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Die ominöse Herdenimmunität

2021-03-31 sumymus Schreibe einen Kommentar

Ist die Pandemie nach der Impfkampagne beendet?

Mit zunehmender Dauer der Corona-Pandemie kommt immer mehr die Frage nach der sogenannten Herdenimmunität auf. Wann endlich sind so viele geimpft bzw. von der Infektion genesen, dass eine weitere Ausbreitung des Virus ausgeschlossen werden kann? Oft werden für die Herdenimmunität Zahlen von 60 %, 67 % oder 70 % genannt. Doch gibt es eine Grenze bezüglich der Anzahl der Genesenen bzw. Geimpften, ab welcher keine Infektionsgefahr mehr besteht? Ist die Herdenimmunität eine scharfe epidemiologische Grenze? Kommt es zu keinen weiteren Neuinfektionen mehr, wenn 70 % oder 80 % geimpft sind?

Dazu später. Zunächst wollen wir die Zusammenhänge beleuchten und die Größe der Herdenimmunität ableiten.

Wie breitet sich das Virus aus?

Sei $N$ die Größe der Population. Der Wert $q$ steht für die Wahrscheinlichkeit, dass beim Kontakt mit einem Virusträger eine Übertragung stattfindet (was nur innerhalb der begrenzten Infektionszeit von ca. 7 bis 14 Tagen möglich ist). Ferner sei $k$ die durchschnittliche Anzahl der Kontaktpersonen und $k_{n}$ die durchschnittliche Anzahl der nicht infizierten Kontaktpersonen eines Erkrankten. Die Anzahl der Neuinfizierten im Intervall bezeichnen wir mit $a_{n}$. Die Gesamtanzahl aller bis zum Intervall $n$ bereits Erkrankten in der Population nennen wir $s_{n} $. Es gilt $s_{n} = \sum_{i=0}^{n} a_{i} $.

Für die Anzahl der Neuinfizierten im Intervall $n+1$ erhalten wir nun:

\begin{equation} a_{n+1} = q \cdot k_{n} \cdot a_{n} \end{equation}

Wie kommen wir hierin zum Wert von $k_{n}$? Ganz einfach: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig aus der Gesamtpopulation gewählte Kontaktperson noch nicht infiziert ist, können wir leicht bestimmen. Es ist der Quotient $\frac{N-s_{n}}{N} $. Demnach gilt

\begin{equation} k_{n} = \frac{N-s_{n}}{N} \cdot k \end{equation}

Zusammengefasst erhalten wir also

\begin{equation} a_{n+1} = q \cdot k \cdot \left (1 – \frac{s_{n}}{N} \right ) \cdot a_{n} \end{equation}

Das Produkt aus Kontaktanzahl und Infektionswahrscheinlichkeit wird oft auch als Reproduktionsfaktor oder R-Wert bezeichnet. Damit erhalten wir die Entwicklungsformel

\begin{equation} a_{n+1} = R \cdot \left (1 – \frac{s_{n}}{N} \right ) \cdot a_{n} \end{equation}

Bestimmung der Herdenimmunität

Mittels des Modells kann man leicht bestimmen, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit die Anzahl der Neuinfektionen ab einem bestimmten Zeitintervall nicht weiter ansteigt. Dies ist dann der Fall, wenn $\frac {a_{n+1}}{a_{n}} \le 1$ ist, wenn also gilt, $ R \left (1 – \frac{s_{n}}{N} \right ) \le 1$. Daher lautet die Bedingung

\begin{equation} \frac{s_{n}} {N} \ge 1 – \frac{1}{R} \end{equation}

Wenn also der relative Anteil $\frac{s_{n}} {N}$ der Genesenen (bzw. Geimpften, also der Immunisierten) an der Gesamtpopulation erstmals den Wert $1-\frac{1}{R}$ übersteigt, gehen die Neuinfektionen zurück. Diese Grenze markiert den Wert der sogenannten Herdenimmunität $H$ und es gilt demnach

\begin{equation} H = 1 – \frac{1}{R} \end{equation}

In Abb. 1 ist der Zusammenhang zwischen $H$ und $R$ grafisch dargestellt.

Abbildung 1: Theoretische Herdenimmunität in Abhängigkeit vom Reproduktionsfaktor (R-Wert).

Mathematisch gesehen bestimmt $H$ das Maximum im Kurvenverlauf der Neuinfektionen. Wenn der Anteil der Infizierten unterhalb der Grenze $H$ liegt, dann steigen die Neuinfektionszahlen exponentiell, liegt sie oberhalb, dann fallen sie exponentiell. $H$ ist damit zugleich der Wendepunkt im Kurvenverlauf der Gesamtanzahl der Infizierten: Wenn der Anteil der Infizierten $\le H$ ist, wachsen die Infektionszahlen immer schneller an. Sobald die Grenze $H$ überschritten wird, steigen die Infektionszahlen zwar immer noch, aber der Verlauf wird immer flacher: Es gibt kein exponentielles Wachstum mehr.

Der Wert von $H$ definiert also die Grenze, ab welcher die exponentielle Ausbreitung des Virus bei einem gegebenem Reproduktionsfaktor $R$ eingedämmt ist. Das Virus kann sich immer noch ausbreiten, dies vollzieht sich aber mit reduzierter Dynamik. Neuinfektionen in großer Anzahl sind indessen keineswegs ausgeschlossen.

Der Terminus Herden-Immunität ist insofern missverständlich, genaugenommen sogar falsch, da es in der Herde auch dann noch Neuinfektionen geben wird, wenn der Anteil der Genesenen und Geimpften den theoretischen Grenzwert der Herdenimmunität überschreitet. Mit anderen Worten: Die Herde als Ganzes ist NICHT immun, so lange nicht ALLE Herdenmitglieder immun sind. Der Begriff der Immunität bei einer Einzelperson ist demnach nicht übertragbar auf die Immunität der Gesellschaft als Ganzes.

Exemplarische Entwicklung der Infektionszahlen

Die prinzipiellen Zusammenhänge für einen Reproduktionsfaktor $R = 1.5$ (entsprechend einer Herdenimmunität von 33 % bzw. 27,5 Mio. Menschen) sind in Abb. 2 visualisiert.

Verlauf der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Immunisierten (hier: Genesene) auf Basis eines Reproduktionsfaktors R = 1,5 unter der Annahme von 1000 Neuinfektionen in der ersten Woche des Betrachtungszeitraums.

Abbildung 2: Verlauf der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Immunisierten (hier: Genesene) auf Basis eines Reproduktionsfaktors R = 1,5 unter der Annahme von 1000 Neuinfektionen in der ersten Woche des Betrachtungszeitraums. Dieser R-Wert entspricht einem Wert für die Grenze der Herdenimmunität von 33 % bzw. 27,5 Mio. Menschen (grün gestrichelte horizontale Linie). Der Anteil der Genesenen überschreitet in der 25. Woche die Grenze der Herdenimmunität (grün gestrichelte vertikale Linie). Ab diesem Zeitpunkt geht die Anzahl der Neuinfektionen exponentiell zurück. Die Infektionszahlen steigen aber weiter an und erreichen über 51 Mio. Menschen.

Wie man der vorstehenden Ableitung entnimmt, handelt es sich bei der Herdenimmunität nicht um eine feste Grenze, sondern um einen von der Kontakthäufigkeit und der Infektionswahrscheinlichkeit bzw. vom Reproduktionsfaktor R abhängigen theoretischen Schwellwert.

Wenn der entsprechende Anteil der Population infiziert ist, kommt es zu keinem weiteren exponentiellen Wachstum mehr, vorausgesetzt, die Kontakthäufigkeit und die Infektionswahrscheinlichkeit erhöhen sich nicht. Bei einem Reproduktionsfaktor von 3 (also z.B. durchschnittlich 3 Kontakte mit einer Infektionswahrscheinlichkeit von q=100 %, oder 30 Kontakte mit q=10 %, liegt der Schwellwert für die Herdenimmunität bei exakt 2/3 bzw. 67 %. Erhöht sich aber der R-Wert auf 3,5, so ändert sich der Schwellwert des exponentiellen Wachstums auf 71 %. Bei R-Werten von 4 oder 5 liegt die Grenze entsprechend bei 75 % bzw. 80 %.

Was passiert mit den Infektionszahlen bei einer Erhöhung des R-Wertes?

Wir beleuchten die Fragestellung anhand eines Beispiels. In Abbildung 3 sind die Kurvenverläufe für die Neuinfektionen und die Gesamtanzahl der Infizierten für den exemplarischen Fall der Änderung des R-Wertes von 3 auf 4 aufgetragen. Ausgangsbasis für die Rechnung ist die bereits erreichte Herdenimmunität von 67 % bei einem Reproduktionsfaktor von 3. Es wird angenommen, dass sich der R-Wert in der ersten Woche des Betrachtungszeitraums auf 4 erhöht und zugleich 1000 Neuinfektionen stattfinden. Höhere R-Werte können temporär durchaus entstehen, z.B. aufgrund von Massenveranstaltungen.

Wenn der R-Wert (theoretisch) für 1 Jahr konstant bei 4 bleibt, steigen die Neuinfektionen in der Folge bis zur 30. Woche exponentiell an und erreichen dort ihr Maximum mit fast 1 Mio. Neuinfizierten. Danach nimmt die Anzahl der Neuinfektionen rapide ab und liegt nach einem Jahr wieder auf dem Niveau des Ausgangswertes. Die Gesamtanzahl der Immunisierten (Infizierte bzw. Geimpfte) steigt im gleichen Zeitraum aufgrund der Neuinfektionen von 67 % (ca. 55,6 Mio.) um 12,6 Mio. auf 82 % (68,2 Mio.).

Zwar liegt die Herdenimmunität bei einem R-Wert von 4 nur bei 75 % (62,5 Mio.), dennoch steigt die Gesamtanzahl der Infizierten weit über diese Summe hinaus, weil beim Erreichen der Immunitätsgrenze in der 30. Woche noch Hundertausende Neuinfektionen vorliegen, die über weitere 20 Wochen die Anzahl der Infizierten noch zusätzlich um fast 6 Mio. steigen lassen. In Abb. 3 sind die Zusammenhänge detailliert dargestellt.

Verlauf der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Immunisierten (Genesene bzw. Geimpfte) ausgehend von einem Immunisierungsgrad von 67 % (entsprechend knapp 56 Mio. Immunisierten).

Abbildung 3: Verlauf der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Immunisierten (Genesene bzw. Geimpfte) ausgehend von einem Immunisierungsgrad von 67 % (entsprechend knapp 56 Mio. Immunisierten). Grundlage für die Modellrechnung sind 1000 Neuinfektionen in der ersten Woche des Betrachtungszeitraums bei einem von 3 auf 4 erhöhten Reproduktionsfaktor. Der Anteil der Genesenen überschreitet in der 30. Woche die Grenze der aus dem R-Wert von 4 resultierenden theoretischen Herdenimmunität von 75 %. Ab diesem Zeitpunkt geht die Anzahl der Neuinfektionen exponentiell zurück. Die Infektionszahlen steigen aber weiter an und erreichen über 68 Mio. Menschen, das sind etwa 12,6 Mio. mehr als zu Beginn des Ausbruchs.

Abschätzung zur Anzahl der Neuinfektionen bei einer Erhöhung des R-Wertes

Wir haben gesehen, dass es bei einer Erhöhung des R-Werts einen Überschwingeffekt gibt. Die Gesamtanzahl der der Immunisierten (Genesene bzw. Geimpfte) klettert bei einem erneuten Ausbruch mit größerem R-Wert aus dem stabilen Zustand mit dem Immunisierungsgrad $p_{i}$ nicht nur auf den entsprechenden höheren Wert der Herdenimmunität, sondern geht weit darüber hinaus. Die Anzahl der Neuinfizierten $Infektionen_{neu}$ bei ungebremster Infektion mit dem erhöhten R-Wert kann man näherungsweise zu

\begin{equation} Infektionen_{neu} \approx 2N \cdot \left(1 – \frac{1}{R}-p_{i}\right) \end{equation}

bestimmen. Im vorangegangenen Beispiel (s. Abb. 3) kommt man so auf die Abschätzung $Infektionen_{neu} \approx 2\cdot 83000000 \cdot \left(1–\frac{1}{4}–0.67\right) = 13.28 \cdot 10^{6}$.

