Einführung

Im Beitrag wird die Frage beleuchtet, inwieweit auf der Basis von Windkraft eine velässliche Versorgung mit Strom hergestellt werden kann. Wir konzentrieren uns dabei auf das grundsätzliche Potentail in der Erzeugung von Windstrom und blenden die praktisch bestehenden Limitierungen (minimale Windgeschwindigkeit unterhalb derer kein Strom produziert wird, begrenzter Erntefaktor aufgrund physikalischer Rahmenbedingungen, Abschaltung von Windrädern bei zu starkem Wind) aus.

Zunächst zusammenfassend die verwendeten Begriffe und Definitionen:

\begin{align} v_W &= \text{Windgeschwindigkeit} \\ \notag
v_{Wind} &= \text{Zufallsvariable Windgeschwindigkeit} \\ \notag
\overline{v_W} &= \text{Mittlere Windgeschwindigkeit} \\ \notag
v_N &= \text{Nenn-Windgeschwindigkeit} \\ \notag
P_W &= \text{Stromleistung aus Wind} \\ \notag
P_{Wind} &= \text{Zufallsvariable Stromleistung aus Wind} \\ \notag
\overline{P_W} &= \text{Mittlere Windleistung} \\ \notag
P_N &= \text{Nenn-Windleistung} \\ \notag
V &= \text{Versorgungsgrad} \\ \notag
&= \text{Stromangebot in Bezug auf den Strombedarf} \\ \notag
VR &= \text{Versorgungsrisiko } \\ \notag
&= \text{Wahrscheinlichkeit} \, P(V \lt 1) \\ \notag
VS &= \text{Versorgungssicherheit } \\ \notag
&= \text{Wahrscheinlichkeit} \, P(V \ge 1) \\ \notag
\end{align}

Die Verteilung der Windgeschwindigkeit

Der Wind gehorcht der Weibullverteilung mit den Parametern \(\lambda\) und \(\alpha\). Der letztgenannte Wert heißt Formfaktor. Für die vorherrschenden Windverhältnisse in Mitteleuropa kann man den Formfaktor \(\alpha = 2\) ansetzen. In Süddeutschland liegt der Wert etwas darunter, an der Küste etwas darüber bei bis zu \(\alpha =2.5 \).

\begin{align} P(v_{Wind} \lt v_W) = 1-e^{-\left(\dfrac{v_W}{\lambda}\right)^{\LARGE\alpha}} \end{align}

Die Formel gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die tatsächliche Windgeschwindigkeit \(v_{Wind}\) zu einem willkürlich gesetzten Zeitpunkt \(t\) kleiner als die definierte Geschwindigkeit \(v_W\) ist.

In Abb. 1 sind typische Graphen für die Verteilung der Windgeschwindigkeit bei unterschiedlichen Formfaktoren dargestellt.

Abbildung 1: Verteilung der Windgeschwindigkeit bei unterschiedlichen Formfaktoren \(\alpha = 1.5 \cdots 2 \cdots 2.5\).

Bei gegebenen Parametern bestimmt sich die mittlere Windgeschwindigkeit zu

\begin{align} \overline{v_W} = E(v_{Wind}) = \lambda \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{\alpha}\right) \end{align}

Somit kann man bei bekanner mittlerer Windgeschwindigkeit umgekehrt auch den Parameter \(\lambda\) errechnen.

\begin{align} \lambda = \frac{\overline{v_W}}{\Gamma\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)} \end{align}

Die Verteilung der Windleistung

Für ein ideales Windrad ergibt sich die resultierende Windstromleistung \(P_W\) aus der Nennleistung \(P_N\) und der Nenn-Windgeschwindigkeit \(v_N\) gemäß

\begin{align} P_W = P_N \cdot \left(\frac{v_W}{v_N} \right)^3 \end{align}

Demnach lässt sich aus der abgegebenen Leistung umgekehrt die Windgeschwindigkeit bestimmen.

\begin{align} v_W = v_N \cdot \left(\frac{P_W}{P_N} \right)^{\LARGE \frac{1}{3} }\end{align}

