Woche unter dem Maximalwert von 1,3 Mio. halten können, wobei dieser Höchstwert sogar erst in 84. Woche auftreten würde.

ABER: Wirtschaft und Gesellschaft ebenfalls im Auge behalten

Ist das also die Lösung? Wohl kaum! Richtig ist: Aufgrund der Kurvenverflachung wäre die Corona-Krise für Zweitinfektionsraten von maximal 1,2 bis 1,3 am Ende vom Gesundheitssystem zu bewältigen. Das hieße aber auch, die Wirtschaft über 9 bis 12 Monate oder vielleicht sogar noch weit darüber hinaus auf Sparflamme zu fahren. Wir würden zwar überleben, aber zu welchem Preis? Letztlich ist es also keine sinnvolle Lösung, den Peak der Neuinfektionen einfach nur in die Zukunft zu schieben, wie das in den Medien und Talkrunden gerne dargestellt wird. Endscheidend ist dies: Wir müssen es schaffen, die Zweitinfektionen auf einen Wert von 1 oder darunter zu bringen. Nur so können wir Neuinfektionen aus der Phase des exponentiellen Wachstums herausbringen und die Krise letztlich für das Gesundheitssystem, die Wirtschaft UND die Gesellschaft insgesamt konstruktiv gestalten.

Dafür ist es unbedingt erforderlich, jetzt sofort und mit aller Macht wirksame Maßnahmen zu ergreifen. Die Maßnahmen sind z. T. schon in Kraft gesetzt, sie müssen aber auch von allen konsequent eingehalten und nötigenfalls gar verschärft werden. Bei Erfolg werden wir schon binnen 4 bis 6 Wochen Licht am Ende des Tunnels sehen und können sukzessive zur Normalität zurückkehren.

Validierung der Lösungsstrategie

Mittels des Modells können wir diese Strategie leicht überprüfen. Derzeit befinden wir uns noch in der Phase exponentiellen Wachstums mit \(q \cdot k = 2.4 \cdots 3.3\) Zweitinfektionen und rechnen daher mit um die entsprechenden Faktoren 2,4x bis 3,3x vervielfachten Neuinfektionen von Woche zu Woche. Wir müssen dafür sorgen, dass das Produkt \(q \cdot k \) relativ schnell \(< 1\) wird.

Das erste Auftreten des Corona-Virus in Deutschalnd liegt etwa 8 Wochen zurück. Im bisherigen Verlauf hat sich das Virus mit etwa 3,3 Zweitinfektionen ausgebreitet (wir gehen in der Modellrechnung von diesem pessimistischen Wert aus). Nun unterstellen wir, dass es gelingt, mit den angekündigten und ggf. noch zu verschärfenden Maßnahmen diesen Wert nach Woche 10 auf 0,9 zu drücken (im Modell also \(q \cdot k = 0.9\)). Abb. 4 zeigt den resultierenden Verlauf der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Infizierten über die Zeit.

Ziel 1: 0,9 Zweitinfektionen – nicht hinreichend

Abb. 4: Verlauf der Infektionen bei \(q =10\%\), \(k = 33\) bis Woche 10 und \(q = 10\%\), \(k =9\) ab Woche 11 (entsprechend 0,9 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Es dauert ein Jahr, bis die Krise komplett überstanden ist.

Der Verlauf nach Abb. 4 zeigt, wie es prinzipiell gehen kann. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 10. Woche ihr Maximum mit ca. 46.000. Danach gibt es von Woche zu Woche etwa 10% weniger Neuinfektionen. Zum Zeitpunkt des Höchststands sind bereits knapp 70.000 Personen Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten bleibt nach der 52. Woche mit knapp 470.000 konstant. Die Dauer der Krise ist mit einem vollen Jahr aber dennoch entschieden zu lang.

Ziel 2: Dauerhaft 0,5 Zweitinfektionen – zu optimistisch

Betrachten wir ein zweites Beispiel. Wieder mit den pessimistischen 3,3 Zweitinfektionen im anfänglichen Verlauf bis zur 10. Woche. Ab Woche 10 gehen wir nun von nur noch 0,5 Zweitinfektionen aus (im Modell also \(q \cdot k = 0.5\)). Abb. 5 zeigt den resultierenden Verlauf.