Bestimmung des effektiven R-Wertes

Ausgehend von einer stabilen Situation mit einem Immunisierungsgrad in Höhe der Herdenimmunität verlaufen die Infektionszahlen bei einer Erhöhung des R-Wertes dem Augenschein nach in etwa so, wie man es in einer Population ohne Immunisierte erwarten würde. Das kann man Abb. 3 unmittelbar entnehmen. Bei genauer Betrachtung erkennt man indes, dass die Geschwindigkeit der Ausbreitung deutlich reduziert ist. Im Ergebnis beobachten wir unmittelbar nach dem Ausbruch ein Wachstum bei der Anzahl der Neuinfektionen mit einem effektiven Reproduktionsfaktor von

\begin{equation}R_{eff} = R \cdot \left(1 -p_{i}\right) \end{equation}

Wenn wir die Fälle mit $p_{i} = 1 -\frac{1}{R}$ betrachten (also $p_{i} = Herdenimmunität$), ergibt sich dabei stets ein effektiver R-Wert $\gt 1$, also exponentielles Wachstum. Daher müssen wir immer mit einer exponentiellen Ausbreitung von Neuinfektionen rechnen, sofern der aktuelle Immunisierungsgrad kleiner als die aus dem vorliegenden R-Wert resultierende theoretische Herdenimmunität ist.

In der Situation von Abb. 3 haben wir initial stabile Verhältnisse, da der erreichte Immunisierungsgrad von 67 % dem unterstellten R-Wert von etwa 3 entspricht. Aufgrund der Erhöhung des R-Werts auf 4 führt die induzierte Infektion von 1000 Personen zu einem exponentiellen Anstieg der Neuinfektionen. Der anfängliche effektive Reproduktionsfaktor (R-Wert) beläuft sich hierbei nach obiger Formel auf $R_{eff} = 4 \cdot \left(1-0.67\right) = 1.32$.

Analyse des Infektionsgeschehens in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad

Nun haben wir oben ein Extrembeispiel betrachtet. In der Realität wird man einen solchen Ausbruch nicht dauerhaft geschehen lassen und Gegenmaßnahmen zur Eindämmung der Ausbreitung ergreifen (Kontaktreduzierung, Impfung). Die Anzahl der Neuinfizierten ist abhängig vom R-Wert, dem jeweils erreichten Immunisierungsgrad (Anteil der Immunisierten in der Population, entweder durch Impfung oder durch Genesung), von der initialen Inzidenz beim erneuten Ausbruch und von der Dauer der Ausbreitung mit dem erhöhten R-Wert.

Zunächst betrachten wir die Abhängigkeit des Infektionsgeschehens vom Immunisierungsgrad (s. Abb. 4).

Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Blau: Anteil der Immunisierten (Immunisierungsgrad); Rot: Anteil der Neuinfizierten nach einem Ausbruch mit einer initialen 7-Tage-Inzidenz von 50 im Verlauf von 12 Wochen; Grün: Verbleibender Anteil der Nicht-Infizierten.

Abbildung 4: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Blau: Anteil der Immunisierten (Immunisierungsgrad); Rot: Anteil der Neuinfizierten nach einem Ausbruch mit einer initialen 7-Tage-Inzidenz von 50 im Verlauf von 12 Wochen; Grün: Verbleibender Anteil der Nicht-Infizierten. Beispiel: Balken bei x = 0,55: Immunisierungsgrad = 55 % (blaue Säule); Anteil der sich neu Infizierenden im Verlauf der nächsten 12 Wochen = 5 % (rote Säule bei x = 0,55); Anteil der nicht Infizierten im Verlauf der nächsten 12 Wochen = 40 % (grüne Säule bei x = 0,55);

Man entnimmt der Darstellung unmittelbar, dass der Anteil der Neuinfizierten (rote Säulen) bei höheren Immunisierungsgraden sehr schnell geringer wird. Im Beispiel von Abb. 4 ist die rote Säule für Immunisierungsgrade über 70 % im Diagramm nicht mehr erkennbar. Diese 70 % entsprechen in diesem Fall (R = 3) in etwa der theoretischen Herdenimmunität von 67 %.

Der Einfluss des Reproduktionsfaktors

Wie ändert sich nun die Situation bei Variation des R-Werts? Dazu betrachten wir die nachfolgende Abb. 5. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen und der Nicht-Infizierten in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Exemplarisch wurde eine anfängliche Inzidenz vom 50 Infektionen pro 100.000 Personen zugrunde gelegt und ein Zeitraum von 12 Wochen betrachtet. Man sieht, wie stark der R-Wert in das Verhältnis der Anteile von Immunisierten, Neuinfizierten und Nicht-Infizierten eingeht.

Beispiele: R-Wert = 2,5 (orangefarbene Kurve): Immunisierungsgrad = 0,3 (30 %), Neuinfizierte = 40 % (= 70 % – 30 %), Nicht-Infizierte = 30 % (= 100 % – 70 %); R-Wert = 3 (braune Kurve): Immunisierungsgrad = 0,3 (30 %), Neuinfizierte = 62 % (= 92 % – 30 %), Nicht-Infizierte = 8 % (= 100 % – 92 %); R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 10 % (= 80 % – 70 %), Nicht-Infizierte = 20% (= 100 % – 80 %). Der oben bestimmte Wert für die Herdenimmunität ist näherungsweise der Immunisierungsgrad, bei welchem die entsprechende Kurve der Diagonale (grün) nahekommt und sie scheinbar berührt.

Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen und der Nicht-Infizierten in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad.

Abbildung 5: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen und der Nicht-Infizierten in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Näherungsweise ist die Herdenimmunität der Immunisierungsgrad, bei welchem die entsprechende Kurve der Diagonale (grün) nahekommt und sie scheinbar berührt. Beispiel: R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 10 % (= 80 % – 70 %), Nicht-Infizierte = 20 % (= 100 % – 80 %).

Im vorstehenden Diagramm sind die 3 relevanten Informationen: Immunisierungsgrad, Anteile der Neuinfektionen und Anteil der Nicht-Infizierten in ihrer relativen Größe zueinander dargestellt. Interessiert sind wir indes vor allem am Anteil der resultierenden Neuinfektionen nach einem Ausbruch bei gegebenem Immunisierungsgrad. Diese Info findet sich für dieselbe Parameterkonfiguration unmittelbar in Abb. 6.

Abbildung 6: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Beispiel: R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 10 % der Gesamtbevölkerung.

Infektionsgeschehen bei Immunisierungsgraden in der Nähe der Herdenimmunität

Grundsätzlich erkennt man anhand der Kurvenverläufe in Abb. 6, dass die relativen Neuinfektionszahlen mit wachsendem Immunisierungsgrade sehr schnell kleiner werden. Allerdings verflachen sich die Kurven bei höheren Immunisierungsgraden in der Nähe der theoretischen Herdenimmunität (z.B. 80 % bei R = 5, hellrote Kurve). Um die Verläufe in diesem Bereich sichtbar zu machen, sind die relativen Anteile der Neuinfektionszahlen im Folgenden in logarithmischer Skalierung aufgetragen. Die Reduzierung der Anzahl der Neuinfektionen durch Erhöhung des Immunisierungsgrades ist nun direkt ablesbar.

Beispiel: Bei einem R-Wert von 1,5 und einem Immunisierungsgrad von 0,55 (55 %) entnehmen wir der Grafik einen Wert von 0,1% Neuinfektionen binnen 12 Wochen nach einem Ausbruch mit der anfänglichen Inzidenz von 50 pro 100. 000 Einwohner (s. Abb. 7). Dagegen sind es bei einem R-Wert von 3 im selben Zeitraum bereits 6 % Neuinfektionen bezogen auf die Gesamtbevölkerung.

Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad in logarithmischer Skalierung. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 7: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad in logarithmischer Skalierung. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Beispiel: R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 10 % der Gesamtbevölkerung.

Sensitivitätsanalyse

Bei höheren Inzidenzen verschieben sich die Kurven nach rechts, so dass die die Anzahl der Neuinfektionen nach einem neuerlichen Ausbruch steigt. Bei der gegenüber dem Beispiel oben verdoppelten Inzidenz von 100 pro 100. 000 Einwohnern sind es nun für den R-Wert 1,5 und einem Immunisierungsgrad von 0,55 (55 %) 0,2 % Neuinfektionen binnen 12 Wochen, und bei einem R-Wert von 3 im selben Zeitraum bereits 10 % Neuinfektionen bezogen auf die Gesamtbevölkerung (s. Abb. 8).

Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad in logarithmischer Skalierung. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 8: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad in logarithmischer Skalierung. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Beispiel: R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 16 % der Gesamtbevölkerung; Immunisierungsgrad = 0,8 (80 %), Neuinfizierte = 1 % der Gesamtbevölkerung.

Der einem Neuinfektionsanteil von 1 % entsprechende Immunisierungsgrad stimmt bei einer angenommenen Inzidenz von 100 und einem Betrachtungszeitraum von 12 Wochen in guter Näherung mit dem Wert der theoretischen Herdenimmunität überein (vgl. Abb. 1 und Abb. 8). D. h., sofern der Immunisierungsgrad der Population in etwa dem Wert für die Herdenimmunität entspricht, infizieren sich bei einem Ausbruch mit der Inzidenz 100 binnen 12 Wochen ca. 1 % der Bevölkerung.

Erweitern wir nun die summarische Sensitivitätsanalyse in Richtung der Verlängerung des Betrachtungszeitraums. In erster Näherung nimmt man ähnliche Veränderungen wahr, wie bei einer entsprechenden Vergrößerung der Inzidenz. In Abb. A-1 (s. Anhang) ist die Kurvenschar auf Basis einer initialen 7-Tage-Inzidenz von 50 und einer Dauer von 24 Wochen dargestellt. Im Vergleich zur Situation bei der halben Dauer von 12 Wochen, sind die Infektionszahlen bei niedrigen Immunisierungsgraden deutlich erhöht. Dagegen steigen bei die Infektionszahlen bei hohen Immunisierungsgraden merklich geringer.

Beispiel: R-Wert = 2 (rote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,4 (40 %), Neuinfizierte = 2 % der Gesamtbevölkerung bei einer Dauer von 12 Wochen (s. Abb. 7), aber Neuinfizierte = 10 % bei einer Dauer von 24 Wochen. R-Wert = 2,5 (orange Kurve): Immunisierungsgrad = 0,6 (60 %), Neuinfizierte = 0,6 % der Gesamtbevölkerung bei einer Dauer von 12 Wochen (s. Abb. 7), aber Neuinfizierte = 1 % bei einer Dauer von 24 Wochen.

Absolute Infektionszahlen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad

Im Folgenden bestimmen wir die Höhe der absoluten Infektionszahlen bei gegebenen Immunisierungsgraden und den initialen 7-Tage-Inzidenzen von 50 und 100 sowie den Betrachtungszeiträumen 12 und 24 Wochen.

„Normales“ Leben führt zu R-Werten zwischen 2 und 3 für Personen mit eher geringer Kontakthäufigkeit und R-Werten zwischen 3 und 4 für Personen mit höherer Kontakthäufigkeit und -intensität. Betreffend Massenveranstaltungen muss man teilweise mit Reproduktionsfaktoren deutlich darüber rechnen (bis zu 5, evtl. auch mehr).

Wir beschränken uns daher auf Reproduktionsfaktoren R = 2 bis 5 und Immunisierungsgrade 50 % bis 80 %. Bei niedrigeren Immunisierungsgraden gehen die Neuinfektionszahlen unter den gegebenen Randbedingungen schnell in die Millionen. Umgekehrt erscheinen Immunisierungsgrade über 80 % in absehbarer Zeit kaum erreichbar.

Die Ergebnisse sind in den Abbildungen 9 und 10 zusammengetragen. Die weitere Sensitivitätsanalyse findet sich im Anhang (s. Abb. A-2 und A-3 sowie Abb. A-4 und A-5).

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 9: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 2,5 (blaue Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 480.000 innerhalb von 12 Wochen.

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 10: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 3,5 (grüne Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 6 Mio. innerhalb von 12 Wochen.