Auf dieser Basis können wir nun die Verteiung der Leistungsabgabe folgendermaßen beschreiben:

\begin{align} P(P_{Wind}\lt P_W) &= 1-e^{-\left(\dfrac{v_N}{\lambda}  \left(\dfrac{P_W}{P_N} \right)^{\LARGE {\frac{1}{3}} } \right)^{\LARGE \alpha}} \\ \notag
&= 1-e^{-\left(\Gamma\left(1+ \LARGE \frac{1}{\alpha}\right)\dfrac{v_N}{\overline{v_W}}  \left(\dfrac{P_W}{P_N} \right)^{\LARGE {\frac{1}{3}} } \right)^{\LARGE \alpha }} \\ \notag
& = 1-e^{-\left(\Gamma\left(1+ \LARGE \frac{1}{\alpha}\right)^3 \left(\dfrac{v_N}{\overline{v_W}} \right)^3 \dfrac{P_W}{P_N} \right)^{\LARGE \frac{\alpha}{3}}} \\ \notag \end{align}

Die produzierte Windstromleistung ist demnach Weibull-verteilt mit dem Formfaktor \(\frac{\alpha}{3} \). Abbildung 2 zeigt Beispiele für die Verteilung der Leistungsabgabe bei Formfaktoren um \(\alpha = 2\).

Abbildung 2: Verteilung der Leistungsabgabe bei unterschiedlichen Formfaktoren \(\alpha = 1.5 \cdots 2 \cdots 2.5\).

Generische Darstellung der Leistungsverteilung

Der Erwartungswert der Leistung bestimmt sich zu

\begin{align} \overline{P_W} &= E(P_{Wind}) \\ \notag
&= \Gamma\left(1+\dfrac{3}{\alpha}\right) \cdot \Gamma\left(1+\dfrac{1}{\alpha}\right)^{-3} \left(\dfrac{v_N}{\overline{v_W}} \right)^{-3} \cdot P_N \\ \notag
&= \frac{\Gamma\left(1+\dfrac{3}{\alpha}\right) }{\Gamma\left(1+\dfrac{1}{\alpha}\right)^3} \cdot \left(\frac{\overline{v_W}}{v_N} \right)^3 \cdot P_N \end{align}

Für den Formfaktor \( \alpha = 2\) erhalten wir die Vereinfachung:

\begin{align} \overline{P_W} &= \frac{\Gamma\left(1+\dfrac{3}{2}\right) }{\Gamma\left(1+ \LARGE \frac{1}{2}\right)^3} \cdot \left(\frac{\overline{v_W}}{v_N} \right)^3 \cdot P_N \\ \notag
&= \frac{6}{\pi}\cdot \left(\frac{\overline{v_W}}{v_N} \right)^3 \cdot P_N\end{align}

Wenn \(P_W = \overline{P_W} \) gesetzt wird, dann gibt die obige Formel die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(P_{Wind}\lt \overline{P_W} \) wieder. Bei einer Erhöhung der Windstromproduktion um den Faktor \(q\) ist folglich \(P(q \cdot P_{Wind}\lt \overline{P_W} ) \) die Wahrscheinlichkeit, dass weniger Windstrom als \(\frac{\overline{P_W}}{q} \) produziert wird. Das ist also das Ereignis \(P_{Wind}\lt \frac{\overline{P_W}}{q} \). Eingesetzt in Formel (7) erhalten wir

\begin{align} P(P_{Wind}\lt \frac{\overline{P_W}}{q}) &= 1-e^{{-\left( \Gamma \left(1+\LARGE \frac{1}{\alpha}\right)^3 \left( \dfrac{v_N}{\overline{v_W}} \right)^3 \cdot \dfrac{\overline{P_W}} {q\cdot P_N} \right) ^{\LARGE \frac{\alpha}{3}}} } \\ \notag
&= 1-e^{-\left( \Gamma\left(1+ \LARGE \frac{3}{\alpha}\right) \LARGE \frac{1} {q } \right) ^{\LARGE \frac{\alpha}{3}}} \end{align}

Im Ergebnis ist daher die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unabhängig von der mittleren Windgeschwindigkeit.