Abb. 5: Verlauf der Infektionen bei \(q =10\%\), \(k = 33\) bis Woche 10 und \(q = 10\%\), \(k = 5\) ab Woche 11 (entsprechend 0,5 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Bereits 6 Wochen (ab Woche 16) nach Inkrafttreten der wirksamen Maßnahmen ist die Krise im Wesentlichen überstanden.

Wie im vorigen Fall erreicht auch hier die Anzahl der Neuinfektionen in der 10. Woche ihr Maximum mit ca. 46.000. Danach sinkt die Anzahl der Neuinfektionen rapide (von Woche zu Woche etwa 50% weniger Neuinfektionen). Zum Zeitpunkt des Höchststands sind wieder etwa 70.000 Personen erkrankt. Die Gesamtanzahl der Infizierten bleibt nun aber schon spätestens ab der 16. Woche nach Ausbruch der Krise und nur 6 Wochen nach Verfügen der wirksamen Maßnahmen konstant unter 120.000. Die Krise kann derart im Wesentlichen innerhalb eines Quartals entschärft werden: Für das Gesundheitssystem, die Wirtschaft UND die Gesellschaft.

Ziel 3: 0,5 Zweitinfektionen / 1 Zweitinfektion

Auch für den Fall, dass es nicht gelingt, die Zweitinfektionen dauerhaft auf 0,5 zu halten und der Wert nach Aufheben der rigiden Maßnahmen z.B. ab der 20 Woche wieder auf etwa 1 steigt, darf die Krise i. W. als überwunden gelten. Die Anzahl der Neuinfektionen pro Woche kann nach aller Voraussicht auch mit dem höheren Zweitinfektionswert noch unter 100 oder zumindest im niedrigen 3-stelligen Bereich gehalten werden. Das ist ohne weiteres beherrschbar. Die entsprechende Kurve ist in Abb. 6 dargestellt, unterscheidet sich insgesamt aber kaum von der Darstellung in Abb. 5.

Abb. 6: Verlauf der Infektionen mit \(q = 10\%\), \(k = 33\) bis Woche 10 und \(q =10\%\), \(k = 5\) ab Woche 11 (entsprechend 0,5 Zweitinfektionen pro Erkranktem) sowie \(q = 10\%\), \(k = 10\) ab Woche 20 (entsprechend 1 Zweitinfektion pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen halbiert sich nach Woche 10 im Wochenrhythmus bis zur 20. Woche. Danach bleibt die Rate in etwa konstant bei bis zu einigen 100 oder darunter. Der genaue Wert hängt davon ab, wie lange und konsequent die rigiden Maßnahmen beibehalten werden. Und auch davon, wie die Zweitinfektionen pro Erkranktem in der Phase danach tatsächlich liegen. Auf jeden Fall müssen sie \(\le 1\) bleiben. Der Gesamtverlauf ist im Wesentlichen derselbe wie im Falle von Abb. 5 (man beachte die unterschiedliche Skalierung der rechten Achse).

Schluss und Ausblick

Die unbedingte Voraussetzung für das Gelingen ist:

  • Die Zweitinfektionsrate (im Modell das Produkt \(q \cdot k\)) muss dauerhaft auf Werte \(\le 1\) gedrückt werden. Dazu müssen entweder die Kontaktzahlen auf niedrigerem Niveau als bisher allgemein üblich gehalten und/oder das individuelle Ansteckungsrisiko durch dauerhaft hohe Hygienestandards („sozialverträgliches“ Husten, häufiges Händewaschen, auf Händeschütteln verzichten etc.) deutlich reduziert werden.