Die vorstehenden Abbildungen zeigen, dass es nicht ausreicht, einfach nur einen Immunisierungsgrad in Höhe der formalen Herdenimmunität anzustreben. Auch dann, wenn z.B. 70 % der Menschen immun sind, führt ein neuerlicher Ausbruch mit einem R-Wert von 3,5, aus einer anfänglichen 7-Tage-Inzidenz von 50 Infektionen pro 100.000 Einwohnern (das wären bundesweit 41.500 Infizierte in 7 Tagen) bereits in 12 Wochen zu 650.000 Neuinfektionen, bei einem R-Wert von 4 gar zu 1,7 Millionen (s. Abb. 10).

Zusammenspiel von R-Wert und Immunisierungsgrad

Es stellt sich die Frage, welche Immunisierungsgrade für die Wiedererlangung unserer gewohnten wirtschaftlichen und gesellschaftlich-kulturellen Freiheiten tatsächlich erreicht werden müssen. Werfen wir dazu einen Blick auf Abb. 11. Diese Darstellung dient uns im Folgenden zur Orientierung. Für jedes Wertepaar von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad finden wir hier die grundlegende Information zur Kritikalität der Wertekombination.

Bei den Wertepaaren innerhalb der rot eingefärbten Fläche breitet sich das Virus nach einer anfänglichen Infektion stets mit exponentieller Geschwindigkeit aus. Der grüne Bereich steht für die Kontrolle über das Infektionsgeschehen, da hier umgekehrt jede Infektion rasch verebbt (exponentielle Reduzierung der Neuinfektionszahlen). Dazwischen liegt ein gelber Bereich mit einem näherungsweise linearen Infektionsgeschehen, d.h., die Anzahl der Neuinfektion bleibt ungefähr konstant. Exakt linear ist das Verhalten auf der blauen Grenzkurve. Im gelben Bereich oberhalb und links davon sinken die Neuinfektionszahlen langsam. Unterhalb und rechts davon steigen sie langsam, aber immer mit der Gefahr des Abrutschens in den roten Bereich.

Abbildung 11: Pandemie-Orientierungskarte (1). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100).

Realistische Zielsetzung

Nach Abb. 12 verbleibt als realistischer Zielbereich das grün-gelbe Ecksegment zwischen den beiden Verbotszonen und der blauen Grenzkurve. Dabei stellt sich aber die Frage, mit welchem Restrisiko wir rechnen müssen.

Pandemie-Orientierungskarte (2). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100). Zusätzlich eingetragen sind die „verbotenen Zonen“

Abbildung 12: Pandemie-Orientierungskarte (2). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100). Zusätzlich eingetragen sind die „verbotenen Zonen“: Immunisierungsgrade, die sehr hohe Impfquoten erfordern (blaue Zone im oberen Bereich) sowie R-Werte unter 1,5, die zwar im Lockdown realisierbar sind, aber mit gravierenden gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Kollateralschäden einhergehen und ein „normales“ Leben nicht erlauben (blaue Zone im linken Bereich).

Restrisiko

Für einige exemplarische Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert sind in Abb. 13 die resultierenden Neuinfektionszahlen auf Basis einer initialen 7-Tage-Inzidenz von 50 Neuinfektionen pro 100.000 Einwohner und einer Ausbreitung über 12 Wochen in die Orientierungskarte eingetragen. Man sieht, dass Kombinationen rechts der blauen Grenzkurve zu Neuinfektionszahlen in 7-stelliger Höhe führen. Im grünen Bereich links davon bleibt man im beherrschbaren 5 bis 6-stelligen Bereich. Auf der Grenzkurve selbst ergeben sich binnen 12 Wochen bereits ca. eine halbe Million Neuinfektionen.

Pandemie-Orientierungskarte (3). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100). Bezugsgrößen für die Zahlenangaben: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung 13: Pandemie-Orientierungskarte (3). Kritikalität der Wertekombination von R-Wert (0 – 10) und Immunisierungsgrad (0 – 100). Bezugsgrößen für die Zahlenangaben: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 12 Wochen. Rechts der blauen Grenzkurve (exponentielles Wachstum) ergeben sich Neuinfektionszahlen in Millionenhöhe. Links davon bleiben die Neuinfektionszahlen im Bereich von einigen Zehntausend bis einigen Hunderttausend.

Die Zahlenwerte folgen aus den Säulendiagrammen in Abb. 9 und 10. Bei Betrachtung niedriger oder höherer Inzidenzen bzw. von kürzeren oder längeren Ausbreitungszeiten ergeben sich andere Neuinfektionszahlen (s. Abb. A-2 bis A-5 im Anhang), teilweise geringere (niedrigere Inzidenz oder kürzere Ausbreitungsdauer), teilweise aber auch höhere (höhere Inzidenz oder längere Ausbreitungsdauer). Nach der obigen Sensitivitätsanalyse (Abb. 5 – 10 und Anhang) bleibt die Grundaussage indessen dieselbe.

Erhöhtes Risiko, sofern die Impfstoffe nicht zu 100 % wirken

Bei den obigen Rechnungen sind wir von einer 100-prozentigen Wirksamkeit der Impfstoffe ausgegangen und haben unterstellt, dass Geimpfte, 1. immun, und 2. nicht infektiös sind. In welchen Umfang und wie lange das für die einzelnen Impfstoffe und gegen eventuell kursierende Virusmutationen zutrifft, ist gegenwärtig noch weitgehend offen. Wenn z.B. die Immunität effektiv nur bei 90% der Geimpften vorliegt, dann hieße das, dass die Impfquote im Hinblick auf dieselbe Schutzwirkung in der Bevölkerung entsprechend höher sein muss. Um einen effektiven Immunisierungsgrad von 70 % zu erreichen, müssten daher in diesem Falle knapp 78 % der Menschen geimpft werden.

Umgekehrt wären bei einer Impfquote von 70 % effektiv nur 63 % immunisiert. Wie man Abb. 9 entnehmen kann, würde man dann in der Beispielrechnung bei einem R-Wert von 3 statt der 261.000 Infizierten (bezogen auf einen Immunisierungsgrad von 70 %) etwa 1 Mio. Infizierte (bezogen auf einen Immunisierungsgrad von 63 %) bekommen.

Die Sensitivität der Fallzahlen bei Variation des Immunisierungsgrads in Bezug auf den theoretischen Bezugswert der Herdenimmunität ist in Abbildung 14 dargestellt.

Sensitivität der Fallzahlen bei Variation des Immunisierungsgrads. Für unterschiedliche R-Werte ist dargestellt, um welchen Faktor (y-Achse) sich die Neuinfektionszahlen bei einer Änderung des Immunisierungsgrads (x-Achse) im Intervall Herdenimmunität – 20 % bis Herdenimmunität + 20 % verändern.

Abbildung 14: Sensitivität der Fallzahlen bei Variation des Immunisierungsgrads. Für unterschiedliche R-Werte ist dargestellt, um welchen Faktor (y-Achse) sich die Neuinfektionszahlen bei einer Änderung des Immunisierungsgrads (x-Achse) im Intervall Herdenimmunität – 20 % bis Herdenimmunität + 20 % verändern. Man beachte die logarithmische Skalierung auf der y-Achse. Bezugswert ist die jeweilige Neuinfektionszahl, die sich bei Übereinstimmung zwischen dem Immunisierungsgrad und der Herdenimmunität ergibt. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 6 Wochen. Beispiel: R-Wert = 4 (blaue Kurve), Immunisierungsgrad = Herdenimmunität – 10 %; dem Diagramm entnimmt man, dass die Anzahl der Neuinfektionen fast 4-mal höher ist als im Falle „Immunisierungsgrad = Herdenimmunität“.

Dem Diagramm kann man unschwer entnehmen, wie sensibel die Fallzahlen auf Abweichungen des effektiven Immunisierungsgrads von der theoretischen Herdenimmunität reagieren. Der Referenzwert im Nullpunkt (also Abweichung = x-Wert = 0 %) ist in Bezug auf den jeweiligen R-Wert auf 1 gesetzt. Die initiale Kurvensteigung im Nullpunkt ist proportional zum R-Wert (genauer: -R).

In der linken Hälfte des Diagramms sieht man, wie stark die Fallzahlen steigen, wenn der Immunisierungsgrad die theoretische Herdenimmunität pro R-Wert um einige Prozentpunkte unterschreitet. Auf der rechten Seite des Diagramms erkennt man umgekehrt, dass die Fallzahlen sehr schnell kleiner werden, sofern der (effektive) Immunisierungsgrad den Wert für die Herdenimmunität nennenswert übersteigt.

Die Kurven in Abb. 14 belegen klar die Kritikalität des Immunisierungsgrads in Bezug auf die aus dem R-Wert bestimmte theoretische Herdenimmunität. Ein effektiver Immunisierungsgrad unterhalb der Herdenimmunität bringt noch keine durchgreifende Entlastung bei den Neuinfektionszahlen. Im Hinblick auf die möglicherweise (bzw. wahrscheinlich) nicht 100%-ige Wirksamkeit von Impfungen muss daher die Impfquote signifikant über der jeweiligen Herdenimmunitätsgrenze liegen.

Folgerungen

Als Resümee aus dem Vorhergehenden ergibt sich die folgende Darstellung (s. Abb. 15): Die Immunisierungsgrade müssen Werte in der oberen Hälfte des eingezeichneten grünen Bereichs annehmen. Je weiter entfernt von der blauen Grenzkurve, desto besser. Bei Immunisierungsgraden unter 70 % sind R-Werte über 3 tabu, da die Infektionszahlen ansonsten binnen weniger Wochen 6-stellig werden können (s. Abb. 13). Umgekehrt erfordern R-Werte um 4 Immunisierungsgrade von 80%.

Abbildung 15: Pandemie-Orientierungskarte (4). Ausgangssituation, gegenwärtiger Status und Zielbereich.

In Abbildung 16 sind für die Reproduktionsfaktoren R = 2,5, 3, 4 und 5 jeweils die Werte für die theoretischen Herdenimmunitäten eingetragen. Die grünen Pfeile darüber zeigen die sinnvollen Wertebereiche der dazu passenden Immunisierungsgrade. Nach den vorstehenden Analysen erscheint es zweckmäßig, den Immunisierungsgrad mindestens etwa 5 % über der sich aus dem R-Wert ergebenden theoretischen Herdenimmunität zu wählen. Der entsprechende Bereich ist unten durch die punktierte grüne Line begrenzt. Dies unterstellt, bleiben die Neuinfektionsraten bei der angenommenen initialen Inzidenz von 50 pro 100.000 über einen Zeitraum von 12 Wochen im niedrigen 6-stelligen Bereich (s. Abb. 13), sofern nahezu 100 % der Geimpften tatsächlich immun sind und das Virus nicht weitergeben. Schon wenn die Impfung nur in 1 von 10 Fällen nicht wie erwartet zur Immunisierung führt, was ja immer noch eine hohe Impfwirksamkeit von 90 % wäre, könnten die Neuinfektionen im Betrachtungszeitraum von 12 Wochen die Millionengrenze erreichen und überschreiten.

Nur drei Beispiele dazu: R-Wert = 2,5, Impfquote 60 %, effektive Immunisierung 55 %. Statt der bei einer Immunisierung von 60 % erwarteten Anzahl von 480.000 Neuinfektionen (initiale Inzidenz 50 pro 100.000, 12 Wochen) muss man mit mehr als doppelt so viel rechnen (= 1,09 Mio., vgl. Abb. 9). R-Wert = 3,5, Impfquote 70 %, effektive Immunisierung 65 %. Die bei einer Immunisierung von 70 % erwarteten 650.000 Neuinfektionen (initiale Inzidenz 50 pro 100.000, 12 Wochen) steigen auf die dreifache Anzahl (= 2,05 Mio., vgl. Abb. 10). R-Wert = 4, Impfquote 80 %, effektive Immunisierung 70 %. Gegenüber den bei einer Immunisierung von 80 % zu erwartenden 151.000 Neuinfektionen (initiale Inzidenz 50 pro 100.000, 12 Wochen) könnte sich die Anzahl auf 1,71 Mio. erhöhen (vgl. Abb. 10).

Pandemie-Orientierungskarte (5). Ausgangssituation, gegenwärtiger Status und Zielbereich mit den eingezeichneten minimalen Immunisierungsgraden (punktierte Linie / Startpunkte der grünen Pfeile) bezogen auf die Reproduktionsfaktoren R = 2,5, 3, 3,5 und 4 sowie den entsprechenden Herdenimmunitäten H.