Für Formfaktor \( {\alpha} = 2\) folgt der unmittelbar auswertbare Zusammenhang:

\begin{align} P(P_{Wind}\lt \frac{\overline{P_W}}{q}) &= 1-e^{-\left( \Gamma\left(1+ \LARGE \frac{3}{2}\right) \LARGE \frac{1} {q } \right) ^{\LARGE \frac{2}{3}}} \\ \notag
&= 1-e^{-\left( \LARGE \frac{ 3 }{4} \LARGE \frac{\sqrt{\pi}} {q} \right) ^{\LARGE \frac{2}{3}}} \end{align}

Analyse zum Versorgungsgrad

Der Versorgungsgrad \(V = V(t)\) ist das Verhältnis zwischen dem auf einen Zeitpunkt \(t\) bezogenen Leistungsangebot und dem entsprechenden Leistungsbedarf. Formal also \(V = \frac{P_{Wind}}{P_{Bedarf}}\). Wenn nun, wie oben, die Windstromproduktion um den Faktor \(q\) erhöht und \(P_{Bedarf} =\overline{P_W} \) gesetzt wird, dann ist das Ereignis \(V \lt 1 \) identisch mit \(P(q \cdot P_{Wind}\lt \overline{P_W} ) \). Daher erhalten wir die von der Windgeschwindigkeit und der induzierten Windleistung formal unabhängige Darstellung des Versorgungsgrads in Termen des Produktionsfaktors \(q\).

\begin{align} P(V \lt 1) = 1-e^{-\left( \Gamma\left(1+\LARGE \frac{3}{\alpha}\right) \LARGE \frac{1} {q } \right) ^{\LARGE \frac{\alpha}{3}}} \end{align}

bzw.

\begin{align} P(V \lt 1) = 1-e^{-\left( \LARGE \frac{ 3 }{4} \LARGE \frac{\sqrt{\pi}} {q} \right) ^{\LARGE \frac{2}{3}}} \end{align}

Bezogen auf einen vorgegebenen Versorgungsgrad \(g\) statt 1 ergibt sich

\begin{align} P(V \lt g) = 1-e^{-\left( \Gamma\left(1+ \LARGE \frac{3}{\alpha}\right) \LARGE \frac{g} {q } \right) ^{\LARGE \frac{\alpha}{3}}} \end{align}

bzw.

\begin{align} P(V \lt g) = 1-e^{-\left( \LARGE \frac{ 3 }{4} {\LARGE \sqrt{\pi} } \LARGE \frac{g} {q} \right) ^{ \LARGE \frac{2}{3}}} \end{align}

Wir haben nun einen vollständigen Überblick über die erzielbaren Versorgungsgrade in Abhängigkeit von der Windstromproduktion in Einheiten des Strombedarfs. Wir müssen also nicht konkrete Windgeschwindigkeiten oder Leistungsfaktoren betrachten und können demgemäß grundsätzliche Aussagen zur Versorgungssicherheit bzw. zum Versorgungsgrisiko ohne nähere Kenntnis der Gegebenheiten am Aufstellungsort treffen. Wir müssen lediglich die Verteilung der Windgeschwindigkeiten kennen, genauer, den Formfaktor \(\alpha\) der entsprechenden Weibullverteilung.

Versorgungssicherheit und Versorgungsrisiko

Die resultierenden graphischen Verläufe für die Versorgungssicherheit \(\text{VS} = P(V \ge 1) \) und das Versorgungsrisiko \(\text{VR} = P(V \lt 1) \) bei unterschiedlichen Formfaktoren \(\alpha\) sind in den Abbildungen 3 und 4 dargestellt.

Abbildung 3: Versorgungsrisiko bei unterschiedlichen Formfaktoren \(\alpha = 1.5 \cdots 2 \cdots 2.5\).

Abbildung 4: Versorgungssicherheit bei unterschiedlichen Formfaktoren \(\alpha = 1.5 \cdots 2 \cdots 2.5\).

Die tatsächliche Windverteilung in Deutschland gehorcht näherungsweise der Weibullverteilung mit dem Formfaktor \(\alpha = 2\). Für die grundsätzlichen Aussagen reicht es daher aus, diesen Formfaktor zu betrachten.