Sofern wir das entsprechend umsetzen und uns alle daran halten, ist sichergestellt, dass es nicht wieder zu einem exponentiellen Anstieg der Infektionszahlen und damit zu neuen Ausbreitungswellen kommt. Das ist erforderlich bis zur Zulassung und allgemeinen Verfügbarkeit eines Impfstoffs. Erst danach können wir wieder in „alte Verhaltensmuster“ zurückfallen. Wobei die Einhaltung höherer Hygienestandards auch nach der Überwindung der Krise nicht von Nachteil sein wird.

Entscheidend ist: Zunächst müssen wir die akut anstehenden drastischen Verhaltensregeln konsequent einhalten und die Einschränkungen geduldig hinnehmen. Dabei wird die Wirtschaft kurzfristig leiden, aber schon nach Überwindung des jetzt noch vor uns liegenden hohen Anstiegs an Neuinfektionen wird in 4 bis 6 Wochen ein durchaus normales Wirtschaftsleben mit einigen kleineren Einschränkungen wieder möglich sein. Die Alternative einer halbherzigen Umsetzung wäre ein dauerhaftes Stagnieren der Wirtschaft, weil immer wieder neue Ansteckungswellen drohen.

Anhang

Im Folgenden sind die Verläufe der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Infizierten bei Zweitinfektionsraten von 2, 1,5, 1,2, und 1,1 dargestellt. Solche Verläufe sind kritisch und weisen auch bei kleinen Zweitinfektionsraten \(> 1\) einen exponentiellen Anstieg der Infektionszahlen auf. Werte von 1,1 oder 1,2 können allenfalls dabei helfen, Zeit zu gewinnen bis zur Zulassung eines Impfstoffs. Richtig ist dabei: Der Peak der Neuinfektionen wird weit in die Zukunft hinausgeschoben und abgeflacht (1 – 3 Jahre). Das hilft indes nur dem Gesundheitssystem, würde aber trotzdem erhebliche wirtschaftliche und soziale Einschränkungen nach sich ziehen. Bei längerer Dauer von nur halbherzigen Maßnahmen ist zu befürchten, dass bis dahin die Wirtschaft einen totalen Zusammenbruch erleidet. Deswegen führt an den oben skizzierten drastischen Maßnahmen kein Weg vorbei. Alles andere wäre wirtschaftlicher Selbstmord.

2 Zweitinfektionen

Abb. 7: Verlauf der Infektionen bei \(q = 10\%\), \(k = 20\) (entsprechend 2 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 26. Woche ihr Maximum mit ca. 15,5 Mio. Zu diesem Zeitpunkt sind bereits 42 Mio. Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten bleibt nach der 32. Woche mit knapp 72 Mio. konstant. Am Ende bleiben nur 11 Mio. verschont.

1,5 Zweitinfektionen

Abb. 8: Verlauf der Infektionen bei \(q = 10\%\), \(k = 15\) (entsprechend 1,5 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 22. Woche ihren Höchststand mit ca. 6 Mio. Dann sind bereits 28 Mio. Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten bleibt nach der 52. Woche mit ca. 51 Mio. konstant (61,5% der Bevölkerung). Am Ende bleiben 32 Mio. Einwohner verschont.

1,2 Zweitinfektionen

Abb. 9: Verlauf der Infektionen bei \(q = 10\%\), \(k = 12\) (entsprechend 1,2 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 85. Woche ihr Maximum mit ca. 1,3 Mio. Bis dahin haben sich insgesamt ca. 14 Mio. Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten ändert sich nach zwei Jahren (ab der 104. Woche) kaum noch und verharrt bei ca. 27 Mio. (33% der Bevölkerung). Am Ende bleiben in diesem Fall 56 Mio. Einwohner verschont.

1,1 Zweitinfektionen

Abb. 10: Verlauf der Infektionen bei \(q = 10\%\), \(k = 11\) (entsprechend 1,1 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 149. Woche ihren Höchststand mit ca. 365.000. Bis dahin haben sich insgesamt ca. 7,5 Mio. Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten ändert sich nach 4 Jahren (ab der 200. Woche) kaum noch und verharrt bei ca. 15 Mio. (18% der Bevölkerung). Am Ende bleiben in diesem Fall 68 Mio. Einwohner verschont.