Abbildung 16: Pandemie-Orientierungskarte (5). Ausgangssituation, gegenwärtiger Status und Zielbereich mit den eingezeichneten minimalen Immunisierungsgraden (punktierte Linie / Startpunkte der grünen Pfeile) bezogen auf die Reproduktionsfaktoren R = 2,5, 3, 3,5 und 4 sowie den entsprechenden Herdenimmunitäten H.

Resümee

Nach dem Vorstehenden kann man sich der Erkenntnis nicht verweigern, dass auch bei einer vergleichsweise hohen Impfquote von über 70 % die Pandemie nicht als beendet angesehen werden kann. Unter „normalen“ Bedingungen können die Neuinfektionszahlen selbst bei einem moderaten Ausbruch mit einer 7-Tage-Inzidenz von 50 pro 100.000 Personen in wenigen Wochen Werte von einigen hunderttausend erreichen. Zum Vergleich: In der ersten Corona-Welle waren von Anfang März bis Ende Mai 2020 trotz der Lockdown-Beschränkungen etwa 180.000 Corona-Infektionen zu verzeichnen, und das hat man damals als extrem bedrohlich empfunden. Großveranstaltungen (Sportereignisse, Volksfeste, Karneval, Weihnachtsmärkte) können unter den vor der Pandemie üblichen Bedingungen eine solche Inzidenz fraglos auslösen. Gleichfalls können auch Urlaubsrückkehrer die Quelle für Neuinfektionen sein.

Welchen Schluss kann man daraus ziehen? Impfen bringt nichts? – Keineswegs! Natürlich ist eine hohe Impfquote wichtig, vor allem gilt dies für die vulnerablen Gruppen (insbes. Menschen über 70 oder 80 und Menschen mit Vorerkrankungen). Impfen allein genügt aber nicht. Wir müssen vielmehr lernen, mit dem Corona-Virus zu leben, genau wie wir auch gelernt haben, mit anderen viralen Bedrohungen zurechtzukommen. Diese Aufforderung richtet sich an uns alle, sie geht aber zuvorderst an die politisch Verantwortlichen.

Die Politiker müssen sich der Realität stellen und zu einem wissenschaftlich fundierten, aber eben nicht einseitig am Gesundheitssystem ausgerichteten Krisenmanagement finden. Dazu gehört vor allem die Abkehr von der Inzidenzzahl als dem nahezu einzigen Indikator für die Situationsbeurteilung. Diese Steuergröße ist für die Auslösung von Schutzmaßnahmen denkbar ungeeignet. Ausgehend von der Erwartung, dass die Impfquote in absehbarer Zeit kaum über 70 % steigen wird, legt die vorstehende Analyse nahe, dass die Pandemie noch lange dauern könnte, wenn man ausschließlich auf Inzidenzen schaut.

Es ist nicht die Aufgabe der Politik, jedes Risiko von den Menschen zu nehmen. Und es ist absolut unverhältnismäßig, dem Vorsorgeprinzip alles andere unterzuordnen: Kultur, gesellschaftliche Aktivitäten, Freizeit, ja die gesamt Wirtschaft. Niemand führt Buch über die dergestalt verursachten Kollateralschäden. Freiheitsbeschränkungen sind in der Demokratie höchstens ausnahmsweise und befristet hinnehmbar. Wer das als Politiker anders sieht, sollte sein Amt niederlegen bzw. sich gar nicht erst zur Wahl stellen.

Mündige Staatsbürger brauchen keinen Vormund. Die Eigenverantwortung ist die stärkste Waffe gegen das Corona-Virus. Freiheit und Eigenverantwortung sind die zwei Seiten ein und derselben Medaille. Der Staat trägt Verantwortung nur für diejenigen, die sich nicht selbst schützen können. Darauf muss er sich konzentrieren und soll alles andere der Vernunft, dem Ideenreichtum und dem Gestaltungswillen seiner Staatsbürger überlassen.

Quellen:

[1] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) – 23.03.2021 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Mar_2021/2021-03-23-de.pdf?__blob=publicationFile

[2] Täglicher Lagebericht des RKI zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) – 26.01.2021 – AKTUALISIERTER STAND FÜR DEUTSCHLAND. RKI

https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Jan_2021/2021-01-26-de.pdf?__blob=publicationFile

[3] Corona-Infektionen (COVID-19) in Deutschland nach Altersgruppe und Geschlecht (Stand: 23. März 2021). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1103904/umfrage/corona-infektionen-covid-19-in-deutschland-nach-altersgruppe/#professional

[4] Todesfälle mit Coronavirus (COVID-19) in Deutschland nach Alter und Geschlecht (Stand: 23. März 2021). Statista

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1104173/umfrage/todesfaelle-aufgrund-des-coronavirus-in-deutschland-nach-geschlecht/

[5] Nach Krisengipfel: Virologe mit scharfer Corona-Kritik an Merkel und Söder – „Weit weg von Realität“

https://www.merkur.de/lokales/muenchen/lockdown-corona-bayern-virologe-corona-strategie-merkel-soeder-krise-gipfel-zr-90175293.html

[6] Corona-Lockdown bis Sommer? Just der Wirtschaftsminister schließt nichts aus

https://www.merkur.de/politik/coronavirus-lockdown-verlaengerung-peter-altmaier-deutschland-mutation-cdu-variante-sommer-90186104.html

[7] Scharfe Kritik an Corona-Politik und Experten – „Andere Sichtweisen offenbar unerwünscht“

https://www.merkur.de/politik/corona-deutschland-gipfel-merkel-laender-massnahmen-pandemie-kritik-experten-wissenschaftler-auswahl-90174423.html

[8] Das „Vorsorgeprinzip“ der Kanzlerin in der Pandemie ist einseitig

https://www.handelsblatt.com/meinung/kommentare/kommentar-das-vorsorgeprinzip-der-kanzlerin-in-der-pandemie-ist-einseitig-/26833548.html

[9] Angela Merkel: Unerwarteter Corona-Angriff! Leopoldina attestiert „politischen Missbrauch von Wissenschaft“ | Politik (merkur.de)

https://www.merkur.de/politik/coronavirus-merkel-soeder-wissenschaft-leopoldina-experte-lockdown-missbrauch-politik-90204364.html

[10] NACH DER AUSNAHME KOMMT DIE NORMALITÄT

[11] Das Coronavirus – So schnell breitet es sich aus. Aber wir können etwas tun!

[12] Das Coronavirus: Harmlos? Bedrohlich? Tödlich?

[13] Aktuelles zu Corona

[14] Die Corona-Pandemie: Alter ist der dominierende Risikofaktor

[15] CORONA-KRITIKER AUS DEM ETHIKRAT ENTLASSEN

Anhang:

Abbildung A-1: Infektionsgeschehen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen. Die Kurvenverläufe zeigen für verschiedene R-Werte die Anteile der Neuinfektionen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad. Beispiel: R-Wert = 5 (hellrote Kurve): Immunisierungsgrad = 0,7 (70 %), Neuinfizierte = 18 % der Gesamtbevölkerung; Immunisierungsgrad = 0,8 (80 %), Neuinfizierte = 1 % der Gesamtbevölkerung.

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung A-2: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 2,5 (blaue Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 925.000 innerhalb von 12 Wochen.

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen.

Abbildung A-3: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 100, Zeitraum = 12 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 3,5 (grüne Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 9,5 Mio. innerhalb von 12 Wochen.

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen.

Abbildung A-4: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 2, 2,5 und 3. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 2,5 (blaue Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 878.000 innerhalb von 24 Wochen.

Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen.

Abbildung A-5: Neuinfizierte in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad für R-Werte 3,5, 4 und 5. Bezugsgrößen: initiale 7-Tage-Inzidenz = 50, Zeitraum = 24 Wochen. Die Säulen zeigen jeweils die Anzahl der Neuinfektionen für die entsprechenden Wertekombinationen von Immunisierungsgrad und R-Wert. Beispiel: R-Wert = 3,5 (grüne Säulen), Immunisierungsgrad = 60 %, Neuinfizierte = 17,6 Mio. innerhalb von 24 Wochen.

Gesellschaft, Politik, Wirtschaft

Coronavirus – Schluss mit lustig!

2020-03-19 sumymus Schreibe einen Kommentar

Nach den neuesten Zahlen gibt es mittlerweile in Deutschland schon weit mehr als 10.000 Corona-Fälle. Im Artikel „Das Coronavirus – So schnell breitet es sich aus. Aber wir können etwas tun! (>LinkedIn 2020-03-18)“ wird ein Modell für die Ausbreitung des Coronavirus entwickelt und dargelegt, wie schnell die Anzahl der Infizierten schon in wenigen Wochen ansteigen wird, wenn wir nicht SOFORT wirksame Gegenmaßnahmen ergreifen.

Rigide Maßnahmen sind unabwendbar

Die gegenwärtig in allen Bundesländern verfügten Maßnahmen sind hilfreich. Es ist aber zu befürchten, dass sie nicht ausreichend sind, die Ausbreitung des Virus effektiv zu bekämpfen. Zudem ist es fraglich, ob der ausschließliche Fokus der Politik auf die Funktionsfähigkeit des Gesundheitssystems nicht zu eng gesetzt ist.

Wenn wir jetzt zu zögerlich sind, werden wir nur den Anstieg der Neuinfektionen weiter nach hinten verschieben und etwas flacher gestalten. Momentan scheint genau dies noch das – etwas fatalistisch anmutende – Ziel der verantwortlichen Politiker zu sein (s. z.B. https://www.welt.de/politik/deutschland/article206578991/Coronavirus-Spahn-Das-wird-eher-viele-Monate-so-gehen-als-viele-Wochen.html). Das reicht aber nicht! Es reicht vielleicht zum Überleben, es reicht aber nicht dafür, die Krise in all ihren Aspekten tatsächlich und nachhaltig wirksam zu überwinden.

Was bringen halbherzige Maßnahmen?

Mit einer moderaten Eindämmung der Anzahl der Neuinfektionen im Sinne einer Kurvenverflachung und Verschiebung des Peaks der Virusinfektionen in die weitere Zukunft wird es uns gelingen, die Funktionsfähigkeit des Gesundheitssystems aufrechtzuerhalten. Wir können so sicherstellen, dass die Anzahl der Corona-spezifischen Todesfälle niedrig bleibt. Das ist ein großartiges Ziel. Es ist aber nicht das Einzige, worum es geht und worum es gehen muss. Im oben zitierten Artikel „Das Coronavirus – So schnell breitet es sich aus. Aber wir können etwas tun! (>sumymus blog 2020-03-20)“ wird gezeigt, dass es bei Zweitinfektionsraten von maximal 1,2 bis 1,3 (d.h., 10 Erkrankte infizieren 12 bis 13 Gesunde) voraussichtlich viele Monate dauern wird (wahrscheinlich mehr als 12), den Peak bei der Anzahl der Neuinfektionen auf ein vom Gesundheitssystem beherrschbares Niveau abzusenken.

Es geht nicht nur um das Gesundheitssystem

Der Schaden eines solch langen Stillstands wäre immens. Die Wirtschaft würde dadurch schwer in Mitleidenschaft gezogen. Für alle wäre der Niedergang schon in wenigen Monaten spürbar. Und viele Existenzen wären ernstlich bedroht. So kann nur verfahren, wer sehenden Auges “Das Kinde mit dem Bade ausschütten“ will. Langfristig wäre das ein viel, viel größeres Unglück, als jetzt für einige Wochen auf billigen Spaß und Zerstreuung verzichten zu müssen. Ein bisschen Gegensteuern kann also nicht die Lösung sein.

Mit den gegenwärtig verfügten moderaten Maßnahmen sind vermutlich keine kleineren Zweitinfektionsraten als die genannten erreichbar. Das bedeutet: ein halbes, vielleicht ein ganzes Jahr mit merklichen und von vielen bereits als schmerzhaft empfundene Beeinträchtigungen des öffentlichen Lebens. Für nicht wenige existenzbedrohend. Und was erreicht man damit? – Die Aufrechterhaltung der Funktionsfähigkeit des Gesundheitssystems. Das kostet einen hohen Preis und greift dennoch zu kurz.