Nach Formel (13) bestimmt sich das Versorgungsrisiko zu

\begin{align} \text{VR} &= P(V \lt 1) \\ \notag &= 1-e^{-\left( \LARGE \frac{ 3 }{4} \LARGE \frac{\sqrt{\pi}} {q} \right) ^{\LARGE \frac{2}{3}}} \end{align}

und entsprechend die Versorgungssicherheit

\begin{align} \text{VS} &= P(V \ge 1) \\ \notag &= e^{-\left( \LARGE \frac{ 3 }{4} \LARGE \frac{\sqrt{\pi}} {q} \right) ^{\LARGE \frac{2}{3}}} \end{align}

Abbildung 5: Versorgungsrisiko bei einem Formfaktor von \(\alpha = 2\).

Abbildung 6: Versorgungssicherheit bei einem Formfaktor von \(\alpha = 2\).

Die Graphen in Abb. 5 und Abb. 6 zeigen das theoretische Versorgungsrisiko und entsprechend die Versorgungssicherheit aus der Produktion von Windstrom unter idealen Bedingungen (verlustfrei, 100-prozentige Verfügbarkeit, keine Abschaltung) als Wahrscheinlichkeitsverteilung. Auf der x-Achse ist der Umfang der Windstromproduktion in Vielfachen des Strombedarfs (Produktionsfaktor q) aufgetragen. Die y-Achse in Abb. 5 zeigt das theoretische Versorgungsrisiko und die y-Achse in Abb. 6 die resultierende Versorgungssicherheit als Funktion des Produktionsfaktors q.

Aufgrund der Herleitung erkennen wir, dass die theoretische Versorgungssicherheit und entsprechend auch das Versorgungsrisiko unmittelbar aus dem Verhältnis zwischen der Gesamtproduktion an Windstrom und dem jeweiligen Bedarf, also dem Produktionsfaktor q abgeleitet werden kann.

Einige Zahlenbeispiele: Wenn der Produktionsfaktor \(q = 1\) ist (also genausoviel Strom produziert wird, wie im Mittel benötigt wird), dann liegt die Versorgungssicherheit bei 0,3 (= 30 %) und das Versorgungsrisiko bei 0,7 (= 70 %). Vielfach wird diese Situation bereits als „Autarkie“ bezeichnet, obwohl es eigentlich nur „bilanzielle Autarkie“ ist und man tatsächlich in den überwiegenden Zeitabschnitten eines Jahres auf externe Stromlieferungen angewiesen ist.

Sofern der Produktionsfaktor nur bei \(q = 0.5\) liegt, dann erhalten wir eine Versorgungssicherheit von 0,15 (= 15 %) und ein Versorgungsrisiko von 0,85 (= 85 %). Wenn im Jahresverlauf summarisch doppelt soviel Strom als benötigt produziert (Produktionsfaktor \(q = 2\)), so ergibt sich eine theoretische Versorgungssicherheit von 0,47 (= 47 %) und ein Versorgungssrisiko von 0,53 (= 53 %) .

Man entnimmt den Graphen, dass die theoretische Versorgungssicherheit mit wachsendem Produktionsfaktor zunächst schnell steigt und das Versorgungsrisiko entsprechend sinkt. Allerdings ist der Aufwand für eine deutliche Reduzierung des Versorgungsrisikos am Ende doch sehr hoch: Selbst bei einem Produktionsfaktor von \(q = 10\) liegt das Versorgungsrisiko immer noch bei 0,23 (= 23 %), also Versorgungssicherheit 0,77 (= 77 %). Und sogar bei \(q = 100\), wenn also der in der Jahressumme benötigte Windstrom den Bedarf um den Faktor 100 übersteigt – was ja in der Praxis überhaupt nicht finanzierbar ist – bleibt das Versorgungsrisiko bei 0,055 (= 5,5 %). Wir erhalten also lediglich eine Versorgungssicherheit 0,955 (= 95,5 %). Trotz des utopisch hohen Aufwandes wäre zeitanteilig an 16 Tagen eines Jahres die Stromversorgung nicht gewährleistet.

Investitionseffizienz

Es ist unmittelbar einleuchtend, dass sich die Investitionskosten proportional mit dem Produktionsfaktor erhöhen oder erniedrigen. Das Verhältnis zwischen der erreichten Versorgungssicherheit \(\text{VS(q)} = P(V(q) \ge 1) \) bei gegebenem Produktionsfaktor \(q\) ist daher ein Maß für die Investitionseffizienz.

Nun kann man fragen, wie sich die Versorgungssicherheit mit dem Produktionsfaktor ändert.