Klare Entscheidungen, vernünftiges und konsequentes Handeln

Die Politik muss jetzt wirklich drastische Maßnahmen ergreifen bis hin zu Ausgangssperren. Das gilt zumindest für die großen Städte. Wer immer noch nicht verstanden hat, dass die Lage ernst ist, der muss erforderlichenfalls mit Zwangsmaßnahmen zu einem sozialverträglichen Verhalten genötigt werden. Es sollte jedermann klar sein: Die Freiheit des einzelnen endet da, wo die Unversehrtheit und Freiheit aller ernsthaft gefährdet ist. Deshalb gilt: Vernünftige Menschen bleiben zuhause und reduzieren ihre sozialen Kontakte auf das absolut notwendige Mindestmaß. Wem diese Einsicht fehlt, dem muss man klare Anweisungen erteilen.

Das Ziel muss es sein, der Ausbreitung des Virus die Basis zu entziehen. Das geht nur durch entschlossenes und schnelles Handeln.

Mit halbherzigen Maßnahmen droht eine Hängepartie, ein viele Monate andauernder Stillstand in Wirtschaft und Gesellschaft mit unabsehbaren Konsequenzen.

Was wäre die Alternative?

Für den Fall, dass wir jetzt nicht wirksam handeln und es nicht gelingt, die Anzahl der Neuinfektionen dramatisch zu reduzieren, droht am Ende die Erkenntnis:

Operation Gesundheitswesen gelungen,
Patient Wirtschaft tot.

Das kann nicht das Ziel sein! Das darf nicht das Ziel sein! Es ist keine Option, die Krise auf viele Monate hinzuziehen. Deswegen müssen wir jetzt den beschwerlichen Weg einschlagen und kurzfristig schmerzhafte Beeinträchtigungen für jeden einzelnen hinnehmen. Die Alternative wäre ein wirtschaftlicher Zusammenbruch, wie man ihn nur aus Kriegszeiten kennt.

Lieber ein Ende mit Schrecken, als ein Schrecken ohne Ende

Nochmal: Vernünftige Menschen haben in den nächsten Wochen keine vermeidbaren (d.h., nicht lebensnotwendigen) persönlichen Kontakte außerhalb ihrer vier Wände. Alle anderen müssen bei Strafandrohung zuhause bleiben. So jedenfalls sollte die klare Ansage der verantwortlichen Politiker lauten.

Zusammenfassung

Wir haben drei Alternativen:

Alles laufen lassen, wie gehabt.
Haltung: Wird schon nicht so schlimm kommen.
Gesundheitssystem: Die Anzahl der Infizierten steigt bereits jetzt rasant und wird an noch Geschwindigkeit zulegen. Der Peak der Infektionszahlen wird schon in einigen Wochen erreicht. Millionen werden davon betroffen sein. Viele Infizierte haben nur mäßige Symptome, wie das auch bei den jährlichen Grippewellen der Fall ist. Personen mit Vorerkrankungen sind besonders von ernsten Verläufen betroffen. Schon in wenigen Wochen, spätestens 2 – 3 Monaten ist das Gesundheitssystem völlig überlastet, es gibt viele Tote.
Wirtschaft und Gesellschaft: Die Wirtschaft floriert zunächst munter weiter. Aber das dicke Ende kommt mit Sicherheit. Wahrscheinlich steuern wir auf eine massive Rezession zu. Dazu ernten wir eine gesellschaftliche und eine politische Krise.
Moderate Maßnahmen ergreifen (so wie wir das aktuell sehen).
Ziel: das Gesundheitssystem am Laufen halten.
Gesundheitssystem: Die Anzahl der Infizierten steigt zunächst noch ungebremst exponentiell. Nach wenigen Wochen wird sich der Anstieg etwas verlangsamen. Der Peak der Infektionszahlen wird erst nach vielen Monaten erreicht. Aufgrund der geringeren Neuinfektionszahlen pro Zeiteinheit im Vergleich zur Alternative 1 bleibt das Gesundheitssystem funktionsfähig. Es gibt nur wenige Tote.
Wirtschaft und Gesellschaft: Die Maßnahmen ziehen sich lange hin. Gesellschaft und Wirtschaft werden über viele Monate hinweg stark beeinträchtigt. Die Wirtschaft stagniert und bricht dann wahrscheinlich dramatisch ein. Es gibt viele Insolvenzen. Alle werden darunter leiden, am Ende sogar der Staat.
Drastische Maßnahmen ergreifen (inkl. Ausgangssperren).
Mehrere Ziele: das Gesundheitssystem am Laufen halten, der Ausbreitung des Virus den Boden entziehen. Wirtschaft und Gesellschaft so schnell wie möglich wieder in einen Normalmodus bringen.
Gesundheitssystem: Die Anzahl der Infizierten steigt jetzt noch schnell, wird aber nach Inkrafttreten der scharfen Maßnahmen bald an Dynamik verlieren. Der Peak der Neuinfektionen wird schon in wenigen Wochen erreicht. Wir reden dann wahrscheinlich von „nur“ einigen zehntausend Menschen. Insgesamt wird eine höchstens 6-stellige Anzahl von Personen betroffen sein. Das Gesundheitssystem bleibt funktionsfähig. Es gibt nur wenige Tote. Infizierte werden konsequent in Quarantäne genommen. Die Ausbreitung des Virus ist eingedämmt.
Gesellschaft und Wirtschaft kommen jetzt sofort zum fast vollständigen Stillstand. Aber: Schon in wenigen Wochen kann man schrittweise wieder in einen normal zu nennenden Modus mit nur leichten Einschränkungen zurückkehren. Die Wirtschaft erholt sich sehr schnell. Es gibt Beeinträchtigungen, sie sind aber zu verkraften. Der Kollaps wird abgewendet.

Etwas anderes als Alternative 3, kann doch wohl niemand ernsthaft in Erwägung ziehen.

Gesellschaft, Politik, Wirtschaft

Das Coronavirus – So schnell breitet es sich aus.

2020-03-18 sumymus 4 Kommentare

Aber wir können etwas dagegen tun!

Zusammenfassung

Es wird ein Modell für die Ausbreitung des Coronavirus entwickelt. Darauf fußend werden die resultierenden Zahlen der Infektionsverläufe prognostiziert (Diagramme) und die Sinnhaftigkeit der Maßnahmen abgeleitet.

Sofern wir die jetzt verfügten Maßnahmen umsetzen und uns alle daran halten, ist mit hoher Wahrscheinlichkeit sichergestellt, dass es nicht wieder zu einem exponentiellen Anstieg der Infektionszahlen und damit zu neuen Ausbreitungswellen kommt. In einer etwas moderateren Form ist das erforderlich bis zur Zulassung und allgemeinen Verfügbarkeit eines Impfstoffs. Erst danach können wir wieder in „alte Verhaltensmuster“ zurückfallen.

Entscheidend ist: Zunächst müssen wir die akut anstehenden drastischen Verhaltensregeln konsequent einhalten und die Einschränkungen geduldig hinnehmen. Dabei wird die Wirtschaft kurzfristig leiden, aber schon nach Überwindung des jetzt noch vor uns liegenden hohen Anstiegs an Neuinfektionen wird in 4 bis 6 Wochen ein durchaus normales Wirtschaftsleben mit einigen kleineren Einschränkungen wieder möglich sein. Die Alternative einer halbherzigen Umsetzung wäre ein dauerhaftes Stagnieren der Wirtschaft, weil immer wieder neue Ansteckungswellen drohen.

Hinweis für den eiligen Leser: Die Abschnitte „ABER: Wirtschaft und Gesellschaft ebenfalls im Auge behalten„, „Validierung der Lösungsstrategie“ und „Schluss und Ausblick“ weiter unten enthalten alles Wesentliche für die erfolgreiche Bewältigung im Hinblick auf die weitere Ausbreitung des Virus.

Einleitung

Am Corona-Virus kommt man in diesen Tagen nicht vorbei. Nahezu alle öffentlichen Veranstaltungen sind abgesagt. Sportstätten, Theater, Museen sind dicht, Fußballspiele finden nicht mehr statt. Clubs geschlossen, Kneipen und Restaurants im reduzierten Abstandsbetrieb. Konferenzen und Messen abgesagt. Mittlerweile sind auch die Grenzen geschlossen. Können wir so die weiter Ausbreitung der Epidemie stoppen oder zumindest den Verlauf und Anstieg der Neuinfektionen verlangsamen? Zumindest kann man diesen Maßnahmen, auch ohne Experte zu sein, die Vernünftigkeit nicht absprechen. Die Idee dahinter: Wenn die Menschen weniger in Kontakt zueinander treten, dann sollte doch zumindest das Ansteckungsrisiko für die Nichtinfizierten sinken. Das ist einleuchten!

Im Folgenden soll zunächst ein einfaches Modell für die Verbreitung des Virus entwickelt werden. Auf Basis des Modells können wir dann abschätzen, wie die Zahl der Infizierten weiter wachsen wird. Ferner können wir durch Variation der Modellparameter unterschiedliche Szenarien durchspielen und so die Verhaltensmaßregeln der Mediziner (Hygiene, soziale Kontakte, …) im Modell spiegeln. Wir gewinnen so Erkenntnisse über die mutmaßliche Wirksamkeit der Maßnahmen im Hinblick auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Corona-Epidemie und können auf dieser Basis unser eigenes Verhalten daraufhin abstimmen.

Ausgangsbasis für die Modellbildung

Die Inkubationszeit des „COVID-19“ genannten Virus beträgt zwischen 2 und 14 Tagen. Meist werden 7 – 14 Tage angegeben. Das Virus wird vornehmlich durch Tröpfcheninfektion übertragen. Diese kann von direkt von Mensch zu Mensch erfolgen, wenn Virus-haltige Tröpfchen an die Schleimhäute der Atemwege gelangen. Auch eine Übertragung durch Schmierinfektion über die Hände, die mit der Mund- oder Nasenschleimhaut sowie mit der Augenbindehaut in Kontakt gebracht werden, ist prinzipiell nicht ausgeschlossen, spielt aber vermutlich nur eine untergeordnete Rolle. Das Virus ist hoch ansteckend und kann schon innerhalb der Inkubationszeit auf andere übertragen werden. Oft ist es sogar so, dass ein Infizierter noch gar keine Beschwerden verspürt) (s. https://www.infektionsschutz.de/coronavirus-sars-cov-2.html).

Das Robert-Koch-Institut gibt für die Dauer der Infektiosität einen Zeitraum von bis zu 8 Tagen an. (https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Steckbrief.html#doc13776792bodyText5). Das ist die Zeitspanne, innerhalb derer Patienten, die mit COVID-19 infiziert sind und Symptome aufweisen, das Virus an andere übertragen können. Diese Zahl ist indes unsicher, sie beruht tatsächlich nur auf einer kleinen Studie mit 9 Patienten. Ebenfalls bekannt ist, dass auch Patienten ohne Symptome andere infizieren können, offenbar auch schon innerhalb der Inkubationszeit. Für die Modellbildung entscheidend ist weniger die genaue Größe der Infektiosität, als vielmehr die definitive zeitliche Begrenztheit. Wenn jeder Infizierte dauerhaft Überträger des Virus sein würde, wäre es unausweichlich, dass über kurz oder lang alle Menschen erkrankten. Völlig gleich, welche (realistischen) Schutzmaßnahmen man auch immer ergreifen würde.

Mathematisches Modell für die Beschreibung der Ausbreitung

Sei $N$ die Größe der Population. Der Wert $q$ steht für die Wahrscheinlichkeit, dass beim Kontakt mit einem Virusträger eine Übertragung stattfindet (was nach den obigen Ausführungen nur innerhalb der begrenzten Infektionszeit möglich ist). Ferner sei $k$ die durchschnittliche Anzahl der Kontaktpersonen und $k_{n}$ die durchschnittliche Anzahl der nicht infizierten Kontaktpersonen eines Erkrankten. Die Anzahl der Neuinfizierten im Intervall bezeichnen wir mit $a_{n}$. Die Gesamtanzahl aller bis zum Intervall $n$ bereits Erkrankten in der Population nennen wir $s_{n} $. Offensichtlich gilt $s_{n} = \sum_{i=0}^{n} a_{i} $.

Für die Anzahl der Neuinfizierten im Intervall $n+1$ erhalten wir nun:

\begin{equation} a_{n+1} = q \cdot k_{n} \cdot a_{n} \end{equation}

Wie kommen wir hierin zum Wert von $k_{n}$? Ganz einfach: Die Wahrscheinlich dafür, dass eine zufällig aus der Gesamtpopulation gewählte Kontaktperson noch nicht infiziert ist, können wir leicht bestimmen. Es ist der Quotient $\frac{N-s_{n}}{N} $. Demnach gilt

\begin{equation} k_{n} = \frac{N-s_{n}}{N} \cdot k \end{equation}

Zusammengefasst erhalten wir also

\begin{equation} a_{n+1} = q \cdot k \cdot \left (1 – \frac{s_{n}}{N} \right ) \cdot a_{n} \end{equation}

Oder ausgeschrieben

\begin{equation} a_{n+1} = q \cdot k \cdot \left (1 – \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right ) \cdot a_{n} \end{equation}

Damit sind wir mit der Modellformulierung bereits fertig.

Hinweis: Das Produkt aus Kontaktanzahl und Infektionswahrscheinlichkeit wird oft auch als Reproduktionsfaktor oder R-Wert bezeichnet.

Exemplarische Modellbetrachtung

Was ist ein vernünftiges Intervall in der Modellbeschreibung? Nach dem eingangs zur Inkubationszeit und zur Zeitdauer der Infektiosität Gesagten, erscheint es sinnvoll, als Intervall einen Zeitraum von etwa 7 Tagen zu wählen. Der Index $n$ steht daher für die fortlaufende Nummer einer Woche. Wir fragen also nach der Anzahl der Neuinfektionen in der $n$-ten Woche des Betrachtungszeitraums.

Das RKI (Robert-Koch Institut) gibt an, dass derzeit ein Erkrankter im Mittel 2,4 bis 3,3 weitere Personen infiziert. Im Modell können wir das folgendermaßen abbilden: Wir nehmen z.B. an, die durchschnittliche Anzahl $k$ der Kontaktpersonen eines Infizierten liege bei etwa 24 – 33 (pro Woche); gleichzeitig unterstellen wir ein Ansteckungsrisiko von $q$ pro Kontaktperson. Im Hinblick auf die Ausbreitung des Virus liefe es im Mittel auf dasselbe hinaus, wenn wir stattdessen von 2,4 bis 3,3 Kontaktpersonen bei einem Ansteckungsrisiko von 100% ausgehen würden oder 48 bis 66 Kontaktpersonen bei einem Ansteckungsrisiko von 5%. Entscheidend ist lediglich das Produkt aus beiden Modellparametern.

Dadurch wird das effektiv von einem Erkrankten ausgehende Risiko bei Einhaltung der Verhaltensregeln (Hygienemaßnahmen, möglichst weitgehende Kontaktreduzierung) beschrieben. Solange noch kein Impfstoff zur Verfügung steht, ist dies die einzige Stellgröße zur Verlangsamung des Anstiegs der Infektionszahlen. In Abb. 1 und 2 sind die gerechneten Verläufe der Neuinfektionen und der Gesamtfallzahlen für Zweitinfektionsraten von 3,3 bzw. 2,4 dargestellt.

Anwendung auf den Status quo

Nachfolgend sind zwei Diagramme dargestellt, die zeigen, wie sich die Infektionszahlen wahrscheinlich entwickeln, wenn man nichts tut.

Abb. 1: Verlauf der Infektionen bei $q = 10\%$, $k = 33$ (entsprechend 3,3 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 16. Woche mit ca. 37 Mio. ihr Maximum. Dann sind schon 60 Mio. Einwohner infiziert. Bereits nach 17 Wochen sind nahezu alle 83 Mio. Einwohner erkrankt.

Abb. 2: Verlauf der Infektionen bei $q = 10\%$, $k = 24$ entsprechend 2,4 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 22. Woche ihr Maximum mit ca. 23,5 Mio. Bis dahin sind bereits über 50 Mio. Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten bleibt nach der 24. Woche mit knapp 80 Mio. konstant. Am Ende werden nur etwa 3 Mio. verschont.

Die aus den aktuell vorherrschenden Zweitinfektionen (2,4 – 3,3) resultierenden Verläufe sind gewiss nicht beherrschbar. Bei 3,3 (s. Abb. 1) erhalten wir 37 Mio. Neuinfektionen bereits in der 16. Ausbreitungswoche. Sogar bei 2,4 (s. Abb. 2) sind es im Maximum immer noch fast 24 Mio. Neuinfektionen, wenn auch erst in der 22. Woche.

Einfache Modellanalyse

Mittels des Modells kann man leicht bestimmen, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit die Anzahl der Neuinfektionen ab einem bestimmten Zeitintervall nicht weiter wächst. Dies ist doch offensichtlich dann der Fall, wenn $\frac {a_{n+1}}{a_{n}} \le 1$ ist, wenn also gilt, $ q k \left (1 – \frac{s_{n}}{N} \right ) \le 1$. Demnach lautet die Bedingung

\begin{equation} \frac{s_{n}} {N} \ge 1 – \frac{1}{q k} \end{equation}

Erst dann also, wenn der relative Anteil der Infizierten an der Gesamtpopulation erstmals den Wert $1 – \frac{1}{q k}$ übersteigt, gehen die Neuinfektionen zurück. Diesen Zusammenhang kann man umgekehrt zur Bestimmung der Gesamtanzahl der Erkrankten bei diesem Wendepunkt nutzen. Im Falle der obigen Werte des RKI (2,4 bis 3,3) liegen die entsprechenden kumulierten Infektionszahlen im Wendepunkt bei $\frac{s_{N}}{N} = 58\%$ (das sind etwa 48 Mio. Menschen in Woche $n = 16$) bzw. $ \frac{s_{N}}{N} = 70\% $ (das sind etwa 58 Mio. Menschen in Woche $n = 22$). $n = 22$

Im Folgenden betrachten wir den Verlauf der Neuinfektionen bei Variation der Zweitinfektionsrate pro Erkranktem von 3 bis hinunter auf 1,1 (s. Abb. 3).

Abb. 3: Verlauf der Neuinfektionen bei Variation der Zweitinfektionsrate pro Erkranktem von 3 bis hinunter auf 1,1 (entsprechend $q = 10\%$, $k = 30, 25, 20,\cdots11$ oder jeder anderen Kombination von Ansteckungsrate $q$ und Anzahl der Kontaktpersonen $k$ mit dem gleichen Produkt $q \cdot k$). Die nicht dargestellten Maxima bei den Kurven für 3, 2,5, 2 und 1,9 Zweitinfektionen liegen bei 37 Mio., 24,5 Mio., 15,5 Mio. und 14 Mio. Neuinfektionen pro Intervall (Woche). Der Höchststand für 1,1 Zweitinfektionen (dunkelgrüne Kurve ganz rechts) liegt weit außerhalb des Betrachtungszeitraums etwa in der 149. Woche mit nur noch 365.000 Neuinfektionen und ist gleichfalls nicht dargestellt.

Wie man der Grafik (s. Abb. 3) entnimmt, verschiebt sich das Maximum der Anzahl der Neuinfektionen bei einer geringeren Anzahl von Zweitinfektionen schnell nach rechts. Man gewinnt durch die Reduktion der Zweitinfektionsrate also auf jeden Fall Zeit, die Leben retten kann. Diese Zeit kann man nutzen, um z.B. einen Impfstoff zu finden und einsatzreif zu machen. Fast noch wichtiger in diesem Zusammenhang: Die Überlastung des Gesundheitssystems wird vermieden, wenn bestimmte Grenzen von Neuinfektionen pro Woche unterschritten werden.

Im Gesundheitssystem handlungsfähig bleiben

In Deutschland verfügen wir über ca. 20.000 Intensivstationen. Wenn wir annehmen, dass die schweren Krankheitsverläufe in etwa 1% der Fälle vorkommen, wären wir folglich in der Lage, im Extremfall bis zu 2 Mio. (= 20.000/0,01) Neuinfektionen pro Woche zu beherrschen. Das entspricht einer Zweitinfektionsrate von 1,2 – 1,3 (s. die beiden entsprechend betitelten grünen Kurven in Abb. 3). Noch besser wäre es freilich indessen, die Anzahl der Zweitinfektionen auf 1,1 zu bringen (dunkelgrüne Kurve ganz rechts in Abb. 3; ihr Maximum ist nicht mehr dargestellt und liegt etwa in der 149. Woche mit nur noch 365.000 Neuinfektionen; s. a. Abb. 10 im Anhang).

Ohne Impfstoff müssen wir die Zweitinfektionen unterhalb von 1,3 halten, andernfalls lässt sich die Überlastung des Gesundheitssystems mit der Konsequenz vieler Todesfälle kaum vermeiden. Wenn das nicht gelingt, werden wir schon bei noch moderaten 1,5 bzw. 1,4 Zweitinfektionen im Maximum 6 Mio. bzw. 4,2 Mio. Neuinfektionen pro Woche sehen. Dies wird dann allerdings erst in der 43. bzw. der 50. Woche auftreten, so dass man immerhin hoffen kann, dass bis dahin ein Impfstoff verfügbar sein wird (s. a. Abb. 8). Mit 1,2 Zweitinfektionen würden wir die Neuinfektionen pro Woche unter dem Maximalwert von 1,3 Mio. halten können, wobei dieser Höchstwert sogar erst in 84. Woche auftreten würde.

ABER: Wirtschaft und Gesellschaft ebenfalls im Auge behalten

Ist das also die Lösung? Wohl kaum! Richtig ist: Aufgrund der Kurvenverflachung wäre die Corona-Krise für Zweitinfektionsraten von maximal 1,2 bis 1,3 am Ende vom Gesundheitssystem zu bewältigen. Das hieße aber auch, die Wirtschaft über 9 bis 12 Monate oder vielleicht sogar noch weit darüber hinaus auf Sparflamme zu fahren. Wir würden zwar überleben, aber zu welchem Preis? Letztlich ist es also keine sinnvolle Lösung, den Peak der Neuinfektionen einfach nur in die Zukunft zu schieben, wie das in den Medien und Talkrunden gerne dargestellt wird. Endscheidend ist dies: Wir müssen es schaffen, die Zweitinfektionen auf einen Wert von 1 oder darunter zu bringen. Nur so können wir Neuinfektionen aus der Phase des exponentiellen Wachstums herausbringen und die Krise letztlich für das Gesundheitssystem, die Wirtschaft UND die Gesellschaft insgesamt konstruktiv gestalten.

Dafür ist es unbedingt erforderlich, jetzt sofort und mit aller Macht wirksame Maßnahmen zu ergreifen. Die Maßnahmen sind z. T. schon in Kraft gesetzt, sie müssen aber auch von allen konsequent eingehalten und nötigenfalls gar verschärft werden. Bei Erfolg werden wir schon binnen 4 bis 6 Wochen Licht am Ende des Tunnels sehen und können sukzessive zur Normalität zurückkehren.

Validierung der Lösungsstrategie

Mittels des Modells können wir diese Strategie leicht überprüfen. Derzeit befinden wir uns noch in der Phase exponentiellen Wachstums mit $q \cdot k = 2.4 \cdots 3.3$ Zweitinfektionen und rechnen daher mit um die entsprechenden Faktoren 2,4x bis 3,3x vervielfachten Neuinfektionen von Woche zu Woche. Wir müssen dafür sorgen, dass das Produkt $q \cdot k $ relativ schnell $< 1$ wird.

Das erste Auftreten des Corona-Virus in Deutschalnd liegt etwa 8 Wochen zurück. Im bisherigen Verlauf hat sich das Virus mit etwa 3,3 Zweitinfektionen ausgebreitet (wir gehen in der Modellrechnung von diesem pessimistischen Wert aus). Nun unterstellen wir, dass es gelingt, mit den angekündigten und ggf. noch zu verschärfenden Maßnahmen diesen Wert nach Woche 10 auf 0,9 zu drücken (im Modell also $q \cdot k = 0.9$). Abb. 4 zeigt den resultierenden Verlauf der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Infizierten über die Zeit.

Ziel 1: 0,9 Zweitinfektionen – nicht hinreichend

Abb. 4: Verlauf der Infektionen bei $q =10\%$, $k = 33$ bis Woche 10 und $q = 10\%$, $k =9$ ab Woche 11 (entsprechend 0,9 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Es dauert ein Jahr, bis die Krise komplett überstanden ist.