In Abbildung 5 sind die Verläufe des Quotienten Versorgungssicherheit / Produktionsfaktor für die Formfaktoren \(\alpha = 1.5 \cdots 2 \cdots 2.5\) dargestellt.

Abbildung 7: Quotient Versorgungssicherheit / Produktionsfaktor für die Formfaktoren \(\alpha = 1.5 \cdots 2 \cdots 2.5\). Beispiel: Für den Formfaktor \(\alpha = 2\) erhalten wir bei \(q = 0.2\) einen Quotienten von \(0.15\) und somit eine Versorgungssicherheit von \(V = q \cdot 0.15 = 0.03\). Wenn nun der Produktionsfaktor auf \(q = 0.6\) erhöht wird, ist der Quotient \(0.3 \) und die Versorgungssicherheit \(V = q \cdot 0.3 = 0.18\), d.h., die Versorgungssicherheit steigt überproportional mit dem Produktionsfaktor.

Der Quotient Versorgungssicherheit / Produktionsfaktor erreicht an einem bestimmten Wert \(q_{max}\) für den Produktionsfaktor sein Maximum. Diesen Wert bestimmt man zu

\begin{align} q_{max} = \Gamma\left(1+\frac{3}{\alpha}\right) \cdot \left(\frac{\alpha}{3}\right)^{\LARGE\frac{3}{\alpha}} \end{align}

Für die Herleitung s. Versorgungssicherheit mit Windstrom – eine theoretische Analyse | sumymus.

Für \(\alpha = 1.5\) bekommen wir z.B.

\begin{align} q_{max} &= \Gamma\left(1+\frac{3}{1.5}\right) \cdot \left(\frac{1.5}{3}\right)^{\LARGE\frac{3}{1.5}} \\ \notag
&= \Gamma\left(3\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\ \notag
&= \frac{1}{2} \end{align}

Aus dem Vorstehenden entnimmt man, dass die Investitionseffizienz zunächst einmal ansteigt und dann nach Erreichen eines Maximums – in Abhängigkeit vom Formfaktor \(\alpha\) – wieder abfällt. Für \(\alpha = 1.5 \cdots 2.0 \cdots 2.5\) werden die jeweiligen Maxima mit Effizienzwerten von \(\frac{P(VS(q))}{q} = 0.271 \cdots 0,308 \cdots 0.340\) bei Produktionsfaktoren \(q_{max} = 0.500 \cdots 0.724 \cdots 0.885\) erreicht. Bei größeren Produktionsfaktoren ist die Investitionseffizienz in jedem Falle geringer.

Man erhält daher bei Erhöhung des Produktionsfaktors in der Relation einen immer geringeren Zuwachs an Versorgungssicherheit. Bei \(\alpha = 2\) sind das z.B. die Produktionsfaktoren \(q \gt q_{max} = 0.724 \) (s. Abb. 7, rechts des Maximums der blauen Kurve). Bei ausschließlicher Betrachtung der Windstromproduktion und ohne die Berücksichtigung von (teuren) Speichern ist daher der Ausbau der Windkraft wesentlich über die Grenze \(q_{max}\) hinaus zumindest ineffizient.

Realitätsbezug

Natürlich wird man in der Praxis nicht ausschießlich auf die Stromversorgung mit Windkraft bauen und daneben auch andere Erneuerbare wie z.B. Solarstrom oder Biomasse mit einbeziehen. Ist dann die obige Überlegung obsolet und die Versorgungssicherheit in Summe doch zu gewährleisten? Leider nein! Es bleibt die grundsätzliche Problematik der Wetterabhängigkeit. Wenn wir z.B. annehmen, dass 50 % des Bedarfs aus sicheren Quellen kommen (was dann allerdings Photovoltaik ausschließen würde) und damit nur die restlichen 50 % über die Windkraft erzeugt werden müssen, dann laufen wir am Ende auf dieselbe Problematik zu, nur eben mit einem graduell etwas reduziertem Risiko. Statt eines Versorgungsrisikos von 60 % hätte man dann z.B. „nur“ ein Risiko von 30 %. Die erforderliche Versorgungssicherheit von 99,9 % und höher ist auf diesem Wege – also ohne Importe, Speicher oder Backup-Kraftwerke – nicht erreichbar.