Der Verlauf nach Abb. 4 zeigt, wie es prinzipiell gehen kann. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 10. Woche ihr Maximum mit ca. 46.000. Danach gibt es von Woche zu Woche etwa 10% weniger Neuinfektionen. Zum Zeitpunkt des Höchststands sind bereits knapp 70.000 Personen Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten bleibt nach der 52. Woche mit knapp 470.000 konstant. Die Dauer der Krise ist mit einem vollen Jahr aber dennoch entschieden zu lang.

Ziel 2: Dauerhaft 0,5 Zweitinfektionen – zu optimistisch

Betrachten wir ein zweites Beispiel. Wieder mit den pessimistischen 3,3 Zweitinfektionen im anfänglichen Verlauf bis zur 10. Woche. Ab Woche 10 gehen wir nun von nur noch 0,5 Zweitinfektionen aus (im Modell also $q \cdot k = 0.5$). Abb. 5 zeigt den resultierenden Verlauf.

Abb. 5: Verlauf der Infektionen bei $q =10\%$, $k = 33$ bis Woche 10 und $q = 10\%$, $k = 5$ ab Woche 11 (entsprechend 0,5 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Bereits 6 Wochen (ab Woche 16) nach Inkrafttreten der wirksamen Maßnahmen ist die Krise im Wesentlichen überstanden.

Wie im vorigen Fall erreicht auch hier die Anzahl der Neuinfektionen in der 10. Woche ihr Maximum mit ca. 46.000. Danach sinkt die Anzahl der Neuinfektionen rapide (von Woche zu Woche etwa 50% weniger Neuinfektionen). Zum Zeitpunkt des Höchststands sind wieder etwa 70.000 Personen erkrankt. Die Gesamtanzahl der Infizierten bleibt nun aber schon spätestens ab der 16. Woche nach Ausbruch der Krise und nur 6 Wochen nach Verfügen der wirksamen Maßnahmen konstant unter 120.000. Die Krise kann derart im Wesentlichen innerhalb eines Quartals entschärft werden: Für das Gesundheitssystem, die Wirtschaft UND die Gesellschaft.

Ziel 3: 0,5 Zweitinfektionen / 1 Zweitinfektion

Auch für den Fall, dass es nicht gelingt, die Zweitinfektionen dauerhaft auf 0,5 zu halten und der Wert nach Aufheben der rigiden Maßnahmen z.B. ab der 20 Woche wieder auf etwa 1 steigt, darf die Krise i. W. als überwunden gelten. Die Anzahl der Neuinfektionen pro Woche kann nach aller Voraussicht auch mit dem höheren Zweitinfektionswert noch unter 100 oder zumindest im niedrigen 3-stelligen Bereich gehalten werden. Das ist ohne weiteres beherrschbar. Die entsprechende Kurve ist in Abb. 6 dargestellt, unterscheidet sich insgesamt aber kaum von der Darstellung in Abb. 5.

Abb. 6: Verlauf der Infektionen mit $q = 10\%$, $k = 33$ bis Woche 10 und $q =10\%$, $k = 5$ ab Woche 11 (entsprechend 0,5 Zweitinfektionen pro Erkranktem) sowie $q = 10\%$, $k = 10$ ab Woche 20 (entsprechend 1 Zweitinfektion pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen halbiert sich nach Woche 10 im Wochenrhythmus bis zur 20. Woche. Danach bleibt die Rate in etwa konstant bei bis zu einigen 100 oder darunter. Der genaue Wert hängt davon ab, wie lange und konsequent die rigiden Maßnahmen beibehalten werden. Und auch davon, wie die Zweitinfektionen pro Erkranktem in der Phase danach tatsächlich liegen. Auf jeden Fall müssen sie $\le 1$ bleiben. Der Gesamtverlauf ist im Wesentlichen derselbe wie im Falle von Abb. 5 (man beachte die unterschiedliche Skalierung der rechten Achse).

Schluss und Ausblick

Die unbedingte Voraussetzung für das Gelingen ist:

Die Zweitinfektionsrate (im Modell das Produkt $q \cdot k$) muss dauerhaft auf Werte $\le 1$ gedrückt werden. Dazu müssen entweder die Kontaktzahlen auf niedrigerem Niveau als bisher allgemein üblich gehalten und/oder das individuelle Ansteckungsrisiko durch dauerhaft hohe Hygienestandards („sozialverträgliches“ Husten, häufiges Händewaschen, auf Händeschütteln verzichten etc.) deutlich reduziert werden.

Sofern wir das entsprechend umsetzen und uns alle daran halten, ist sichergestellt, dass es nicht wieder zu einem exponentiellen Anstieg der Infektionszahlen und damit zu neuen Ausbreitungswellen kommt. Das ist erforderlich bis zur Zulassung und allgemeinen Verfügbarkeit eines Impfstoffs. Erst danach können wir wieder in „alte Verhaltensmuster“ zurückfallen. Wobei die Einhaltung höherer Hygienestandards auch nach der Überwindung der Krise nicht von Nachteil sein wird.

Entscheidend ist: Zunächst müssen wir die akut anstehenden drastischen Verhaltensregeln konsequent einhalten und die Einschränkungen geduldig hinnehmen. Dabei wird die Wirtschaft kurzfristig leiden, aber schon nach Überwindung des jetzt noch vor uns liegenden hohen Anstiegs an Neuinfektionen wird in 4 bis 6 Wochen ein durchaus normales Wirtschaftsleben mit einigen kleineren Einschränkungen wieder möglich sein. Die Alternative einer halbherzigen Umsetzung wäre ein dauerhaftes Stagnieren der Wirtschaft, weil immer wieder neue Ansteckungswellen drohen.

Anhang

Im Folgenden sind die Verläufe der Neuinfektionen und der Gesamtanzahl der Infizierten bei Zweitinfektionsraten von 2, 1,5, 1,2, und 1,1 dargestellt. Solche Verläufe sind kritisch und weisen auch bei kleinen Zweitinfektionsraten $> 1$ einen exponentiellen Anstieg der Infektionszahlen auf. Werte von 1,1 oder 1,2 können allenfalls dabei helfen, Zeit zu gewinnen bis zur Zulassung eines Impfstoffs. Richtig ist dabei: Der Peak der Neuinfektionen wird weit in die Zukunft hinausgeschoben und abgeflacht (1 – 3 Jahre). Das hilft indes nur dem Gesundheitssystem, würde aber trotzdem erhebliche wirtschaftliche und soziale Einschränkungen nach sich ziehen. Bei längerer Dauer von nur halbherzigen Maßnahmen ist zu befürchten, dass bis dahin die Wirtschaft einen totalen Zusammenbruch erleidet. Deswegen führt an den oben skizzierten drastischen Maßnahmen kein Weg vorbei. Alles andere wäre wirtschaftlicher Selbstmord.

2 Zweitinfektionen

Abb. 7: Verlauf der Infektionen bei $q = 10\%$, $k = 20$ (entsprechend 2 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 26. Woche ihr Maximum mit ca. 15,5 Mio. Zu diesem Zeitpunkt sind bereits 42 Mio. Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten bleibt nach der 32. Woche mit knapp 72 Mio. konstant. Am Ende bleiben nur 11 Mio. verschont.

1,5 Zweitinfektionen

Abb. 8: Verlauf der Infektionen bei $q = 10\%$, $k = 15$ (entsprechend 1,5 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 22. Woche ihren Höchststand mit ca. 6 Mio. Dann sind bereits 28 Mio. Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten bleibt nach der 52. Woche mit ca. 51 Mio. konstant (61,5% der Bevölkerung). Am Ende bleiben 32 Mio. Einwohner verschont.

1,2 Zweitinfektionen

Abb. 9: Verlauf der Infektionen bei $q = 10\%$, $k = 12$ (entsprechend 1,2 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 85. Woche ihr Maximum mit ca. 1,3 Mio. Bis dahin haben sich insgesamt ca. 14 Mio. Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten ändert sich nach zwei Jahren (ab der 104. Woche) kaum noch und verharrt bei ca. 27 Mio. (33% der Bevölkerung). Am Ende bleiben in diesem Fall 56 Mio. Einwohner verschont.

1,1 Zweitinfektionen

Abb. 10: Verlauf der Infektionen bei $q = 10\%$, $k = 11$ (entsprechend 1,1 Zweitinfektionen pro Erkranktem). Gesamtanzahl der Infizierten (blau) auf der linken Achse, Neuinfektionen (rot) auf der rechten Achse. Die Anzahl der Neuinfektionen erreicht in der 149. Woche ihren Höchststand mit ca. 365.000. Bis dahin haben sich insgesamt ca. 7,5 Mio. Einwohner infiziert. Die Gesamtanzahl der Infizierten ändert sich nach 4 Jahren (ab der 200. Woche) kaum noch und verharrt bei ca. 15 Mio. (18% der Bevölkerung). Am Ende bleiben in diesem Fall 68 Mio. Einwohner verschont.

Politik, Sonstiges, Wirtschaft

Bin in einem Meeting!

2016-04-01 sumymus Schreibe einen Kommentar

Was hat ein neues «Virus» mit der Arbeitsproduktivität und der
Finanzierung der Flüchtlingskrise zu tun?

(fpa) München. Wie aus ungewöhnlich gut unterrichteten Kreisen verlautet, kommt das renommierte Institut für unvergleichliche Sozial- und Wirtschaftsforschung (IfuS) in einer zusammen mit dem Robert-Hunger-Institut (Berlin) erstellten, derzeit noch geheim gehaltenen Studie zu besorgniserregenden Erkenntnissen über die Ausbreitung eines gefährlichen Virus völlig neuen Typus. Bislang konnte das Virus noch nicht isoliert werden, man weiß aber bereits, dass es direkt auf bestimmte Gehirnregionen wirkt und offenbar die Wahrnehmung und Intelligenzleistung der Betroffenen beeinflusst. Möglicherweise, so die Studie, könne das Virus «gar eine Persönlichkeitsveränderung auslösen». Zur Inkubationszeit gibt es noch keine Erkenntnisse.

Die Forscher vertreten in ihren brisanten Untersuchungen die Ansicht, das Virus sei «immateriell» und stecke, wie es unser Informant doppeldeutig ausdrückte, «nur in den Köpfen» der Infizierten. Auf welche Weise es dem Virus dennoch gelingt, messbare Veränderungen zu induzieren bleibt im Einzelnen noch unklar. Die entscheidende Rolle bei der Ansteckung spielt offenbar eine Art neuronaler Reizüberflutung, ausgelöst durch einen lange andauernden Informationsstrom hoher Dichte (information overload) wie er z. B. bei häufigen Besprechungen oder längerem Internetsurfen nicht eben selten vorkommt. Die permanente «Informationsüberreizung» führt über kurz oder lang zu einer Reduzierung der Synapsenempfindlichkeit. Aufgrund dieses Abstumpfungsprozesses gelangen dezidierte Informationen erst nach mehrmaliger Wiederholung oder in ungebührlicher Deutlichkeit formuliert über die synaptische Reizschwelle. Dabei werden, wie die Forscher ferner feststellten, ungewöhnlich große Mengen an Endorphinen freigesetzt, bekanntlich die «Glücksdroge» unseres Gehirns. In einem fortgeschrittenen Stadium stellt sich daher eine Abhängigkeit der Betroffenen ein, verbunden mit dem unstillbaren Drang nach immer mehr Information. Dies geht – und dies ist das eigentlich Gefährliche – einher mit einer Lähmung der Aktionsfähigkeit von hoher Signifikanz.

Voll entwickelt zeigt sich nach Meinung der Forscher das typische Bild einer Abhängigkeit. So geht den Betroffenen z.B. die Einsichtsfähigkeit in die eigene Malaise völlig ab. Sie lechzen förmlich nach Information ohne jedoch das Erfahrene adäquat verarbeiten und in Handlungen umsetzen zu können. Absolut neu und unerwartet ist der virale Auslösungsfaktor. Es handelt sich offenbar um den ersten Fall eines reinen «Brainware»-Virus (BW-V.), nicht unähnlich den von Computersystemen her bekannten und teilweise gut erforschten Softwareviren. Wie in der Studie ferner ausgeführt wird, manifestiert sich die von den Forschern «Unknown Information Deficiency Syndrome» (UIDS) getaufte Erkrankung nach außen hin in zwei Hauptformen: im privaten Umfeld vorwiegend als Isolation und scheinbare Erstarrung vor dem heimischen Computer, dem Tablet oder dem Smartphone(«Iso-Monotonismus»), im beruflichen Umfeld dagegen zeigen die Betroffenen einen übersteigerten Hang zur Teilnahme an weitgehend nutzlosen Besprechungen («Meetingismus», in der schlimmeren Form «Hyper-Meetingismus»). Nicht zu verwechseln übrigens mit der gleichfalls ansteckenden, üblicherweise aber harmlos verlaufenden «Meetingitis». Indessen weisen die Forscher darauf hin, dass eine nicht behandelte Meetingitis in Einzelfällen zum Meetingismus ausarten kann.

Wie in der Studie ferner ausgeführt wird, leidet heute schon jeder zweite Angestellte an Meetingismus. Die Dunkelziffer ist hoch. Insbesondere in den großen Firmen und internationalen Konzernen grassiert offenbar das Virus. Subjektiv fühlen sich die Betroffenen immer unterinformiert und schieben daher die anstehenden Arbeiten auf bis zum nächsten Informationszufluss (das nächste Meeting), nur um dann wieder Defizite zu erkennen und erneut abzuwarten. Weiter und weiter dreht sich die Spirale. Für eigenes Nachdenken und Problemlösen ist einerseits immer weniger Zeit, andererseits wird es zunehmend als unerwünscht erfahren, weil in diesem Prozess das unmittelbare Gruppenkorrektiv fehlt.

Nach Schätzungen von IfuS gehen der Wirtschaft jährlich zweistellige Milliardenbeträge durch ineffektive und überflüssige Besprechungen verloren. In vorab informierten Wirtschaftskreisen befürchtet man, dass in manchen Branchen bereits mehr als 100% (!) aller Beschäftigten im nicht-produktiven Bereich infiziert sein könnten. Das Problem hierbei, wenn alle infiziert sind, fällt die Diagnose umso schwerer und wird die Heilung fast unmöglich, denn: resistent sind nur wenige. «Hier tickt möglicherweise eine Zeitbombe mit unabsehbaren Konsequenzen für die Wirtschaft», meinte der dazu von uns vertraulich befragte Pressesprecher des VDU, Dr. Rainer B. Lötzinn, unter Hinweis auf die noch ungeklärte Frage zur Inkubationszeit in aller Deutlichkeit. Und weiter: «Wir benötigen dringend ein effektives Behandlungsverfahren, der Standort ist in ernster Gefahr. Die Politik muss hier Sofortmaßnahmen ergreifen und gegensteuern».

Offenkundig fällt dieser Appell bei Regierungspolitikern durchaus auf fruchtbaren Boden. Ob im Sinne der Wirtschaft, darf indes bezweifelt werden. Zwar wollte sich niemand offen dazu äußern, doch hat der Bundesfinanzminister wohl schon entsprechende Pläne zu einer möglichen Besteuerung von Besprechungen in der Schublade. Ein ungenannt bleiben wollender hoher Beamter deutete an, man denke an eine zehnprozentige Erhebung auf die zeitanteiligen Bruttobesprechungsgesamtkosten pro Besprechungsteilnehmer, das könne damit sehr einfach und mit nur geringem Verwaltungsaufwand geregelt werden. Gemeinnützige Organisationen sollen nur mit einem Satz von 2,83% belastet werden (Anmerkung der Redaktion: Dieser eigenartig anmutende Wert ist das Ergebnis eines zwischen dem Finanzministerium und den Dachverbänden im Stillen verhandelten Kompromisses). Die öffentliche Verwaltung soll nach diesen Plänen von der Erhebung freigestellt werden. Die Steuer wäre jeweils zur Hälfte von den Arbeitgebern und den Arbeitnehmern zu entrichten, um die Wirtschaft nicht einseitig zu belasten. Bezugsgröße solle aber nur das reguläre Monatsgehalt der Besprechungsteilnehmer sein, also ausschließlich eventueller Gratifikationen. Denn man wolle gerade die Leistungsträger nicht über Gebühr belasten und andererseits auch die Nachfrage nicht dämpfen.

Die Erfassung der Vielzahl kleinerer Besprechungen macht derweil noch Probleme. Man könne sich hier auch eine pauschale Abgeltung vorstellen, heißt es dazu. Im Übrigen müsse diese «Ökonomie-Steuer» (neudeutsch abgekürzt Eco-Steuer [engl. «Economy»] in Abgrenzung zur Öko-Steuer) von den Unternehmen als positives Lenkungsinstrument verstanden und eingesetzt werden, da die Personalproduktivität bei entsprechender Verringerung der Besprechungshäufigkeit überproportional steige. Im Gegenzug wäre es dabei denkbar, die aus dieser Produktivitätssteigerung erzielten Gewinne mittelfristig geringer zu besteuern und so weiteres investives Kapital den Unternehmen zu belassen. Als Nebeneffekt trüge dies zu einer Verstetigung der Steuereinnahmen bei. Insgesamt werde damit die Wettbewerbsfähigkeit der deutschen Wirtschaft nachhaltig gestärkt und das Steueraufkommen langfristig auf einem erhöhten Niveau stabilisiert, wörtlich, «ein Selbstläufer».

Wie weiter aus Kreisen des Finanzministeriums verlautete, können mit den erwarteten Steuermehreinnahmen die durch die Flüchtlingskrise auf uns zukommenden Ausgabensteigerungen ohne Neuverschuldung voll finanziert werden. «Diesbezüglich ist die Kuh ist vom Eis, wir wirtschaften weiter mit schwarzen Zahlen», meinte der Beamte. Warnende Stimmen kommen unterdessen von den Grünen und den Linken: «Öffentliche Verwaltung und Politik dürfen von der Eco-Steuer nicht freigestellt werden, das ist dem Bürger nicht vermittelbar». Unabhängig davon kündigte der Bund der Steuerzahler bereits vorsorglich Verfassungsbeschwerde an, «falls der Fiskus sich hier einmal mehr schamlos beim Bürger und der Wirtschaft bedienen sollte».

Mittlerweile wächst auch in der Koalition die Erkenntnis, dass die Freistellung der öffentlichen Verwaltung den erwarteten Effekt drastisch reduzieren oder gar ins Negative verkehren könnte. Als Kompromisslösung denkt man daher an einen reduzierten Steuersatz von 3,5% für Kommunen und 4,75% für Landes- und Bundesbehörden. Eine Sonderregelung haben sich jedenfalls die Fraktionen des Bundestages ausbedungen: Fraktionssitzungen und Beratungen der parlamentarischen Ausschüsse sollen grundsätzlich von der neuen Steuer befreit sein. Kritische Stimmen, nachdem dies in der Gesamtschau dann doch zu einigen Sonder- und Ausnahmeregelungen führe, kontern die finanzpolitischen Sprecher der Parteien mit dem Hinweis auf die im Grundsatz geltende 10%-Regel, alles andere müsse ohnehin im Zuge der Durchführungsbestimmungen detailliert werden. Eine Arbeitsgruppe von Spezialisten der Fraktionen sei bereits damit beauftragt, die weiteren Einzelheiten auszuarbeiten. Das Regelwerk werde den angestrebten Umfang von maximal 200 Druckseiten DIN A 4 allenfalls leicht überschreiten. Dabei hat man sich das Ziel gesetzt, nicht mehr als 67 Ausnahmeregelungen zuzulassen. Warum gerade 67? Ganz einfach: 4 Ausnahmen pro Bundesland, das macht zunächst einmal 64. Für die Länder über 10 Mio. Einwohner (NRW, Bayern, Baden-Württemberg) darf es eine Ausnahme mehr geben, so kommt man auf 67.

Unklar bleibt bei alledem, inwieweit diese Maßnahmen tatsächlich geeignet sind, den weit verbreiteten Meetingismus einzudämmen. Die Wissenschaftler vom Robert-Hunger-Institut sind da sehr skeptisch und kritisieren, dass auf diese Weise letztlich nur an den Symptomen herumgedoktert werde. Die außerberufliche Spielart des Virus dürfe in ihrer Gefährlichkeit nicht unterschätzt werden. Ein Heilung sei auf dieser Basis überhaupt nicht möglich, und weiter der bitterböse Kommentar, «unverhohlen gar nicht gewünscht». Augenscheinlich verkenne man in der Politik auch die epidemiologische Komponente des Problems. Man wisse einfach noch zu wenig über das Virus, ein wirksames Gegenmittel, z.B. ein Impfstoff, sei daher noch in weiter Ferne. Es bedürfe weiterer Studien und vieler Besprechungen. Zusammen mit den Kollegen vom IfuS fordern sie daher ein groß angelegtes Forschungsprogramm und die Gründung eines Arbeitskreises «Meetingismus» mit mindestens wöchentlichen Sitzungen zum Zwecke des Informationsaustausches. Gleichzeitig regen sie ein Internetforum zum Thema an. Meetingismus und Iso-Monotonismus seien nur zwei Erscheinungsformen der gleichen Erkrankung, es müsse daher auch den privat Betroffenen aus dem vertrauten heimischen Umfeld heraus Gelegenheit zur Information gegeben werden. Im weiteren könne man auch an Selbsthilfegruppen und -foren denken. Anonymität sei dabei nicht nötig, da ohnehin fast jeder direkt oder indirekt in Mitleidenschaft gezogen ist. Einen passenden Namensvorschlag haben die Wissenschaftler ebenfalls parat: «Bekannte Meetingismus-Monotonismus Watchers», kurz BMMW (Anmerkung der Redaktion: die Namensähnlichkeit mit einem global agierenden Automobilhersteller besteht rein zufällig).

Ist die Pandemie nach der Impfkampagne beendet?

Wie breitet sich das Virus aus?

Bestimmung der Herdenimmunität

Exemplarische Entwicklung der Infektionszahlen

Was passiert mit den Infektionszahlen bei einer Erhöhung des R-Wertes?

Abschätzung zur Anzahl der Neuinfektionen bei einer Erhöhung des R-Wertes

Bestimmung des effektiven R-Wertes

Analyse des Infektionsgeschehens in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad

Der Einfluss des Reproduktionsfaktors

Infektionsgeschehen bei Immunisierungsgraden in der Nähe der Herdenimmunität

Sensitivitätsanalyse

Absolute Infektionszahlen in Abhängigkeit vom Immunisierungsgrad

Zusammenspiel von R-Wert und Immunisierungsgrad

Realistische Zielsetzung

Restrisiko

Erhöhtes Risiko, sofern die Impfstoffe nicht zu 100 % wirken

Folgerungen

Resümee

Quellen:

Anhang:

Rigide Maßnahmen sind unabwendbar

Was bringen halbherzige Maßnahmen?

Es geht nicht nur um das Gesundheitssystem

Klare Entscheidungen, vernünftiges und konsequentes Handeln

Was wäre die Alternative?

Lieber ein Ende mit Schrecken, als ein Schrecken ohne Ende

Zusammenfassung

Aber wir können etwas dagegen tun!

Zusammenfassung

Einleitung

Ausgangsbasis für die Modellbildung

Mathematisches Modell für die Beschreibung der Ausbreitung

Exemplarische Modellbetrachtung

Anwendung auf den Status quo

Einfache Modellanalyse

Im Gesundheitssystem handlungsfähig bleiben

ABER: Wirtschaft und Gesellschaft ebenfalls im Auge behalten

Validierung der Lösungsstrategie

Ziel 1: 0,9 Zweitinfektionen – nicht hinreichend

Ziel 2: Dauerhaft 0,5 Zweitinfektionen – zu optimistisch

Ziel 3: 0,5 Zweitinfektionen / 1 Zweitinfektion

Schluss und Ausblick

Anhang

2 Zweitinfektionen

1,5 Zweitinfektionen

1,2 Zweitinfektionen

1,1 Zweitinfektionen

Was hat ein neues «Virus» mit der Arbeitsproduktivität und der Finanzierung der Flüchtlingskrise zu tun?

Was hat ein neues «Virus» mit der Arbeitsproduktivität und der
Finanzierung der Flüchtlingskrise zu tun?